Peržiūrėti šaltinį Matematika/Paviršinis integralas

== Paviršiaus ploto apskaičiavimas ==
Tarkime, kad srityje ''D'' paviršių nusako lygtis z=z(x, y), funkcijos išvestinės <math>z_x'</math> ir <math>z_y'</math> yra tolydžios srityje ''D''. Paviršiaus dalies, kurios projekcija plokštumoje ''xOy'' yra sritis ''D'', plotas apskaičiuojamas pagal formulę
<math>S=\iint_D\sqrt{1+(z_x')^2+(z_y')^2}dxdy=\iint_D\sqrt{1+({\partial z\over\partial x})^2+({\partial z\over\partial y})^2}dxdy.</math>  

===Pavyzdžiai===
[[Vaizdas:pavir.PNG|thumb|1.]]
*Apskaičiuosime <math>\iint_S dS</math> dalyje piltuvėlio paviršiaus <math>z=\sqrt{x^2+y^2},\;1\leq z\leq 2</math> plotą.  Paviršius ''S'' projektuojasi į plokštumą ''XOY'' srityje ''D'', kuri yra žiedas <math>1\leq x^2+y^2\leq 4.</math> Šitame žiede funkcijos <math>z=\sqrt{x^2+y^2},\; z_x'={x\over\sqrt{x^2+y^2}},\; z_y'={y\over\sqrt{x^2+y^2}}</math> - netrūkios. Todėl
:<math>\iint_S dS=\iint_D\sqrt{1+{x^2\over x^2+y^2}+{y^2\over x^2+y^2}}dxdy=\iint_D\sqrt{2}dxdy=\sqrt{2}\int_0^{2\pi}d\phi\int_1^2\rho d\rho=\sqrt{2}\int_0^{2\pi}{\rho^2\over 2}|_1^2 d\phi=</math>
:<math>=\sqrt{2}\int_0^{2\pi}({2^2\over 2}-{1^2\over 2}) d\phi=\sqrt{2}\int_0^{2\pi}{3\over 2}d\phi=\sqrt{2}\cdot {3\over 2}\phi|_0^{2\pi}={3\sqrt{2}\over 2}(2\pi-0)=3\pi\sqrt{2}=13.32864881.</math>
:Patikriname. Kūgio paviršiaus ploto formulė be pagrindo yra <math>S=\pi R l,</math> kur ''R'' yra pagrindo spindulys, o ''l'' yra apotema ir didžiojo kūgio yra lygi <math>l_d=\sqrt{R^2+H^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.</math> O mažojo kūgio apotema yra lygi <math>l_m=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.</math> Dabar galime rasti piltuvėlio formos figuros tikrąjį plotą:
<math>S_3=S_d-S_m=\pi R l_d-\pi r l_m=\pi \cdot 2\cdot 2\sqrt{2}-\pi\cdot 1\cdot \sqrt{2}=4\pi\sqrt{2}-\pi\sqrt{2}=3\pi\sqrt{2}=13.32864881.</math>

[[Vaizdas:pavir2.PNG|thumb|2.]]
*Rasime plotą dalies kanoninio paviršiaus <math>z=\sqrt{x^2+y^2},</math> iškerpamo plokštumomis <math>x=0,</math> <math>y=0,</math> <math>x+y=1,</math> <math>x+y=2</math> ir gulinčios pirmame oktante. Taip kaip funkcija <math>f(x, y)=\sqrt{x^2+y^2}</math> ir srtitis ''D'', esanti projekcija šios dalies į plokšumą ''XOY'', tenkina tolydumo sąlyga, apskaičiuojame paviršių pagal formulę. Be to <math>f_x'(x, y)={x\over\sqrt{x^2+y^2}}, \;f_y'(x, y)={y\over\sqrt{x^2+y^2}},</math> <math>\sqrt{1+f_x'^2(x, y)+f_y'^2(x, y)}=\sqrt{2},</math> t. y.
<math>S=\iint_D\sqrt{2}dD=\sqrt{2}\iint_D dD=\sqrt{2}D={3\over 2}\sqrt{2}.</math> 
Sritį ''D'' randame kaip trikampių skirtumą: <math>S_{\Delta 1}={2^2\over 2}=\int_0^2(2-x)dx=2;\;S_{\Delta 2}={1^2\over 2}=\int_0^1(1-x)dx={1\over 2};\;D=S_{\Delta 1}-S_{\Delta 2}=2-\frac{1}{2}={3\over 2}.</math>

[[Vaizdas:1315pav.jpg|thumb|13.15.]]
*Paraboliniai cilindrai <math>y=\sqrt{x},\; y=2\sqrt{x}</math> bei plokštuma <math>z=0</math> išpjauna iš plokštumos <math>x+z=4</math> kreivinį trikampį (13.15 pav.). Apskaičiuokime jo plotą. 
Plokštumos lygtį parašykime taip: <math>z=4-x.</math> Kreivinį trikampį projektuokime į plokštumą xOy. Randame: <math>z_x'=-1,\; z_y'=0,\; \sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}=\sqrt{2}.</math> Tuomet
<math>S=\iint_D\sqrt{2}dxdy=\sqrt{2}\int_0^4 dx\int_{\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}}dy=\sqrt{2}\int_0^4(2\sqrt{x}-\sqrt{x}) dx=\sqrt{2}\cdot{2\over 3}x^{3\over 2}|_0^4=</math>
<math>={2\sqrt{2}\over 3}\cdot 8={16\sqrt{2}\over 3}=7.542472333.</math>


*Raskime plotą tos ritinio <math>y^2+z^2=a^2</math> paviršiaus ploto dalies, kurią išpjauna ritinys <math>x^2+y^2=a^2.</math> 
Iš paviršiaus lygties <math>y^2+z^2=a^2</math> išplaukia, kad <math>z=\sqrt{a^2-y^2}.</math> Šią paviršiaus dalį projektuojame į plokštumą ''yOx''. 
Vadinasi: <math>z_y'=-{y\over \sqrt{a^2-y^2}},</math> <math>z_x'=0;</math> 
:<math>\sqrt{1+z_y'^2+z_x'^2}=\sqrt{1+\left(-{y\over \sqrt{a^2-y^2}}\right)^2+0^2}=\sqrt{1+\frac{y^2}{a^2-y^2}}=\sqrt{ \frac{(a^2-y^2)+y^2}{a^2-y^2}}={a\over\sqrt{a^2-y^2}}.</math> 
Tuomet
<math>S=\iint_D{a\over \sqrt{a^2-y^2}} \mathsf{d}x \mathsf{d}y;</math> 
čia integravimo sritis ''D'' yra ketvirtis skritulio, apriboto apskritimo <math>x^2+y^2=a^2.</math> Taigi
<math>S=a\int_0^a{dy\over \sqrt{a^2-y^2}}\int_0^{\sqrt{a^2-y^2}}dx=a\int_0^a{dy\over \sqrt{a^2-y^2}}x|_0^{\sqrt{a^2-y^2}}=a\int_0^a{dy\over \sqrt{a^2-y^2}}(\sqrt{a^2-y^2}-0)=a\int_0^a dy=a y|_0^a=a(a-0)=a^2.</math>
:Palyginimui, kvadrato plotas yra <math>S_k= a^2.</math> Paviršiaus plotas kurį suradome turi projekciją į ''xOy'' ašį, o tos projekcijos plotas yra <math>\frac{\pi r^2}{4}=\frac{\pi a^2}{4}.</math>

[[Vaizdas:1316pav.jpg|thumb|13.16.]]
*Raskime plotą tos ritinio <math>x^2+y^2=a^2</math> paviršiaus ploto dalies, kurią išpjauna ritinys <math>y^2+z^2=a^2.</math> 
Iš paviršiaus lygties <math>x^2+y^2=a^2</math> išplaukia, kad <math>x=\sqrt{a^2-y^2}.</math> Šią paviršiaus dalį projektuojame į plokštumą ''yOz''. 
Vadinasi: <math>x_y'=-{y\over \sqrt{a^2-y^2}},</math> <math>x_z'=0,</math> <math>\sqrt{1+x_y'^2+x_z'^2}={a\over\sqrt{a^2-y^2}}.</math> 
Tuomet
<math>S=8\iint_D{a\over \sqrt{a^2-y^2}}dydz;</math> 
čia integravimo sritis ''D'' yra ketvirtis skritulio, apriboto apskritimo <math>y^2+z^2=a^2.</math> Taigi
<math>S=8a\int_0^a{dy\over \sqrt{a^2-y^2}}\int_0^{\sqrt{a^2-y^2}}dz=8a\int_0^a dy=8a^2.</math>
:Palyginimui, kvadrato plotas yra <math>S_k= a^2,</math> o visuose oktantuose esantis plotas lygus <math>S_K=8\cdot  a^2.</math> 
:Paaiškinimui, ritinio spindulys r=a, o aukštinė h=a, jei skaičiuoti tik teigiamas reikšmes (viename oktante) arba h=2a su ritinio puse(mis) esančia(-iomis) kituose oktantuose, kai ''z'', ''x'' reikšmės neigiamos. Pirmo ritinio pagrindas yra plokštumoje ''xOy'', o centras yra (0; 0; 0), o antro ritinio pagrindas yra plokštumoje ''zOy'', o centras (0; 0; 0) (jei neigiamos ''z'' ir ''x'' reikšmės "nepratesiamos"). 

[[Vaizdas:pavir3.PNG|thumb|3.]]
*Apskaičiuosime plotą tos dalies plokštumos <math>6x+3y+2z=12,</math> kuri yra pirmame oktante.
Taip kaip funkcija <math>z=6-3x-(3/2)y</math> ir sritis ''D'', esanti projekcija šios dalies paviršiaus į plokštumą ''Oxy'', tenkina suformuluotas auksčiau salygas, tai ieškomą plotą galima apskaičiuoti pagal formule. Turime
<math>f_x'(x, y)=-3,</math> <math>f_y'(x, y)=-3/2;</math> <math>\sqrt{1+f_x'^2(x, y)+f_y'^2(x, y)}=\sqrt{1+9+9/4}=7/2.</math> Sritis ''D'' yra trikampis, apribotas ašimis ''Ox'', ''Oy'' ir tiese 6x+3y=12, gaunamos iš lygties duotos plokštumos kai z=0. Išdėstę integravimo ribas dvilypiam integrale, gauname
<math>S=\int_0^2 dx\int_0^{4-2x}{7\over 2} dy={7\over 2}\int_0^2 y|_0^{4-2x} dx={7\over 2}\int_0^2 (4-2x) dx=</math>
:<math>={7\over 2}(4x-x^2)|_0^2={7\over 2}\cdot 4=14.</math>
:Šį plotą galima surasti ir klasikiniu budu. Ieškomas plotas yra trikampis ''ABC'', kurio taškai yra A(2; 0; 0), B(0; 4; 0) ir C(0; 0; 6). Pavadiname atkarpas AB=a, BC=b, CA=c; OA=d=2, OB=e=4, OC=f=6. Koordinačių pradžios taškas yra O(0; 0; 0). Randame trikampio ABC kraštinių ilgius:
:<math>a=\sqrt{d^2+e^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}=4.472135955;</math>
:<math>b=\sqrt{e^2+f^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}=7.211102551;</math>
:<math>c=\sqrt{d^2+f^2}=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}=6.32455532.</math>
:Toliau randame trikampio ''ABC'' pusperimetrį <math>p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{13}+2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{5}+\sqrt{13}+\sqrt{10}=9.003896913</math> ir plotą:
:<math>S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{9.003896913(9.003896913-\sqrt{20})(9.003896913-\sqrt{52})(9.003896913-\sqrt{40})}=</math>
:<math>=\sqrt{9.003896913\cdot 4.531760958\cdot 1.792794362\cdot 2.679341593}=\sqrt{196}=14.</math>

[[Vaizdas:pavirsinisintris427.jpg|thumb|427.]]
*Apskaičiuoti plotą plokštumos <math>2x+3y+z=6</math> esančios pirmame oktante (pav. 427).
:Randame:
:<math>z=6-2x-3y;</math>
:<math>\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial (6-2x-3y)}{\partial x}=-2;</math>
:<math>\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial (6-2x-3y)}{\partial y}=-3;</math>
:<math>\sqrt{1+(z_x'(x, y))^2+(z_y'(x, y))^2}=\sqrt{1+(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.</math>
:Sritis <math>\sigma</math> yra trikampis, apribotas ašimis ''Ox'', ''Oy'' ir tiese 2x+3y=6, y=(6-2x)/3 gaunama iš lygties duotos plokštumos kai z=0. Išdėstę integravimo ribas dvilypiam integrale, gauname
:<math>S=\int_0^3 dx\int_0^{6-2x\over 3}\sqrt{14} dy=\sqrt{14}\int_0^3 dx \; y|_0^{6-2x\over 3} =\sqrt{14}\int_0^3 {6-2x\over 3} dx=\frac{\sqrt{14}}{3}(6x-x^2)|_0^3=</math>
:<math>=\frac{\sqrt{14}}{3}(6\cdot 3 -3^2)=\frac{\sqrt{14}}{3}(18 -9)=\frac{\sqrt{14}}{3}\cdot 9=3\sqrt{14}=11.22497216.</math>
:Šį plotą galima surasti ir klasikiniu budu. Ieškomas plotas yra trikampis ''ABC'', kurio taškai yra A(3; 0; 0), B(0; 2; 0) ir C(0; 0; 6). Pavadiname atkarpas AB=a, BC=b, CA=c; OA=d=3, OB=e=2, OC=f=6. Koordinačių pradžios taškas yra O(0; 0; 0). Randame trikampio ABC kraštinių ilgius:
:<math>a=\sqrt{d^2+e^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}=3,605551275;</math>
:<math>b=\sqrt{e^2+f^2}=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}=6,32455532;</math>
:<math>c=\sqrt{d^2+f^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}=6,708203933.</math>
:Toliau randame trikampio ''ABC'' pusperimetrį <math>p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{40}+\sqrt{45}}{2}=8,319155264</math> ir plotą:
:<math>S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{8,319155264(8,319155264-\sqrt{13})(8,319155264-\sqrt{40})(8,319155264-\sqrt{45})}=</math>
:<math>=\sqrt{8.319155264\cdot 4.713603989\cdot 1.994599944\cdot 1.610951332}=\sqrt{126}=11.22497216.</math>