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Ketvirto laipsnio lygtis
:<math>y^4+ay^3+by^2+cy+d=0</math>
:redukuojama keitiniu <math>y=x-\frac{a}{4}</math> ir gaunama lygtis:
:<math>x^4+px^2+qx+r=0.</math>


:Surasime kam lygūs koeficientai p, q ir r.
:Iš Niutono Binomo formulės žinome, kad
:<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2,</math>
:<math>(a-b)^3=a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3,</math>
:<math>(a-b)^4= a^4  - 4 a^{3}b + 6 a^{2}b^2 - 4 a b^{3} +  b^4.</math>
:Į lygtį <math>y^4+ay^3+by^2+cy+d=0</math> vietoje <math>y</math> įstatome keitinį <math>x-\frac{a}{4}</math> ir gauname:
:<math>(x-\frac{a}{4})^4+a(x-\frac{a}{4})^3+b(x-\frac{a}{4})^2+c(x-\frac{a}{4})+d=0.</math>
:Surandame kam lygus <math>(x-\frac{a}{4})^2,</math> išskleidus:
:<math>(x-\frac{a}{4})^2 = x^2 - 2x\cdot \frac{a}{4} + (\frac{a}{4})^2 = x^2 -  \frac{a}{2}x + \frac{a^2}{16}.</math>
:Surandame kam lygus <math>(x-\frac{a}{4})^3,</math> išskleidus:
:<math>(x-\frac{a}{4})^3 = x^3 - 3x^2\cdot \frac{a}{4} + 3x\cdot (\frac{a}{4})^2 - (\frac{a}{4})^3 = x^3 - 3x^2\cdot \frac{a}{4} + 3x\cdot\frac{a^2}{16} - \frac{a^3}{64}=</math>
:<math> = x^3 - \frac{3a}{4} x^2 + \frac{3a^2}{16} x - \frac{a^3}{64}.</math>
:Surandame kam lygus <math>(x-\frac{a}{4})^4,</math> išskleidus:
:<math>(x-\frac{a}{4})^4 = x^4 - 4x^3 \cdot \frac{a}{4} + 6x^2 \cdot (\frac{a}{4})^2 - 4x \cdot (\frac{a}{4})^3 + (\frac{a}{4})^4 = x^4 - 4x^3 \cdot \frac{a}{4} + 6x^2 \cdot \frac{a^2}{16} - 4x \cdot \frac{a^3}{64} + \frac{a^4}{256} =</math>
:<math> = x^4 - ax^3  +  \frac{3a^2}{8} x^2 - \frac{a^3}{16} x + \frac{a^4}{256}.</math>


:<math>y^4+ay^3+by^2+cy+d=0,</math>
:<math>(x-\frac{a}{4})^4+a(x-\frac{a}{4})^3+b(x-\frac{a}{4})^2+c(x-\frac{a}{4})+d=0,</math>
:<math>x^4 - ax^3 + \frac{3a^2}{8} x^2 - \frac{a^3}{16} x + \frac{a^4}{256}  +  a(x^3 - \frac{3a}{4} x^2 + \frac{3a^2}{16} x - \frac{a^3}{64})  +  b(x^2 -  \frac{a}{2}x + \frac{a^2}{16})  +  c(x-\frac{a}{4})  +  d=0,</math>
:<math>x^4 - ax^3 + \frac{3a^2}{8} x^2 - \frac{a^3}{16} x + \frac{a^4}{256}  +  ax^3 - \frac{3a^2}{4} x^2 + \frac{3a^3}{16} x - \frac{a^4}{64}  +  bx^2 -  \frac{ab}{2}x + \frac{a^2 b}{16}  +  cx - \frac{ac}{4}  +  d=0,</math>
:<math>x^4 - ax^3 + ax^3 + \frac{3a^2}{8}x^2 - \frac{3a^2}{4}x^2 + bx^2 - \frac{a^3}{16}x + \frac{3a^3}{16}x - \frac{ab}{2}x + cx + \frac{a^4}{256} - \frac{a^4}{64} + \frac{a^2 b}{16} - \frac{ac}{4} + d = 0,</math>
:<math>x^4 - \frac{3a^2}{8}x^2 + bx^2 + \frac{2a^3}{16}x - \frac{ab}{2}x + cx - \frac{3a^4}{256} + \frac{a^2 b}{16} - \frac{ac}{4} + d = 0,</math>
:<math>x^4 + (-\frac{3a^2}{8} + b)x^2 + (\frac{2a^3}{16} - \frac{ab}{2} + c)x - \frac{3a^4}{256} + \frac{a^2 b}{16} - \frac{ac}{4} + d = 0,</math>
:<math>x^4+px^2+qx+r=0.</math>
:Iš čia turime, kad
:<math>p=-\frac{3a^2}{8} + b,</math>
:<math>q=\frac{2a^3}{16} - \frac{ab}{2} + c,</math>
:<math>r=- \frac{3a^4}{256} + \frac{a^2 b}{16} - \frac{ac}{4} + d.</math>



==Ketvirto laipsnio lygties sprendimas pirmu budu==

Imame redukuotą lygtį
:<math>f(x)=x^4+2px^2+qx+r=0.</math>
:Įvedame, pagalbinį nežinomąjį ''z'', kurio reikšmę vėliau surasime ir užrašome taip:
:<math>f(x)=(x^2+p+z)^2+qx+r-z^2-2x^2 z-2pz-p^2=(x^2+p+z)^2-[2zx^2-qx+(z^2+2pz-r+p^2)],</math>
:Čia <math>(x^2+p+z)^2=x^4+x^2 p+x^2 z+px^2+p^2+pz+zx^2+zp+z^2=x^4+2px^2+2zx^2+p^2+z^2+2pz.</math>
:Kad polinmas <math>2zx^2-qx+(z^2+2pz-r+p^2)</math>, esantis laužtiniuose skliaustuose, būtų pilnas kvadratas, reikia, kad jo abi šaknys (sprendiniai) sutaptų, t. y. kad jo diskriminantas
:<math>d_2=q^2-4\cdot 2z\cdot (z^2+2pz-r+p^2)</math>
:būtų lygus 0. Tada galėsime pasinaudoti formule <math>a^2-b^2=(a-b)(a+b),</math> nes polinomas <math>2zx^2-qx+(z^2+2pz-r+p^2)</math> turės vienodas šaknis (<math>ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),</math> o <math>x_1=x_2,</math> todėl <math>ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2</math>) ir bus <math>2zx^2-qx+(z^2+2pz-r+p^2)=b^2</math>, o kitas polinomas bus <math>(x^2+p+z)^2=a^2.</math>
:Taigi, 
:<math>f(x)=(x^2+p+z)^2-[2zx^2-qx+(z^2+2pz-r+p^2)]=0.</math>
:<math>[2zx^2-qx+(z^2+2pz-r+p^2)]=0;</math>
:<math>d_2=q^2-4\cdot 2z\cdot (z^2+2pz-r+p^2)=0,</math>
:<math>d_2=q^2-8z (z^2+2pz-r+p^2)=q^2-8z^3-16pz^2+8zr-8zp^2=0,</math>
:<math>d_2=8z^3+16pz^2+8(p^2-r)z-q^2=0.</math>
:Lygtis <math>8z^3+16pz^2+8(p^2-r)z-q^2=0</math> yra vadinama ketvirto laipsnio lygties ''rezolvente'' (išsprendėja). Vieną iš jos trijų šaknų (realiają) gausime <math>z_0</math>. Tada įstate <math>z_0</math> į diskrimanto <math>d_2=8z^3+16pz^2+8(p^2-r)z-q^2=0</math> lygtį vietoje ''z'', galėsime apskaičiuoti <math>d_2.</math> O tada ir surasti lygties <math>[2zx^2-qx+(z^2+2pz-r+p^2)]=0</math> sprendinius <math>x_1=x_2</math> (abu sprendiniai vienodi).
:Taigi, turime:
:<math>8z^3+16pz^2+8(p^2-r)z-q^2=0,</math>
:<math>z^3+2pz^2+(p^2-r)z-\frac{q^2}{8}=0,</math>
:pakeičiame <math>z=w-\frac{2p}{3}.</math>
:Lygčiai <math>z^3+2pz^2+(p^2-r)z-\frac{q^2}{8}=0,</math> pakeitimas yra <math>z=w-\frac{2p}{3},</math> kad gauti <math>w^3+mw+n=0.</math> 
:Lygties 
:<math>w^3+mw+n=0</math>
:viena šaknis yra:
:<math>w_0=\sqrt[3]{-\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{ m^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{n}{2}-\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{ m^3}{27}}}.</math>
:Tada
:<math>z_0=\sqrt[3]{-\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{ m^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{n}{2}-\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{ m^3}{27}}}-\frac{2p}{3}.</math>
:Dabar galime surasti lygties <math>[2z_0 x^2-qx+(z_0^2+2pz_0-r+p^2)]</math> sprendinį:
:<math>x_1=x_2=\frac{-(-q)\pm\sqrt{d_2}}{2\cdot 2z_0}=\frac{q\pm 0}{2\cdot 2z_0}=\frac{q}{4z_0}.</math>
:Toliau, žinodami, kad <math>ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),</math> gauname:
:<math>[2z_0 x^2-qx+(z_0^2+2pz_0-r+p^2)]=2z_0\left(x-\frac{q}{4z_0}\right)\cdot \left(x-\frac{q}{4z_0} \right)= 2z_0\left(x-\frac{q}{4z_0} \right)^2=\left[\sqrt{2z_0}\left(x-\frac{q}{4z_0} \right)\right]^2.</math>
:Įstatę į lygtį gauname:
:<math>f(x)=(x^2+p+z_0)^2-[2z_0 x^2-qx+(z_0^2+2pz_0-r+p^2)]=(x^2+p+z_0)^2-\left[\sqrt{2z_0}\left(x-\frac{q}{4z_0} \right)\right]^2;</math>
:<math>(x^2+p+z_0)^2-\left[\sqrt{2z_0}\left(x-\frac{q}{4z_0} \right)\right]^2=0,</math>
:<math>\left(x^2+p+z_0-\sqrt{2z_0}\left(x-\frac{q}{4z_0} \right)\right)\left(x^2+p+z_0+\sqrt{2z_0}\left(x-\frac{q}{4z_0} \right)\right)=0,</math>
:<math>\left(x^2+p+z_0-\sqrt{2z_0}\cdot x+\sqrt{2z_0}\cdot \frac{q}{4z_0} \right) \left(x^2+p+z_0+\sqrt{2z_0}\cdot x-\sqrt{2z_0}\cdot \frac{q}{4z_0} \right)=0,</math>
:<math>\left(x^2+p+z_0-\sqrt{2z_0}\cdot  x+\sqrt{2z_0}\cdot \frac{q}{\sqrt{16z_0^2}} \right) \left(x^2+p+z_0+\sqrt{2z_0}\cdot x-\sqrt{2z_0}\cdot \frac{q}{\sqrt{16z_0^2}} \right)=0,</math>
:<math>\left(x^2+p+z_0-\sqrt{2z_0}\cdot  x+ \frac{q}{\sqrt{8z_0}} \right) \left(x^2+p+z_0+\sqrt{2z_0}\cdot x- \frac{q}{\sqrt{8z_0}} \right)=0,</math>
:<math>\left(x^2+p+z_0-\sqrt{2z_0}\cdot  x+ \frac{q}{2\sqrt{2z_0}} \right) \left(x^2+p+z_0+\sqrt{2z_0}\cdot x- \frac{q}{2\sqrt{2z_0}} \right)=0.</math>
:Iš čia nesunku matyti, kad arba <math> x^2-\sqrt{2z_0}\cdot  x+\left(p+z_0+ \frac{q}{2\sqrt{2z_0}}\right)=0</math> arba <math>x^2+\sqrt{2z_0}\cdot  x+\left(p+z_0- \frac{q}{2\sqrt{2z_0}}\right) =0.</math> Išsprendę šias lygtis ir gausime visas keturias lygties <math>f(x)=x^4+2px^2+qx+r=0</math> šaknis.
:Taigi,
:<math>x_{1,2}=\frac{1}{2}\cdot \left[-(-\sqrt{2z_0})\pm\sqrt{2z_0-4\left(p+z_0+ \frac{q}{2\sqrt{2z_0}}\right)}\right]=\frac{\sqrt{z_0}}{\sqrt{2}}\pm\sqrt{\frac{z_0}{2}-\left(p+z_0+ \frac{q}{2\sqrt{2z_0}}\right)};</math>
:<math>x_{3,4}=\frac{1}{2}\cdot \left[-\sqrt{2z_0}\pm\sqrt{2z_0-4\left(p+z_0- \frac{q}{2\sqrt{2z_0}}\right)}\right]=-\frac{\sqrt{z_0}}{\sqrt{2}}\pm\sqrt{\frac{z_0}{2}-p-z_0+\frac{q}{2\sqrt{2z_0}}}.</math>

===Pagalbinės kubinės lygties sutvarkymas===

Pagalbinę kubinę lygtį (ketvirto laipsnio lygties rezolventę)
:<math>8z^3+16pz^2+8(p^2-r)z-q^2=0,</math>
:<math>z^3+2pz^2+(p^2-r)z-\frac{q^2}{8}=0</math>
:sutvarkysime padarę keitinį
:<math>z=w-\frac{2p}{3}.</math>

:<math>z^3+2pz^2+(p^2-r)z-\frac{q^2}{8}=0</math>
:<math>\left( w-\frac{2p}{3} \right)^3+2p\left( w-\frac{2p}{3} \right)^2+(p^2-r)\left( w-\frac{2p}{3} \right)-\frac{q^2}{8}=0,</math>
:<math>\left( w^3-3w^2\frac{2p}{3} +3w(\frac{2p}{3})^2-(\frac{2p}{3})^3\right)+2p\left( w^2-2w\frac{2p}{3}+(\frac{2p}{3})^2 \right)+(p^2-r)\left( w-\frac{2p}{3} \right)-\frac{q^2}{8}=0,</math>
:<math>\left( w^3-w^2 2p +3w \frac{4p^2}{9}-\frac{8p^3}{27} \right)+2p\left( w^2-\frac{4w p}{3}+\frac{4p^2}{9} \right)+ (p^2-r)w-(p^2-r)\frac{2p}{3} -\frac{q^2}{8}=0,</math>
:<math> w^3-w^2 2p + \frac{4w p^2}{3}-\frac{8p^3}{27} + 2pw^2-\frac{8w p^2}{3}+\frac{8p^3}{9} + w p^2-wr-\frac{2p^3}{3}+\frac{2pr}{3} -\frac{q^2}{8}=0,</math>
:<math> w^3 + \frac{4w p^2}{3}-\frac{8w p^2}{3} + w p^2-wr -\frac{8p^3}{27} +\frac{8p^3}{9} -\frac{2p^3}{3}+\frac{2pr}{3} -\frac{q^2}{8}=0,</math>
:<math> w^3 - \frac{4w p^2}{3} + w(p^2-r) +\frac{-8p^3+ 3\cdot 8p^3 -9\cdot 2p^3}{27} +\frac{2pr}{3} -\frac{q^2}{8}=0,</math>
:<math> w^3 + \frac{-4w p^2+3w(p^2-r)}{3} +\frac{-8p^3+ 24p^3 -18p^3}{27} +\frac{2pr}{3} -\frac{q^2}{8}=0,</math>
:<math> w^3 + \frac{-4w p^2+3wp^2-3wr}{3} +\frac{-2p^3}{27} +\frac{2pr}{3} -\frac{q^2}{8}=0,</math>
:<math> w^3 + \frac{-w p^2-3wr}{3} -\frac{2p^3}{27} +\frac{2pr}{3} -\frac{q^2}{8}=0,</math>
:<math> w^3 - \frac{ p^2 +3r}{3} w -\frac{2p^3}{27} +\frac{2pr}{3} -\frac{q^2}{8}=0.</math>
:Gavome redukuotą kubinę lygtį
:<math>w^3+mw+n=0,</math>
:kur 
:<math>m= -\frac{ p^2 +3r}{3},</math>
:<math>n= -\frac{2p^3}{27} +\frac{2pr}{3} -\frac{q^2}{8}.</math>

==Ketvirto laipsnio lygties sprendimas antru budu==

Imame redukuota lygtį:
:<math>f(x)=x^4+2px^2+qx+r=0.</math>
:Į lygtį <math>x^4+2px^2+qx+r=0</math> vietoje ''x'' įvedame tris nežinomuosius, kuriuos vėliau susiesime dviem lygtim. Imame
:<math>2x=u+v+w.</math>
:Išskaičiuojame:
:<math>(2x)^2=4x^2=(u+v+w)(u+v+w)=u^2+uv+uw+vu+v^2+vw+wu+wv+w^2=u^2+v^2+w^2+2(uv+uw+vw);</math>
:<math>(2x)^4=(4x^2)^2=16x^4=(u^2+v^2+w^2+2(uv+uw+vw))^2=</math>
:<math>=u^4+u^2 v^2+u^2 w^2+2u^2(uv+uw+vw)+v^2 u^2+v^4+v^2 w^2+2v^2(uv+uw+vw)+w^2 u^2+w^2 v^2+w^4+2w^2(uv+uw+vw)+2(uv+uw+vw)(u^2+v^2+w^2)+4(uv+uw+vw)^2=</math>
:<math>=u^4+v^4+w^4+2(u^2 v^2+u^2 w^2+v^2 w^2)+2(u^2+v^2+w^2)(uv+uw+vw)+2(uv+uw+vw)(u^2+v^2+w^2)+4(u^2 v^2+u^2 vw+uv^2 w+u^2 wv+u^2 w^2+uv w^2+uv^2 w+uvw^2+v^2 w^2)=</math> 
:<math>=(u^2+v^2+w^2)^2+4(u^2+v^2+w^2)(uv+uw+vw)+4(u^2 v^2+u^2 w^2+v^2 w^2+2(u^2 vw+uv^2 w+uvw^2))=</math>
:<math>=(u^2+v^2+w^2)^2+4(u^2+v^2+w^2)(uv+uw+vw)+4(u^2 v^2+u^2 w^2+v^2 w^2)+8uvw(u+ v+w).</math>
:Įstatę šias reikšmes į lygtį <math>x^4+2px^2+qx+r=0</math>, padaugintą iš 16, gauname:
:<math>16x^4+32px^2+16qx+16r=0,</math>
:<math>[(u^2+v^2+w^2)^2+4(u^2+v^2+w^2)(uv+uw+vw)+4(u^2 v^2+u^2 w^2+v^2 w^2)+8uvw(u+ v+w)]+8p[u^2+v^2+w^2+2(uv+uw+vw)]+8q[u+v+w]+16r=0,</math>
:<math>(u^2+v^2+w^2)^2+4(u^2+v^2+w^2)(uv+uw+vw)+4(u^2 v^2+u^2 w^2+v^2 w^2)+8uvw(u+ v+w)+8p(u^2+v^2+w^2)+16p(uv+uw+vw)+8q(u+v+w)+16r=0,</math>
:<math>(u^2+v^2+w^2)^2+4(u^2+v^2+w^2+4p)(uv+uw+vw)+4(u^2 v^2+u^2 w^2+v^2 w^2)+8(uvw+q)(u+ v+w)+8p(u^2+v^2+w^2)+16r=0.</math>
:Dabar reikalaujame, kad 
:<math>u^2+v^2+w^2+4p=0,</math>
:<math>uvw+q=0.</math>
:Įvedę šias sąlygas turėsime lygtį:
:<math>(u^2+v^2+w^2)^2+4(u^2 v^2+u^2 w^2+v^2 w^2)+8p(u^2+v^2+w^2)+16r=0,</math>
:<math>(-4p)^2+4(u^2 v^2+u^2 w^2+v^2 w^2)+8p\cdot(-4p)+16r=0,</math>
:<math>16p^2+4(u^2 v^2+u^2 w^2+v^2 w^2)-32p^2+16r=0,</math>
:<math>4(u^2 v^2+u^2 w^2+v^2 w^2)-16p^2+16r=0,</math>
:<math>4(u^2 v^2+u^2 w^2+v^2 w^2)=16p^2-16r,</math>
:<math>u^2 v^2+u^2 w^2+v^2 w^2=4(p^2-r).</math>
:Pagaliau, vietoje lygties <math>x^4+2px^2+qx+r=0</math> gauname trijų lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą
:<math>u^2+v^2+w^2=-4p,</math>
:<math>u^2 v^2+u^2 w^2+v^2 w^2=4(p^2-r),</math>
:<math>uvw=-q.</math>
:Šią sistemą spręsime panašiai, kaip sprendžiama trečio laipsnio lygčių sistema. Pakėlę lygtį <math>uvw=-q</math> kvadratu, gauname
:<math>u^2 v^2 w^2=q^2.</math>
:Pagal Vijeto teoremą, iš sistemos lygčių nesunku pastebėti, kad <math>u^2</math>, <math>v^2</math>, <math>w^2</math> turi būti trečio laipsnio lygties
:<math>y^3+4py^2+4(p^2-r)y-q^2=0</math>
:šaknys. Ši lygtis taip pat vadinama ketvirto laipsnio lygties <math>x^4+2px^2+qx+r=0</math> rezolvente. Suradę visas tris jos šaknis <math>y_1</math>, <math>y_2</math>, <math>y_3</math>, tuo pačiu rasime <math>u^2</math>, <math>v^2</math> ir <math>w^2</math>. Kadangi visos trys lygtys <math>u^2+v^2+w^2=-4p,</math> <math>u^2 v^2+u^2 w^2+v^2 w^2=4(p^2-r)</math> ir <math>uvw=-q</math> yra simetrinės ''u'', ''v'' ir ''w'' atžvilgiu, tai kurią lygčių <math>y^3+4py^2+4(p^2-r)y-q^2=0</math> šaknį pažymėsime <math>u^2</math>, kurią <math>v^2</math> ar <math>w^2</math> nesudaro jokios reikšmės nei mūsų sistemos, nei lygties <math>x^4+2px^2+qx+r=0</math> sprendiniui. Toliau jau nesunku rasti ''u'', ''v'' ir ''w'', nes reikia tik ištraukti kvadratines šaknis iš <math>y_1</math>, <math>y_2</math> ir <math>y_3</math>, atseit,
:<math>u=\sqrt{y_1}, \quad v=\sqrt{y_2}, \quad w=\sqrt{y_3}.</math>
:Pagaliau įstatę ''u'', ''v'' ir ''w'' reikšmes į lygybę <math>2x=u+v+w</math>, rasime lygties <math>x^4+2px^2+qx+r=0</math> šaknis. Paėmę kurią nors <math>\sqrt{y_1}</math> reikšmę ir pažymėję ją <math>u_0</math>, o <math>\sqrt{y_2},</math> <math>\sqrt{y_3}</math> reikšmes pažymėje atitinkamai <math>v_0</math> ir <math>w_0</math> taip, kad <math>u_0 v_0 w_0=-q,</math> gausime arba
:<math>x_1=\frac{1}{2}(u_0+v_0+w_0),</math>
:<math>x_2=\frac{1}{2}(u_0-v_0-w_0),</math>
:<math>x_3=\frac{1}{2}(-u_0+v_0-w_0),</math>
:<math>x_4=\frac{1}{2}(-u_0-v_0+w_0),</math>
:arba, pavyzdžiui,
:<math>x_1=\frac{1}{2}(u_0+v_0-w_0),</math>
:<math>x_2=\frac{1}{2}(u_0-v_0+w_0),</math>
:<math>x_3=\frac{1}{2}(-u_0+v_0+w_0),</math>
:<math>x_4=\frac{1}{2}(-u_0-v_0-w_0).</math>
:Abi šios sistemos yra lygiavertės (tapatingos), nes jos gaunamos viena iš kitos, pakeitus visų ''u'', ''v'' ir ''w'' ženklus priešingais. Tai nepakeičia jų reikšmių, bet tik pačius ''u'', ''v'' ir ''w'' pažymėjimus.

===Pavyzdžiai===

*Rasime lygties <math>x^4+x^2+x-1=0</math> realiąją šaknį.
:Turime, kad <math>2p=1</math>, <math>p=\frac{1}{2},</math> <math>q=1</math>, <math>r=-1</math>.
:Turime
:<math>2x=u+v+w</math>
:ir lygčių sistemą
:<math>  \begin{cases}
    u^2+v^2+w^2=-4p, & \\
    u^2 v^2+u^2 w^2+v^2 w^2=4(p^2-r), & \\
    uvw=-q; & 
\end{cases}</math>
:pakeliame trečią eilutę kvadratu, kad atitiktų Vijeto teoremą:
:<math>  \begin{cases}
    u^2+v^2+w^2=-4p, & \\
    u^2 v^2+u^2 w^2+v^2 w^2=4(p^2-r), & \\
    u^2 v^2 w^2=q^2. & 
\end{cases}</math>
:Tada įstatę į lygčių sistemą ''p'', ''q'' ir ''r'' reikšmes, gauname:
:<math>u^2+v^2+w^2=-4\cdot\frac{1}{2}=-2;</math>
:<math>u^2 v^2+u^2 w^2+v^2 w^2=4(\left(\frac{1}{2}\right)^2-(-1))=4(\frac{1}{4}+1)=1+4=5;</math>
:<math>u^2 v^2 w^2=(-1)^2=1.</math>
:Sudarome kubinę pagalbinę lygtį, pritaikę Vijeto teoremą:
:<math>y^3-(u^2+v^2+w^2)y^2+(u^2 v^2+u^2 w^2+v^2 w^2)y-u^2 v^2 w^2=0,</math>
:<math>y^3-(-2)y^2+5y-1=0,</math>
:<math>y^3+2y^2+5y-1=0.</math>
:Iš kubinės lygties kalkuliatoriaus https://www.calculatorsoup.com/calculators/algebra/cubicequation.php internete, randame, kad
:<math>y_1=0.1850373752486395;</math> 
:<math>y_2= -1.0925186876243198+2.0520030453017895i;</math>
:<math>y_3= -1.0925186876243198-2.0520030453017895i.</math>
:Tada:
:<math>2x=u+v+w=\sqrt{y_1}+\sqrt{y_2}+\sqrt{y_3}.</math> 
:Kad ištrauktume šaknį iš kompleksinio skaičiaus pasinaudosime formulėmis:
:<math>\sqrt{a_1+a_2 i}=\pm\left(\sqrt{\frac{a_1+\sqrt{a_1^2+a_2^2}}{2}}+i\sqrt{\frac{-a_1+\sqrt{a_1^2+a_2^2}}{2}}\right), \quad kai \quad a_2>0.</math>
:<math>\sqrt{a_1+a_2 i}=\pm\left(\sqrt{\frac{a_1+\sqrt{a_1^2+a_2^2}}{2}}-i\sqrt{\frac{-a_1+\sqrt{a_1^2+a_2^2}}{2}}\right), \quad kai \;\;\;\; a_2<0.</math>
:Taigi, gauname:
:<math>u=\sqrt{y_1}=\sqrt{0.185037375}=0.430159708;</math> 
:<math>v=\sqrt{y_2}=\sqrt{-1.092518688+2.052003045i}=</math>
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{-1.092518688+\sqrt{(-1.092518688)^2+2.052003045^2}}{2}}+i\sqrt{\frac{-(-1.092518688)+\sqrt{(-1.092518688)^2+2.052003045^2}}{2}}\right)=</math>
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{-1.092518688+\sqrt{1.193597084+4.210716497}}{2}}+i\sqrt{\frac{1.092518688+\sqrt{1.193597084+4.210716497}}{2}}\right)=</math>
<math>=\pm\left(\sqrt{\frac{-1.092518688+2.324717957}{2}}+i\sqrt{\frac{1.092518688+2.324717957}{2}}\right)=</math>
:<math>=\pm\left(\sqrt{0.616099634}+i\sqrt{1.708618323}\right)=\pm\left(0.784920145+1.307141279i\right);</math>
:<math>w=\sqrt{y_3}=\sqrt{-1.092518688-2.052003045i}=\pm(0.784920145-1.307141279i).</math>
:Toliau gauname lygties <math>x^4+x^2+x-1=0</math> sprendinius:
:<math>x_0=\frac{1}{2}(\pm 0.430159708\pm\left(0.784920145+1.307141279i\right)\pm(0.784920145-1.307141279i));</math>
:<math>x_1=\frac{1}{2}(u_0+v_0+w_0)=\frac{1}{2}(0.430159708+\left(0.784920145+1.307141279i\right)+(0.784920145-1.307141279i))=</math>
:<math>=\frac{1}{2}(0.430159708+2\cdot 0.784920145)=\frac{1.999999998}{2}=1;</math>
:<math>x_2=\frac{1}{2}(u_0-v_0-w_0)=\frac{1}{2}(0.430159708-\left(0.784920145+1.307141279i\right)-(0.784920145-1.307141279i))=</math>
:<math>=\frac{1}{2}(0.430159708-2\cdot 0.784920145)=-0.569840291;</math>
:<math>x_3=\frac{1}{2}(-u_0+v_0-w_0)=\frac{1}{2}(-0.430159708+\left(0.784920145+1.307141279i\right)-(0.784920145-1.307141279i))=</math>
:<math>=\frac{1}{2}(-0.430159708+1.307141279i+1.307141279i)=-0.215079854+1.307141279i;</math>
:<math>x_4=\frac{1}{2}(-u_0-v_0+w_0)=\frac{1}{2}(-0.430159708-\left(0.784920145+1.307141279i\right)+(0.784920145-1.307141279i))=</math>
:<math>=\frac{1}{2}(-0.430159708-1.307141279i-1.307141279i)=-0.215079854-1.307141279i;</math>
:<math>x_5=\frac{1}{2}(u_0+v_0-w_0)=\frac{1}{2}(0.430159708+\left(0.784920145+1.307141279i\right)-(0.784920145-1.307141279i))=</math>
:<math>=\frac{1}{2}(0.430159708+2\cdot 1.307141279i)=0.215079854+1.307141279i;</math>
:<math>x_6=\frac{1}{2}(u_0-v_0+w_0)=\frac{1}{2}(0.430159708-\left(0.784920145+1.307141279i\right)+(0.784920145-1.307141279i))=</math>
:<math>=\frac{1}{2}(0.430159708+2\cdot (-1.307141279i))=0.215079854-1.307141279i;</math>
:<math>x_7=\frac{1}{2}(-u_0+v_0+w_0)=\frac{1}{2}(-0.430159708+\left(0.784920145+1.307141279i\right)+(0.784920145-1.307141279i))=</math>
:<math>=\frac{1}{2}(-0.430159708+2\cdot 0.784920145)=-0.215079854+0.784920145=0.569840291;</math>
:<math>x_8=\frac{1}{2}(-u_0-v_0-w_0)=\frac{1}{2}(-0.430159708-\left(0.784920145+1.307141279i\right)-(0.784920145-1.307141279i))=</math>
:<math>=\frac{1}{2}(-0.430159708-2\cdot 0.784920145)=-0.215079854-0.784920145=-1.</math>
:Pusė iš šių sprendinių neteisingi. Iš realiųjų sprendinių neteisingi sprendiniai yra <math>x_1</math> ir <math>x_2</math>. Pirmi keturi sprendiniai turėtų būti neteisingi, nes netenkina sąlygos <math>u_0 v_0 w_0=-q.</math> Kitaip tariant, pirmi keturi sprendiniai yra likusieji sprendiniai su ženklu "minus". T. y. <math>x_1=-x_8, \;\; x_2=-x_7, \;\; x_3=-x_6, \;\; x_4=-x_5.</math>
:Visada arba pirmi keturi sprendiniai teisingi, arba paskutiniai keturi sprendiniai teisingi. Nes pirmies keturiems sprendiniams:
:<math>u_0 v_0 w_0=u_0 v_0 w_0, \; u_0 (-v_0) (-w_0)=u_0 v_0 w_0, \; (-u_0) v_0 (-w_0)=u_0 v_0 w_0, \; (-u_0) (-v_0) w_0=u_0 v_0 w_0;</math>
:o keturiems paskutiniams sprendiniams:
:<math>u_0 v_0 (-w_0)=-u_0 v_0 w_0, \; u_0 (-v_0) w_0=-u_0 v_0 w_0, \; (-u_0) v_0 w_0=-u_0 v_0 w_0, \; (-u_0) (-v_0) (-w_0)=-u_0 v_0 w_0.</math>