Kompleksiniai skaičiai

Kompleksinis skaičius yra dviejų realiųjų skaičių pora z:

$z=(a,b)=a+b\cdot i=Re(z)+iIm(z)$,

kur a ir b – realieji skaičiai, o $i=(0,1)$ – menamasis vienetas tenkinantis sąlygą:

$i^2=-1$

Nors priimta, kad $i=\sqrt{-1}$, tačiau ši išraiška turi būti taikoma su tam tikromis išlygomis.

Skaičius a vadinamas realiąja z dalimi, žymima a = Re(z), skaičius b vadinamas menamąja z dalimi, žymima b = Im(z).

Kompleksinių skaičių aibė žymima C:

$ℂ=\{a+b\cdot i;a,b\in ℝ\}$

Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais

Sudėtis

$(a,b)+(c,d)=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)\cdot i=(a+c,b+d)$

Atimtis

$(a,b)-(c,d)=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)\cdot i=(a-c,b-d)$,

Daugyba

$(a,b)\cdot (c,d)=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)\cdot i=(ac-bd,ad+bc)$

• $a\cdot (1,0)=(a,0)\cdot (1,0)=(a,0)=a$
• $b\cdot (0,1)=(b,0)\cdot (0,1)=(b+0)\cdot (0+i)=0+bi=(0,b)=bi$

Dalyba

$\frac{(a,b)}{(c,d)}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{(bc-ad)}{c^2+d^2}\cdot i=(\frac{ac+bd}{c^2+d^2},\frac{bc-ad}{c^2+d^2}),$

• $\frac{(a,b)}{(a,b)}=\frac{a+bi}{a+bi}=1+0i=(1,0)=1$.
• $\frac{1}{(c,d)}=\frac{(1,0)}{(c,d)}=\frac{1+0i}{c+di}=\frac{c}{c^2+d^2}+(\frac{-d}{c^2+d^2})i=(\frac{c}{c^2+d^2},\frac{-d}{c^2+d^2})$.

Įrodymai

Sudėtis

$(a,b)+(c,d)=(a+bi)+(c+di)=a+bi+c+di=a+c+(b+d)\cdot i=(a+c,b+d)$

Atimtis

$(a,b)-(c,d)=(a+bi)-(c+di)=a+bi-c-di=a-c+(b-d)\cdot i=(a-c,b-d)$,

Daugyba

$(a,b)\cdot (c,d)=(a+bi)(c+di)=ac+adi+cbi+bidi=ac-bd+(ad+bc)i=(ac-bd,ad+bc)$

• $a\cdot (1,0)=(a,0)\cdot (1,0)=(a+0)\cdot (1+0)=(a,0)=a$
• $b\cdot (0,1)=(b,0)\cdot (0,1)=(b+0)\cdot (0+i)=(b\cdot 0+b\cdot i+0\cdot 0+0\cdot i)=0+bi=(0,b)=bi$

Dalyba

$\frac{(a,b)}{(c,d)}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd+bci-adi}{c^2+d^2}=(\frac{ac+bd}{c^2+d^2},\frac{bc-ad}{c^2+d^2}),$

• $\frac{(a,b)}{(a,b)}=\frac{a+bi}{a+bi}=1+0i=(1,0)=1$.
• $\frac{1}{(c,d)}=\frac{(1,0)}{(c,d)}=\frac{1+0i}{c+di}=\frac{1\cdot c+0\cdot d}{c^2+d^2}+\frac{(0\cdot c-1\cdot d)i}{c^2+d^2}=\frac{c}{c^2+d^2}+(\frac{-d}{c^2+d^2})i=(\frac{c}{c^2+d^2},\frac{-d}{c^2+d^2})$.

Dalybos:

$(c+di)\frac{ac+bd+bci-adi}{c^2+d^2}=\frac{a{c}^2+bcd+b{c}^{2}i-acdi+acdi+b{d}^{2}i-bcd+a{d}^2}{c^2+d^2}=$

$=\frac{a{c}^2+b{c}^{2}i+b{d}^{2}i+a{d}^2}{c^2+d^2}=\frac{c^2(a+bi)+d^2(bi+a)}{c^2+d^2}=\frac{(c^2+d^2)(a+bi)}{c^2+d^2}=a+bi$.

• $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$.

Pavyzdys.

$z_1=(2+5i),$ $z_2=(4+3i)$.

$z=z_1{z}_2=(2+5i)(4+3i)=8+6i+20i-15=-7+26i$.

Čia gauto vektoriaus z koordinatės (x; y)=(-7, 26).

Gauto vektoriaus z ilgis :$r=\sqrt{(-7{)}^2+26^2}=\sqrt{725}\approx 26.92582404$.

$r_1=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}\approx 5.385$,

$r_2=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$.

$r=r_1{r}_2=5\sqrt{29}\approx 26.92582404$.

Kaip matome naujo vektoriaus z ilgį galima surasti ir be menamojo vieneto i.

${\varphi }_1=\arccos \frac{a}{r_1}=\arcsin \frac{b}{r_1}=\arccos \frac{2}{\sqrt{29}}\approx 1.19028995$

${\varphi }_2=\arccos \frac{c}{r_2}=\arcsin \frac{d}{r_2}=\arccos \frac{4}{5}\approx 0.643501108$

$z=z_1{z}_2=r_1(\cos {\varphi }_1+i\sin {\varphi }_1)r_2(\cos {\varphi }_2+i\sin {\varphi }_2)=r(\cos ({\varphi }_1+{\varphi }_2)+i\sin ({\varphi }_1+{\varphi }_2))=26.92582404(\cos (1.19028995+0.643501108)+i\sin (1.833791058))=$

$=26.92582404(-0.259973473+0.965615758i)=-6.999999989+25.99999999i$.

Kaip matome praktiškai visiškai tiksliai suradome naujo vektoriaus z koordinates (-7, 26), be panaudojimo menamojo vieneto savybių (i²=-1) ir menamasis vienetas atliko tik žymeklio vaidmenį.

Čia mes sudėjome du kampus per kuriuos buvo pasukti nuo x ašies abu vektoriai ((a, b) ir (c, d)). Pavyzdžiui vektorius (a, b) su x ašimi sudaro ${\varphi }_1$=~68.2 laipsnių kampą, o vektorius (c, d) su x ašimi sudaro ${\varphi }_2$=~36.87 laipsnių kampą. Kai mes sudauginome $z_1{z}_2$, tai kampai susidėjo ir atsirado naujas vektorius kurio ilgis $r=r_1{r}_2=26.92582404$ ir kuris su x ašimi sudaro $\varphi ={\varphi }_1+{\varphi }_2$=36.87+68.2=~105.07 laipsnių kampą. Kaip matome kampus galima sudėti ir be kompleksinių skaičių, o sudaugintų vektorių ilgius ($r_1$ ir $r_2)$ bei naujo atsiradusio vektoriaus $r=r_1{r}_2$ ilgį taip pat rasti be kompleksinių skaičių (o tiksliau be menamojo vieneto i ).

Kompleksiniai skaičiai trigonometrijoje

• Kompleksinių skaičių daugyba.

Aukščiau nustatėme, kad dviejų kompleksinių skaičių $z_1=(x_1,y_1)$ ir $z_2=(x_2,y_2)$ sandauga yra lygi

$z=z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2,x_1{y}_2+x_2{y}_1).(7.2)$

Sakykime, duoti du bet kokie kompleksiniai skaičiai

$z_1=(x_1,y_1)=({\rho }_1\cos {\theta }_1,{\rho }_1\sin {\theta }_1)$

ir

$z_2=(x_2,y_2)=({\rho }_2\cos {\theta }_2,{\rho }_2\sin {\theta }_2).$

Pagal daugybos apibrėžimą ((7.2) formulė)

$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2,x_1{y}_2+x_2{y}_1)=({\rho }_1{\rho }_2\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2-{\rho }_1{\rho }_2\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2,{\rho }_1{\rho }_2\cos {\theta }_1\sin {\theta }_2+{\rho }_1{\rho }_2\sin {\theta }_1\cos {\theta }_2)=$

$=[({\rho }_1{\rho }_2)\cos ({\theta }_1+{\theta }_2),({\rho }_1{\rho }_2)\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)].(7.7)$

Pasinaudojome trigonometrinėmis formulėmis:

$\cos (A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B,$

$\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B.$

Vadinasi, sudauginus du kompleksinius skaičius, jų argumentai (pasisukimo nuo ašies Ox kampai) sudedami.

Kai kampai ${\theta }_1={\theta }_2=\theta ,{\rho }_1={\rho }_2=\rho ,$ gauname:

$(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta {)}^2=({\rho }^2\cos (2\theta ),{\rho }^2\sin (2\theta )).$

Kai kampai ${\theta }_1={\theta }_2=\theta$ ir $\rho =1$ gauname Muavro formulę, kai n=2:

$(\cos \theta ,\sin \theta {)}^2=(\cos (2\theta ),\sin (2\theta )).$

Indukcijos metodu galima įrodyti Muavro formulę bet kokiam n:

$(\cos \theta ,\sin \theta {)}^n=(\cos n\theta ,\sin n\theta ).$

Pastarąją forumulę galima užrašyti ir šitaip:

$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta .$

• Muavro formulės įrodymas indukcijos metodu.

Remdamiesi kompleksinių skaičių sandaugos (7.7) formule, turime

$(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \theta +i\sin \theta )=\cos (\theta +\theta )+i\sin (\theta +\theta )$ arba $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^2=\cos 2\theta +i\sin 2\theta ,$

$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^2(\cos \theta +i\sin \theta )=(\cos 2\theta +i\sin 2\theta )(\cos \theta +i\sin \theta )=\cos (2\theta +\theta )+i\sin (2\theta +\theta )$ arba $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3=\cos 3\theta +i\sin 3\theta ,$

$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3(\cos \theta +i\sin \theta )=(\cos 3\theta +i\sin 3\theta )(\cos \theta +i\sin \theta )=\cos (3\theta +\theta )+i\sin (3\theta +\theta )$ arba $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^4=\cos 4\theta +i\sin 4\theta ,$

..........

$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^{n-1}(\cos \theta +i\sin \theta )=(\cos ((n-1)\theta )+i\sin ((n-1)\theta ))(\cos \theta +i\sin \theta )=\cos ((n-1)\theta +\theta )+i\sin ((n-1)\theta +\theta )$ arba $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta .$

• Kompleksinių skaičių dalyba.

Dviejų kompleksinių skaičių $z_1=(x_1,y_1)$ ir $z_2=(x_2,y_2)$ dalmuo yra lygus

$z=\frac{z_1}{z_2}=(\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2},\frac{x_2{y}_1-x_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}).(7.4)$

Analogiškai remdamiesi (7.4) formule, įsitikiname, kad kompleksinių skaičių $z_1=(x_1,y_1)=({\rho }_1\cos {\theta }_1,{\rho }_1\sin {\theta }_1)$ ir $z_2=(x_2,y_2)=({\rho }_2\cos {\theta }_2,{\rho }_2\sin {\theta }_2)$ dalmuo $\frac{z_1}{z_2}$ išreiškiamas šitaip ($z_2$ nelygus nuliui, t. y. ${\rho }_2\ne 0$):

$\frac{z_1}{z_2}=(\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2},\frac{x_2{y}_1-x_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2})=$

$=(\frac{{\rho }_1\cos ({\theta }_1){\rho }_2\cos ({\theta }_2)+{\rho }_1\sin ({\theta }_1){\rho }_2\sin ({\theta }_2)}{{\rho }_2^2{\cos }^2{\theta }_2+{\rho }_2^2{\sin }^2{\theta }_2},\frac{{\rho }_2\cos ({\theta }_2){\rho }_1\sin ({\theta }_1)-{\rho }_1\cos ({\theta }_1){\rho }_2\sin ({\theta }_2)}{{\rho }_2^2{\cos }^2{\theta }_2+{\rho }_2^2{\sin }^2{\theta }_2})=$

$=(\frac{{\rho }_1{\rho }_2\cos ({\theta }_1)\cos ({\theta }_2)+{\rho }_1{\rho }_2\sin ({\theta }_1)\sin ({\theta }_2)}{{\rho }_2^2},\frac{{\rho }_1{\rho }_2\cos ({\theta }_2)\sin ({\theta }_1)-{\rho }_1{\rho }_2\cos ({\theta }_1)\sin ({\theta }_2)}{{\rho }_2^2})=$

$=[\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}(\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2+\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2),\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}(\cos {\theta }_2\sin {\theta }_1-\cos {\theta }_1\sin {\theta }_2)]=$

$=[\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}\cos ({\theta }_1-{\theta }_2),\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)].(7.8)$

Čia pasinaudojome trigonometrinėmis formulėmis:

$\cos (A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B,$

$\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B.$

Muavro formulė

Kėlimui laipsniu yra naudojama Muavro formulė:

$z^n=(r{e}^{i\phi }{)}^n=r^n{e}^{in\phi }=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi ).$

Didelę reikšmę turi vienetinio ilgio kompleksiniai skaičiai, kai r=1.

• Kai $\phi =\frac{\pi }{4}$, tai

$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi =\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$.

$(\cos \phi +i\sin \phi {)}^2={\cos }^2\phi -{\sin }^2\phi +2i\sin \phi \cos \phi =\cos 2\phi +i\sin 2\phi =0+i$

$(\cos \phi +i\sin \phi {)}^3=\cos 3\phi +i\sin 3\phi =-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$

ir t.t. Vienetinio ilgio vektorius kaskart nuo x ašies pasisuka po 45 laipsnius prieš laikrodžio rodyklę (kai kampas $\phi =45$ laipsniai).

• Pavyzdžiui turime vieno taško $x_1$ koordinatę 0.6 ir turime $x_2$ koordinatę 0.8. Tada $y_1=\sqrt{1-0.6^2}=\sqrt{0.64}=0.8$, o $y_2=\sqrt{1-0.8}=\sqrt{0.36}=0.6$. Taigi turime $(x_1;y_1)=0.6+0.8i$ ir $(x_2;y_2)=0.8+0.6i$. Sudauginus turime: (0.6+0.8i)(0.8+0.6i)=0.48+0.36i+0.64i-0.48=i. Taigi gavome, kad x ašis yra 0, o y ašis yra 1. Taigi gavome tą patį tarsi sudėję du kampus, kur pirmas kampas yra ${\varphi }_1=\arccos 0.6=\arcsin 0.8=0.927295218=53.13010235$ laipsnio, o antras kampas yra ${\varphi }_2=\arccos x_2=\arccos 0.8=0.927295218=36.86989765$ laipnsio.

• Pavyzdys. Duotas kampas ${\varphi }_1=60$ laipsnių, kas yra lygu ${\varphi }_1=\frac{\pi }{3}=1.047197551$. Ir duotas kampas ${\varphi }_2=15$ laipsnių arba ${\varphi }_2=\frac{\pi }{12}=0.261799387$. Žinome, kad pirmo taško ant vienetinio apskritimo (kurio spindulys r=1, o centras O=(0; 0)) koordinatės yra $(x_1;y_1)=(0.5;0.866025403)$, o antro taško koordinatės yra $(x_2;y_2)=(0,965925826;0,258819045)$. Žinome, kad $\cos {\varphi }_1=\cos \frac{\pi }{3}=0.5$ ir $\sin {\varphi }_1=\sin \frac{\pi }{3}=0.866025403$. Taip pat $\cos {\varphi }_2=\cos \frac{\pi }{12}=0.965925826$ ir $\sin {\varphi }_2=\sin \frac{\pi }{12}=0.258819045$.

Įrodysime, kad kosinuso ir sinuso formulės gautos Teiloro eilutės pagalba yra teisingos (nes kalkuliatorius kosinuso ir sinuso reikšmes skaičiuoja naudodamsis Teiloro eilute, bet galima patikrinti ir betarpiškai įstačius $\varphi$ reikšmę į teiloro eilutę kosinuso, tik ilgas tikrinimas gausis).

Sudėsime kampus 60 laispnių ir 15 laipnsių ir tokiu budu gausime kampą 60+15=75 laipsnių. Arba kampus galime sudėti taip: $\varphi ={\varphi }_1+{\varphi }_2=\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{12}=\frac{5\pi }{12}=1.308996939$. Dabar sudauginsime kompleksinius skaičius (sudauginsime du taškus):

$(x;y)=(x_1+y_{1}i)(x_2+y_{2}i)=(0.5+0.866025403i)(0.965925826+0.258819045i)=$

$=0.5\cdot 0.965925826+0.5\cdot 0.258819045i+0.866025403i\cdot 0.965925826+0.866025403i\cdot 0.258819045i=$

$=0.482962913+0.129409522i+0.836516303i-0.224143868=0.258819045+i0.965925825=(0.258819045;0.965925825).$

$x^2+y^2=0.258819045^2+0.965925825^2=0.066987298+0.933012699=0.999999997$.

$x=\cos \varphi =\cos \frac{5\pi }{12}=\cos (1.308996939)=0.258819045.$

$y=\sin \varphi =\sin \frac{5\pi }{12}=\sin (1.308996939)=0.965925826.$

Kampas $\varphi$ taipogi gali būti surastas taip:

$\varphi =\frac{75\pi }{180}=0.416666667\cdot 3.141592654=1.308996939.$

• Pavyzdys. Pirmo taško koordinatės yra $(x_1;y_1)=(0.3;\sqrt{1-0.3^2})=(0.3;\sqrt{1-0.09})=(0.3;\sqrt{0.91})=(0.3;0.953939201).$ Antro taško koordinatės yra $(x_2;y_2)=(0,8;0,6)$.

Rasime trečio taško koordinates, kai susidės šie du kampai.

$(x_3;y_3)=(0.3+i0.953939201)(0.8+i0.6)=0.24+0.18i+0.763151361i-0.57236352=-0.33236352+0.943151361i=(-0.33236352;0.943151361).$

$x_3^2+y_3^2=(-0.33236352{)}^2+0.943151361^2=0.110465509+0.889534489=0.999999999$.

${\varphi }_3=\arccos x_3=\arccos (-0.33236352)=1.909604781$, tai yra lygu 109.4122945 laipsnio.

${\varphi }_3=\arcsin y_3=\arcsin (0.943151361)=1.231987872$ tai yra lygu 70.58770545 laipsnio. Ir ${\varphi }_3=90+(90-70.58770545)=90+19.41229455=109.4122946$.

${\varphi }_1=\arccos x_1=\arccos 0.3=1.266103673$, tai yra lygu 72.54239688 laipsnio.

${\varphi }_1=\arcsin y_1=\arcsin 0.953939201=1.266103673$, tai yra lygu 72.54239688 laipsnio.

${\varphi }_2=\arccos x_2=\arccos 0.8=0.643501108$, tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.

${\varphi }_2=\arcsin y_2=\arcsin 0.6=0.643501108$, tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.

${\varphi }_3={\varphi }_1+{\varphi }_2=1.266103673+0.643501108=1.909604782$ arba ${\varphi }_3={\varphi }_1+{\varphi }_2=72.54239688+36.86989765=109.4122945$ laipsnio.

• Pavyzdys. Pirmo taško koordinatės yra $(x_1;y_1)=(0.9;\sqrt{1-0.9^2})=(0.9;\sqrt{1-0.81})=(0.9;\sqrt{0.19})=(0.9;0.435889894).$ Antro taško koordinatės yra $(x_2;y_2)=(0,8;0,6)$.

Rasime trečio taško koordinates, kai susidės šie du kampai.

$(x_3;y_3)=(0.9+i0.435889894)(0.8+i0.6)=0.72+0.54i+0.348711915i-0.261533936=0.458466063+0.888711915i=(0.458466063;0.888711915).$

$x_3^2+y_3^2=0.458466063^2+0.888711915^2=0.21019113+0.789808867=0.999999998$.

${\varphi }_3=\arccos (x_3)=\arccos (0.458466063)=1.094527921$, tai yra lygu 62.71183043 laipsnio.

${\varphi }_3=\arcsin (y_3)=\arcsin (0.888711915)=1.09452792$ tai yra lygu 62.71183035 laipsnio.

${\varphi }_1=\arccos x_1=\arccos 0.9=0.451026811$, tai yra lygu 25.84193276 laipsnio.

${\varphi }_1=\arcsin y_1=\arcsin 0.435889894=0.451026811$, tai yra lygu 25.84193276 laipsnio.

${\varphi }_2=\arccos x_2=\arccos 0.8=0.643501108$, tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.

${\varphi }_2=\arcsin y_2=\arcsin 0.6=0.643501108$, tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.

${\varphi }_3={\varphi }_1+{\varphi }_2=0.451026811+0.643501108=1.094527921$ arba ${\varphi }_3={\varphi }_1+{\varphi }_2=25.84193276+36.86989765=62.71183041$ laipsnio.

• Pavyzdys. Pirmo taško koordinatės yra $(x_1;y_1)=(0.9;\sqrt{1-0.9^2})=(0.9;\sqrt{1-0.81})=(0.9;\sqrt{0.19})=(0.9;0.435889894).$ Antro taško koordinatės yra $(x_2;y_2)=(0,6;0,8)$.

Rasime trečio taško koordinates, kai susidės šie du kampai.

$(x_3;y_3)=(0.9+i0.435889894)(0.6+i0.8)=0.54+0.72i+0.261533936i-0.348711915=0.191288084+0.981533936i=(0.191288084;0.981533936).$

$x_3^2+y_3^2=0.191288084^2+0.981533936^2=0,036591131+0,963408867=0.999999998$.

${\varphi }_3=\arccos (x_3)=\arccos (0.191288084)=1.37832203$, tai yra lygu 78,97203515 laipsnio.

${\varphi }_3=\arcsin (y_3)=\arcsin (0.981533936)=1.378322027$ tai yra lygu 78,97203493 laipsnio.

${\varphi }_1=\arccos x_1=\arccos 0.9=0.451026811$, tai yra lygu 25.84193276 laipsnio.

${\varphi }_1=\arcsin y_1=\arcsin 0.435889894=0.451026811$, tai yra lygu 25.84193276 laipsnio.

${\varphi }_2=\arccos x_2=\arccos 0.6=0.927295218$, tai yra lygu 53,13010235 laipsnio.

${\varphi }_2=\arcsin y_2=\arcsin 0.8=0.927295218$, tai yra lygu 53,13010235 laipsnio.

${\varphi }_3={\varphi }_1+{\varphi }_2=0.451026811+0.927295218=1.37832203$ arba ${\varphi }_3={\varphi }_1+{\varphi }_2=25.84193276+53.13010235=78.97203512$ laipsnio.

• Pavyzdys. Sudėsime 3 kampus ${\varphi }_1=30$ laipsnių. Kampas ${\varphi }_1$ taip pat lygus ${\varphi }_1=\frac{\pi }{6}=0.523598775$ radiano. Kampo ${\varphi }_1$ galai yra taškai $(x_0;y_0)=(0;0)$ ir $(x_1;y_1)=(\frac{\sqrt{3}}{2};0.5)=(0.866025403;0.5).$ Ir $0.866025403^2+0.5^2=0.75+0.25=1$.

$(x_2;y_2)=(x_1+i{y}_1{)}^2=(\frac{\sqrt{3}}{2}+i0.5{)}^2=0.75+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{i}{2}-0.25=0.5+\frac{i\sqrt{3}}{2}=(0.5;0.866025403).$

$(x_3;y_3)=(x_2+i{y}_2)(x_1+i{y}_1)=(0.5+i0.866025403)(0.866025403+i0.5)=0.433012701+i0.25+i0.75-0.433012701=i=(0;1).$

${\varphi }_1=\arccos x_1=\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=0.523598775$, tai yra 30 laipsnių.

${\varphi }_2=\arccos x_2=\arccos 0,5=1,047197551$, tai yra 60 laipsnių.

${\varphi }_3=\arccos x_3=\arccos (0)=1,570796327$, tai yra 90 laipsnių.

• Pavyzdys. Pasinaudodami kompleksinių skaičių dalybos taisykle $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(ac-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$, atimsime vieną kampą iš kito. Pirmo taško koordinatės yra $(x_1;y_1)=(0.6;0.8)$, o antro taško koordinatės yra $(x_2;y_2)=(0.8;0.6)$. Atimsime antrą kampą iš pirmo.

$(x_3;y_3)=(x_1+i{y}_1)/(x_2+i{y}_2)=(0.6+i0.8)/(0.8+i0.6)=$

$=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}+\frac{y_1{x}_2-x_1{y}_2}{x_2^2+y_2^2}\cdot i=\frac{0.6\cdot 0.8+0.8\cdot 0.6}{0.6^2+0.8^2}+\frac{0.8\cdot 0.8-0.6\cdot 0.6}{0.8^2+0.6^2}\cdot i=$

$=\frac{0.48+0.48}{0.36+0.64}+\frac{0.64-0.36}{0.64+0.36}\cdot i=\frac{0.96}{1}+\frac{0.28}{1}\cdot i=(0.96;0.28).$

$(x_3{)}^2+(y_3{)}^2=0.96^2+0.28^2=0.9216+0.0784=1$.

${\varphi }_3=\arccos (x_3)=\arccos (0.96)=0.283794109$, tai yra lygu 16.26020471 laipsnio.

${\varphi }_3=\arcsin (y_3)=\arcsin (0.28)=0.283794109$ tai yra lygu 16.26020471 laipsnio.

${\varphi }_1=\arccos x_1=\arccos 0.6=0.927295218$, tai yra lygu 53.13010235 laipsnio.

${\varphi }_1=\arcsin y_1=\arcsin 0.8=0.927295218$, tai yra lygu 53.13010235 laipsnio.

${\varphi }_2=\arccos x_2=\arccos 0.8=0.643501108$, tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.

${\varphi }_2=\arcsin y_2=\arcsin 0.6=0.643501108$, tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.

${\varphi }_3={\varphi }_1-{\varphi }_2=0.927295218-0.643501108=0.283794109$ arba ${\varphi }_3={\varphi }_1-{\varphi }_2=53.13010235-36.86989765=16.26020471$ laipsnio.

Pritaikę vektorių formulę dvimatėms koordinatėms, galime patikrinti, kad:

$x_3=\frac{x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}}=\frac{0.6\cdot 0.8+0.8\cdot 0.6}{\sqrt{0.6^2+0.8^2}\cdot \sqrt{0.8^2+0.6^2}}=\frac{0.48+0.48}{\sqrt{0.36+0.64}\cdot \sqrt{0.64+0.36}}=\frac{0.96}{\sqrt{1}\cdot \sqrt{1}}=0.96;$

$y_3=|\frac{x_1\cdot y_2-x_2\cdot y_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}}|=|\frac{0.6\cdot 0.6-0.8\cdot 0.8}{\sqrt{0.6^2+0.8^2}\cdot \sqrt{0.8^2+0.6^2}}|=|\frac{0.36-0.64}{\sqrt{0.36+0.64}\cdot \sqrt{0.64+0.36}}|=|\frac{-0.28}{\sqrt{1}\cdot \sqrt{1}}|=|-0.28|=0.28.$

Šios vektrorių formulės dvimatėms koordinatėms (skirtos kampui atimti) išplaukia iš vektorių formulių, surasti kampui tarp dviejų vektorių:

$\varphi =\arccos \frac{x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2+z_1\cdot z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}};$

$\varphi =\arcsin \frac{\sqrt{(x_1\cdot y_2-x_2\cdot y_1{)}^2+(x_1\cdot z_2-x_2\cdot z_1{)}^2+(y_1\cdot z_2-y_2\cdot z_1{)}^2}}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}.$

Muavro formulės panaudojimas sinuso ir kosinuso n-gubų kampų išreiškimui paprastais (viengubais)

$\sin n\alpha$ ir $\cos n\alpha$ su dideliais n patogu nustatynėti, naudojantis Muavro formule kompleksiniams skaičiams:

$\cos n\alpha +i\sin n\alpha =(\cos n\alpha +i\sin n\alpha {)}^n=$

$={\cos }^n\alpha +in{\cos }^{n-1}\alpha \sin \alpha -C_n^2{\cos }^{n-2}\alpha {\sin }^2\alpha -i{C}_n^3{\cos }^{n-3}\alpha {\sin }^3\alpha +C_n^4{\cos }^{n-4}\alpha {\sin }^4\alpha +...,$

iš kur

$\cos n\alpha ={\cos }^n\alpha -C_n^2{\cos }^{n-2}\alpha {\sin }^2\alpha +C_n^4{\cos }^{n-4}\alpha {\sin }^4\alpha -C_n^6{\cos }^{n-6}\alpha {\sin }^6\alpha +...,$

$\sin n\alpha =n{\cos }^{n-1}\alpha \sin \alpha -C_n^3{\cos }^{n-3}\alpha {\sin }^3\alpha +C_n^5{\cos }^{n-5}\alpha {\sin }^5\alpha -....$

Reiškinį $(\cos n\alpha +i\sin n\alpha {)}^n$ išdėstėme pagal Binomo formulę.

• Pavyzdys. Išreikšime $\cos 3\phi$ ir $\sin 3\phi$ sinuso ir kosinuso laipsniais.

Pakėlę $\cos \phi +i\sin \phi$ kubu, gauname

$(\cos \phi +i\sin \phi {)}^3=\cos 3\phi +i\sin 3\phi ,$

arba

${\cos }^3\phi +3i{\cos }^2\phi \sin \phi -3\cos \phi {\sin }^2\phi -i{\sin }^3\phi =\cos 3\phi +i\sin 3\phi .$

Atskyrę realiąją ir menamąją dalį, turėsime

$\cos 3\phi ={\cos }^3\phi -3\cos \phi {\sin }^2\phi ={\cos }^3\phi -3\cos \phi (1-{\cos }^2\phi )=4{\cos }^3\phi -3\cos \phi ;$

$\sin 3\phi =3{\cos }^2\phi \sin \phi -{\sin }^3\phi =3(1-{\sin }^2\phi )\sin \phi -{\sin }^3\phi =3\sin \phi -4{\sin }^3\phi .$

Kompleksinių skaičių laukas

Formaliai kompleksinis skaičius gali būti apibrėžtas kaip išrikiuota dviejų realių skaičių (a, b) pora su įvestomis operacijomis:

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad).$

Taip apibrėžti kompleksiniai skaičiai sudaro lauką, kompleksinių skaičių lauką, žymimą C (laukas matematikoje yra algebrinė struktūra, kurioje apibrėžtos sudėties, atimties, daugybos ir dalybos operacijos, turinčios tam tikras algebrines savybes. Pvz., realieji skaičiai yra laukas).

Realusis skaičius a yra sutapatinamas su kompleksiniu skaičiumi (a, 0), ir tuo būdu realiųjų skaičių laukas R tampa C dalimi. Menamasis vienetas i apibrėžiamas kaip kompleksinis skaičius (0, 1), kuris tenkina:

$(a,b)=a\cdot (1,0)+b\cdot (0,1)=a+bi\text{ir}{i}^2=(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-1.$

Lauke C mes turime:

• vienetinį elementą sudėčiai („nulį“): (0, 0)
• vienetinį elementą daugybai („vienetą“): (1, 0)
• atvirkštinį elementą sudėties operacijai (a,b): (−a, −b)
• atvirkštinį elementą sandaugos operacijai nenuliniam (a, b): $(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}).$

Kompleksinių skaičių plokštuma

Kiekvienam kompleksiniam skaičiui z = a + bi galima vienareikšmiškai priskirti plokštumos, kurioje yra Dekarto koordinačių sistema, tašką (a; b). Pagrindiniai kompleksinių skaičių veiksmai gali būti interpretuojami geometriškai: kompleksiniai skaičiai a + ib ir c + id gali būti sumuojami kaip dvimačiai vektoriai (a; b) ir (c; d).

Trigonometrinė forma

Kompleksiniai skaičiai trigonometrijoje.

Greta algebrinės formos ($z=(a,b)=a+b\cdot i$) dar yra trigonometrinė kompleksinių skaičių užrašymo forma:

$z=r(\cos \phi +i\sin \phi )=r{e}^{i\phi }$,

Čia

$r=\sqrt{a^2+b^2}$,

$\cos \phi =\frac{a}{r},$

$\sin \phi =\frac{b}{r},$.

Formulė kai $r=1$ yra vadinama Oilerio formule: $e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi$.

Šiuo atveju kompleksinis skaičius $(a,b)$ turi paprastą geometrinę interpretaciją. a yra atkarpos ilgis x ašimi, o b - y ašimi. Kampas $\varphi$ yra kampas tarp x ašies ir tiesės jungiančios koordinačių pradžią (0,0) ir tašką (a, b). $r$ yra atkarpos ilgis nuo koordinačių pradžios (0, 0) iki taško (a, b).

Daugyba, dalyba, kėlimas laipsniu ir šaknies traukimo operacijos trigonometrinėje formoje

Dviejų kompleksinių skaičių daugyba atrodys taip:

$z=z_1{z}_2=r_1{e}^{i{\phi }_1}\cdot r_2{e}^{i{\phi }_2}=r_1{r}_2{e}^{i({\phi }_1+{\phi }_2)}$

dalyba:

$z=\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1{e}^{i{\phi }_1}}{r_2{e}^{i{\phi }_2}}=\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\phi }_1-{\phi }_2)}.$

Kėlimui laipsniu yra naudojama Muavro formulė:

$z^n=(r{e}^{i\phi }{)}^n=r^n{e}^{in\phi }=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi )$

Šaknies traukimo operacija:

$\omega =\sqrt[n]{z},$

${\omega }_k=\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\phi +2\pi k}{n}+i\sin \frac{\phi +2\pi k}{n})$ - egzistuoja lygiai n skirtingų šaknų. Kai k kinta nuo 0 iki (n-1) visos gaunamos reikšmės yra skirtingos. Kai $k\ge n,$ gaunamos reikšmės kartojasi.

Šaknies traukimo operacijos trigonometrinėje formoje

Šaknies traukimo iš kompleksinio skaičiaus formulė:

$\sqrt[n]{\alpha }={\beta }_k=\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\varphi +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +2k\pi }{n}),(k=0,1,2,...,n-1).$

• Pavyzdis. Išskaičiuosime $\sqrt[4]{4}.$

Čia $\varphi =0$ ir $r=4$. Iš bendrosios šaknies formulės

${\beta }_k=\sqrt{2}(\cos \frac{2k\pi }{4}+i\sin \frac{2k\pi }{4})(k=0,1,2,3).$

Todėl

${\beta }_0=\sqrt{2}(\cos \frac{2\cdot 0\cdot \pi }{4}+i\sin \frac{2\cdot 0\cdot \pi }{4})=\sqrt{2}(\cos 0+i\sin 0)=\sqrt{2}(1+i\cdot 0)=\sqrt{2},$

${\beta }_1=\sqrt{2}(\cos \frac{2\cdot 1\cdot \pi }{4}+i\sin \frac{2\cdot 1\cdot \pi }{4})=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2})=\sqrt{2}(0+i\cdot 1)=i\sqrt{2},$

${\beta }_2=\sqrt{2}(\cos \frac{2\cdot 2\cdot \pi }{4}+i\sin \frac{2\cdot 2\cdot \pi }{4})=\sqrt{2}(\cos \pi +i\sin \pi )=\sqrt{2}(-1+i\cdot 0)=-\sqrt{2},$

${\beta }_3=\sqrt{2}(\cos \frac{2\cdot 3\cdot \pi }{4}+i\sin \frac{2\cdot 3\cdot \pi }{4})=\sqrt{2}(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2})=\sqrt{2}(0+i\cdot (-1))=-i\sqrt{2}.$

Nesunku matyti, kad

$({\beta }_k{)}^4=4$ visiems $k=0,1,2,3.$

$({\beta }_0{)}^4={\left(\sqrt{2}\right)}^4=2^2=4.$

$({\beta }_1{)}^4={\left(i\sqrt{2}\right)}^4=i^4{\left(\sqrt{2}\right)}^4=i\cdot i\cdot i\cdot i{\left(\sqrt{2}\right)}^4=-1\cdot i\cdot i{\left(\sqrt{2}\right)}^4=(-1)\cdot (-1)\cdot 2^2=4.$

$({\beta }_2{)}^4={(-\sqrt{2})}^4=(-1{)}^4\cdot 2^2=4.$

$({\beta }_3{)}^4={(-i\sqrt{2})}^4=i^4{(-\sqrt{2})}^4=i\cdot i\cdot i\cdot i{\left(\sqrt{2}\right)}^4=-1\cdot i\cdot i{(-\sqrt{2})}^4=(-1)\cdot (-1)\cdot {(-\sqrt{2})}^4={(-\sqrt{2})}^4=2^2=4.$

Tuo patikriname šaknies traukimą.

• Ištraukti penkto laipsnio šaknį iš kompleksinio skaičiaus $\alpha =-16+i16\sqrt{3}.$

Sprendimas. Randame spindulį

$r=\sqrt{16^2+(16\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{256+256\cdot 3}=\sqrt{1024}=32.$

Toliau taikydami formule galime užrašyti

$\sqrt[5]{\alpha }={\beta }_k=\sqrt[5]{r}(\cos \frac{\varphi +2k\pi }{5}+i\sin \frac{\varphi +2k\pi }{5})(k=0,1,2,3,4).$

Pažymėkime:

$ϵ=\frac{\alpha }{r}=\frac{-16+i16\sqrt{3}}{32}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Dabar žinome, kad $\varphi =120^{\circ }$ arba $\varphi =\frac{2\pi }{3},$ nes $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ ir $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$ Arba $\arccos (-\frac{1}{2})=\frac{2\pi }{3}$ ir $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}.$ Bet kadangi realioji dalis neigiama tai $\varphi =120^{\circ },$ o ne $\varphi =60^{\circ }.$

Dabar galime rasti visas šaknis:

${\beta }_0=\sqrt[5]{32}(\cos \frac{\frac{2\pi }{3}+2\cdot 0\cdot \pi }{5}+i\sin \frac{\frac{2\pi }{3}+2\cdot 0\cdot \pi }{5})=$

$=2(\cos \frac{\frac{2\pi }{3}}{5}+i\sin \frac{\frac{2\pi }{3}}{5})=2(\cos \frac{2\pi }{15}+i\sin \frac{2\pi }{15})=2(\cos (24^{\circ })+i\sin (24^{\circ })=$

$=2(0.913545457+i0.406736643)=1.827090915+i0.813473286;$

${\beta }_1=\sqrt[5]{32}(\cos \frac{\frac{2\pi }{3}+2\cdot 1\cdot \pi }{5}+i\sin \frac{\frac{2\pi }{3}+2\cdot 1\cdot \pi }{5})=$

$=2(\cos (\frac{2\pi }{3\cdot 5}+\frac{2\pi }{5})+i\sin (\frac{2\pi }{3\cdot 5}+\frac{2\pi }{5}))=$

$=2(\cos \frac{2\pi +6\pi }{3\cdot 5}+i\sin \frac{2\pi +6\pi }{3\cdot 5})=2(\cos \frac{8\pi }{15}+i\sin \frac{8\pi }{15})=$

$=2(\cos (96^{\circ })+i\sin (96^{\circ }))=2(-0.104528463+i0.994521895)=-0.209056926+i1.989043791;$

${\beta }_2=\sqrt[5]{32}(\cos \frac{\frac{2\pi }{3}+2\cdot 2\cdot \pi }{5}+i\sin \frac{\frac{2\pi }{3}+2\cdot 2\cdot \pi }{5})=$

$=2(\cos (\frac{2\pi }{3\cdot 5}+\frac{4\pi }{5})+i\sin (\frac{2\pi }{3\cdot 5}+\frac{4\pi }{5}))=$

$=2(\cos \frac{2\pi +12\pi }{3\cdot 5}+i\sin \frac{2\pi +12\pi }{3\cdot 5})=2(\cos \frac{14\pi }{15}+i\sin \frac{14\pi }{15})=$

$=2(\cos (168^{\circ })+i\sin (168^{\circ }))=2(-0.9781476+i0.20791169)=-1.956295201+i0.415823381;$

${\beta }_3=\sqrt[5]{32}(\cos \frac{\frac{2\pi }{3}+2\cdot 3\cdot \pi }{5}+i\sin \frac{\frac{2\pi }{3}+2\cdot 3\cdot \pi }{5})=$

$=2(\cos (\frac{2\pi }{3\cdot 5}+\frac{6\pi }{5})+i\sin (\frac{2\pi }{3\cdot 5}+\frac{6\pi }{5}))=$

$=2(\cos \frac{2\pi +18\pi }{3\cdot 5}+i\sin \frac{2\pi +18\pi }{3\cdot 5})=2(\cos \frac{20\pi }{15}+i\sin \frac{20\pi }{15})=$

$=2(\cos (240^{\circ })+i\sin (240^{\circ }))=2(-0.5+i\frac{\sqrt{3}}{2})=-1+i\sqrt{3};$

${\beta }_4=\sqrt[5]{32}(\cos \frac{\frac{2\pi }{3}+2\cdot 4\cdot \pi }{5}+i\sin \frac{\frac{2\pi }{3}+2\cdot 4\cdot \pi }{5})=$

$=2(\cos (\frac{2\pi }{3\cdot 5}+\frac{8\pi }{5})+i\sin (\frac{2\pi }{3\cdot 5}+\frac{8\pi }{5}))=$

$=2(\cos \frac{2\pi +24\pi }{3\cdot 5}+i\sin \frac{2\pi +24\pi }{3\cdot 5})=2(\cos \frac{26\pi }{15}+i\sin \frac{26\pi }{15})=$

$=2(\cos (312^{\circ })+i\sin (312^{\circ }))=2(0.669130606-i0.743144825)=1.338261213-i1.486289651.$

• Ištraukti kubinę šaknį iš $a=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$ ir $b=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}},$ kai $p=-19$ ir $q=30.$

Gauname

$a=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}=-\frac{30}{2}+\sqrt{\frac{30^2}{4}+\frac{(-19{)}^3}{27}}=-15+\sqrt{\frac{900}{4}+\frac{-6859}{27}}=-15+\sqrt{225+\frac{-6859}{27}}=-15+\sqrt{\frac{225\cdot 27-6859}{27}}=$

$=-15+\sqrt{\frac{6075-6859}{27}}=-15+\sqrt{-\frac{784}{27}}=-15+28\sqrt{-\frac{1}{27}}=-15+i\frac{28}{\sqrt{27}}=-15+5.3886025i;$

$b=-15-\sqrt{\frac{6075-6859}{27}}=-15-\sqrt{-\frac{784}{27}}=-15-28\sqrt{-\frac{1}{27}}=-15-i\frac{28}{\sqrt{27}}=-15-5.3886025i.$

Surandame vektoriaus ilgį r (tiek a tiek b ilgis r vienodas):

$r=\sqrt{(-15{)}^2+(28\sqrt{\frac{1}{27}}{)}^2}=\sqrt{225+\frac{784}{27}}=\sqrt{\frac{225\cdot 27+784}{27}}=\sqrt{\frac{6075+784}{27}}=\sqrt{\frac{6859}{27}}\approx \sqrt{254.037037037}\approx 15.938539.$

Padalinę a ir b iš r gausime normalizuotus a ir b [tipo vektorius]:

$a_n=\frac{a}{r}=\frac{-15+5.3886025i}{15.938539}=-0.941115117+0.33808635i;$

$b_n=\frac{a}{r}=\frac{-15-5.3886025i}{15.938539}=-0.941115117-0.33808635i.$

Atėjo laikas išsiaiškinti kokiuose vienetinio apskritimo ketvirčiuose guli vektoriai $a_n$ ir $b_n$ (kiek laipsnių vektoriai $a_n$ ir $b_n$ pasisukę prieš laikrodžio rodyklę nuo ašies Ox).

Vektoriaus $a_n$ realioji dalis yra su minuso ženklu, o menamoji dalis su pliuso ženklu. Todėl vektoriaus $a_n$ realioji dalis yra $\cos {\varphi }_1=-0.941115117,{\varphi }_1=\arccos (-0.941115117)=2.79670995$ ir iš to galima pasakyti, kad vektorius $a_n$ yra arba antrame arba trečiame ketvirtyje. Bet menamoji vektoriaus $a_n$ dalis yra teigiama, todėl vektorius $a_n$ guli antrame ketvirtyje. $\sin {\varphi }_1=0.33808635,{\varphi }_1=\arcsin (0.33808635)=0.344882767.$

$\frac{2.79670995}{\pi }\cdot 180=160.239677$ laipsnių.

$\frac{0.344882767}{\pi }\cdot 180=19.760326976$ laipsnių.

Vektorius $a_n=-0.941115117+0.33808635i$ yra antrame ketvirtyje, todėl ${\varphi }_1=160.239677$ laipsnių.

Vektorius $b_n=-0.941115117-0.33808635i$ yra trečiame ketvirtyje, nes realioji dalis ir menamoji dalis yra neigiamos. Trečias ketvirtis yra nuo 180 laipsnių iki 270 laipsnių, todėl ${\varphi }_2$ negali būti $160.239677$ laipsnių. Tačiau $\sin {\varphi }_2=-0.33808635,{\varphi }_2=\arcsin (-0.33808635)=-0.344882767.$

$\frac{-0.344882767}{\pi }\cdot 180=-19.760326976$ laipsnių (arba 360-19.760326976=340.239673024 laipsnių). Kadangi vektorius $b_n$ guli trečiame ketvirtyje, tai ${\varphi }_2=180+19.760326976=199.760326976$ laipsnių (arba ${\varphi }_2=\pi +0.344882767=3.48647542$ radianų).

Pažymėkime

$\alpha =\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}=\sqrt[3]{r{a}_n}=\sqrt[3]{15.938539}\sqrt[3]{-0.941115117+0.33808635i};$

$\beta =\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}=\sqrt[3]{r{b}_n}=\sqrt[3]{15.938539}\sqrt[3]{-0.941115117-0.33808635i}.$

Tada žinodami, kad $k=3$ (0, 1, 2) ir $n=3$ gauname

${\alpha }_1=\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\varphi +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +2k\pi }{n})=\sqrt[3]{15.938539}(\cos \frac{{\varphi }_1+2\cdot 0\pi }{3}+i\sin \frac{{\varphi }_1+2\cdot 0\pi }{3})=2.516611459(\cos \frac{{\varphi }_1}{3}+i\sin \frac{{\varphi }_1}{3})=$

$=2.516611459(\cos \frac{160.239677}{3}+i\sin \frac{160.239677}{3})=2.516611459(\cos (53.41322567)+i\sin (53.41322567))=2.516611459(0.5960395+i0.80295508)=1.4999998357+2.02072596i;$

${\alpha }_2=\sqrt[3]{15.938539}(\cos \frac{{\varphi }_1+2\cdot 1\pi }{3}+i\sin \frac{{\varphi }_1+2\cdot 1\pi }{3})=2.516611459(\cos \frac{{\varphi }_1+2\pi }{3}+i\sin \frac{{\varphi }_1+2\pi }{3})=2.516611459(\cos \frac{160.239677+360}{3}+i\sin \frac{160.239677+360}{3})=$

$=2.516611459(\cos \frac{520.239677}{3}+i\sin \frac{520.239677}{3})=2.516611459(\cos (173.41322567)+i\sin (173.41322567))=2.516611459(-0.99339927+0.114707846i)=-2.499999986+0.288675079i;$

${\alpha }_3=\sqrt[3]{15.938539}(\cos \frac{{\varphi }_1+2\cdot 2\pi }{3}+i\sin \frac{{\varphi }_1+2\cdot 2\pi }{3})=2.516611459(\cos \frac{{\varphi }_1+4\pi }{3}+i\sin \frac{{\varphi }_1+4\pi }{3})=2.516611459(\cos \frac{160.239677+720}{3}+i\sin \frac{160.239677+720}{3})=$

$=2.516611459(\cos \frac{880.239677}{3}+i\sin \frac{880.239677}{3})=2.516611459(\cos (293.41322567)+i\sin (293.41322567))=2.516611459(0.397359727-0.917662927i)=1.0000000423-2.309401038i.$

Radome trys a šaknis. Analogiškai randame trys b šaknis:

${\beta }_1=\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\varphi +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +2k\pi }{n})=\sqrt[3]{15.938539}(\cos \frac{{\varphi }_2+2\cdot 0\pi }{3}+i\sin \frac{{\varphi }_2+2\cdot 0\pi }{3})=2.516611459(\cos \frac{{\varphi }_2}{3}+i\sin \frac{{\varphi }_2}{3})=$

$=2.516611459(\cos \frac{199.760326976}{3}+i\sin \frac{199.760326976}{3})=2.516611459(\cos (66.5867756587)+i\sin (66.5867756587))=2.516611459(0.3973597+i0.917662936)=0.99999997+2.30940106i;$

${\beta }_2=\sqrt[3]{15.938539}(\cos \frac{{\varphi }_2+2\cdot 1\pi }{3}+i\sin \frac{{\varphi }_2+2\cdot 1\pi }{3})=2.516611459(\cos \frac{{\varphi }_2+2\pi }{3}+i\sin \frac{{\varphi }_2+2\pi }{3})=2.516611459(\cos \frac{199.760326976+360}{3}+i\sin \frac{199.760326976+360}{3})=$

$=2.516611459(\cos \frac{559.760326976}{3}+i\sin \frac{559.760326976}{3})=2.516611459(\cos (186.58677566)+i\sin (186.58677566))=2.516611459(-0.9933992676-i0.1147078688)=-2.49999998-0.2886751369i;$

${\beta }_3=\sqrt[3]{15.938539}(\cos \frac{{\varphi }_2+2\cdot 2\pi }{3}+i\sin \frac{{\varphi }_2+2\cdot 2\pi }{3})=2.516611459(\cos \frac{{\varphi }_2+4\pi }{3}+i\sin \frac{{\varphi }_2+4\pi }{3})=2.516611459(\cos \frac{199.760326976+720}{3}+i\sin \frac{199.760326976+720}{3})=$

$=2.516611459(\cos \frac{919.760326976}{3}+i\sin \frac{919.760326976}{3})=2.516611459(\cos (306.58677566)+i\sin (306.58677566))=2.516611459(0.59603956-i0.80295507)=1.499999987-2.02072592i.$

Kubinės lygties $x^3-19x+30=0$ sprendinys turėtų būti $x_0=\alpha +\beta$, bet kadangi

$\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}=\frac{30^2}{4}+\frac{(-19{)}^3}{27}=\frac{900}{4}+\frac{-6859}{27}=225-254.037037=-29.037037037<0,$

tai mes turime sudėti rastas ${\alpha }_m$ ir ${\beta }_m$ reikšmes taip, kad menamosios dalys pasinaikintų ir liktų tik 3 realieji sprendiniai. Tokiu budu gauname trys realiuosius lygties $x^3-19x+30=0$ sprendinius:

$x_1={\alpha }_1+{\beta }_3=3;$

$x_2={\alpha }_2+{\beta }_2=-5;$

$x_3={\alpha }_3+{\beta }_1=2.$

Arba tiesiog realiąsias dalis padauginti iš 2, o menamąsias dalis ignoruoti. Nes, pavyzdžiui, ${\alpha }_1$ ir ${\beta }_3$ yra jungtiniai kompleksiniai skaičiai, kaip ir kitos dvi poros.

Daugiau apie kubinės lygties sprendimą žiūrėti čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Diskriminantas#Kubinės_lygties_sprendimas_Kordano_metodu

Vieneto šaknys

Jei bet kuris kompleksinis skaičius, pakeltas n-tu laipsniu, lygus 1, tai jis yra to laipsnio vieneto šaknis.

${ϵ}_k\cdot {ϵ}_j=(\cos \frac{\varphi +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +2k\pi }{n})\cdot (\cos \frac{\varphi +2j\pi }{n}+i\sin \frac{\varphi +2j\pi }{n})=\cos \frac{2\varphi +2(k+j)\pi }{n}+i\sin \frac{2\varphi +2(k+j)\pi }{n}.$

• Pavyzdis. Rasime šaknis ištrauktas iš $\sqrt[3]{1}.$

${ϵ}_k=\sqrt[3]{1}=\cos \frac{2k\pi }{3}+i\sin \frac{2k\pi }{3},(k=0,1,2).$

${ϵ}_0=\sqrt[3]{1}=\cos \frac{2\cdot 0\cdot \pi }{3}+i\sin \frac{2\cdot 0\cdot \pi }{3}=\cos 0+i\sin 0=1.$

${ϵ}_1=\sqrt[3]{1}=\cos \frac{2\cdot 1\cdot \pi }{3}+i\sin \frac{2\cdot 1\cdot \pi }{3}=\cos (2.094395102)+i\sin (2.094395102)=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.$

${ϵ}_2=\sqrt[3]{1}=\cos \frac{2\cdot 2\cdot \pi }{3}+i\sin \frac{2\cdot 2\cdot \pi }{3}=\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}=\cos (4.188790205)+i\sin (4.188790205)=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Šaknies traukimas iš kompleksinio skaičiaus

$\sqrt{a_1+a_{2}i}=\pm (\sqrt{\frac{a_1+\sqrt{a_1^2+a_2^2}}{2}}+i\sqrt{\frac{-a_1+\sqrt{a_1^2+a_2^2}}{2}}),kai{a}_2>0.$

$\sqrt{a_1+a_{2}i}=\pm (\sqrt{\frac{a_1+\sqrt{a_1^2+a_2^2}}{2}}-i\sqrt{\frac{-a_1+\sqrt{a_1^2+a_2^2}}{2}}),kai{a}_2<0.$

$\sqrt{a_1+0i}=\pm \sqrt{\frac{a_1+\sqrt{a_1^2+a_2^2}}{2}},jei{a}_1>0.$

$\sqrt{a_1+0i}=\pm i\sqrt{\frac{-a_1+\sqrt{a_1^2+a_2^2}}{2}},jei{a}_1<0.$

$\sqrt{0+i0}=0.$

• $\sqrt{3+4i}=\pm (\sqrt{\frac{3+\sqrt{3^2+4^2}}{2}}+i\sqrt{\frac{-3+\sqrt{3^2+4^2}}{2}})=\pm (\sqrt{\frac{3+\sqrt{25}}{2}}+i\sqrt{\frac{-3+\sqrt{25}}{2}})=\pm (\sqrt{\frac{8}{2}}+i\sqrt{\frac{2}{2}})=\pm (\sqrt{4}+i\sqrt{1})=\pm (2+i).$

Patikriname:

$(2+i{)}^2=4-1+4i=3+4i,$

$(-2-i{)}^2=(-2{)}^2+2(-2)(-i)+(-i{)}^2=4+4i-1=3+4i.$

• $\sqrt{3-4i}=\pm (\sqrt{\frac{3+\sqrt{3^2+4^2}}{2}}-i\sqrt{\frac{-3+\sqrt{3^2+4^2}}{2}})=\pm (\sqrt{\frac{3+\sqrt{25}}{2}}-i\sqrt{\frac{-3+\sqrt{25}}{2}})=\pm (\sqrt{\frac{8}{2}}-i\sqrt{\frac{2}{2}})=\pm (\sqrt{4}-i\sqrt{1})=\pm (2-i).$

$(-2+i{)}^2=4-1-4i=3-4i.$

• $\sqrt{-25}=i\sqrt{\frac{-(-25)+\sqrt{(-25{)}^2+0^2}}{2}}=i\sqrt{\frac{25+\sqrt{625}}{2}}=i\sqrt{\frac{25+25}{2}}=i\sqrt{\frac{50}{2}}=i\sqrt{25}=\pm 5i.$

$\sqrt{-25}=i\sqrt{25+0}=\pm 5i.$

• $\sqrt{21-20i}=\pm (\sqrt{\frac{1}{2}\cdot (21+\sqrt{21^2+(-20{)}^2})}-i\sqrt{\frac{1}{2}\cdot (-21+\sqrt{21^2+(-20{)}^2})})=\pm (\sqrt{\frac{1}{2}\cdot (21+\sqrt{441+400})}-i\sqrt{\frac{1}{2}\cdot (-21+\sqrt{441+400})})=$

$=\pm (\sqrt{\frac{1}{2}\cdot (21+\sqrt{841})}-i\sqrt{\frac{1}{2}\cdot (-21+\sqrt{841})})=\pm (\sqrt{\frac{1}{2}\cdot (21+29)}-i\sqrt{\frac{1}{2}\cdot (-21+29)})=\pm (\sqrt{\frac{1}{2}\cdot 50}-i\sqrt{\frac{1}{2}\cdot 8})=\pm (\sqrt{25}-i\sqrt{4})=\pm (5-i2).$

• Turime kompleksinio skaičiaus koordinates $0.8+0.6i$. Šis taškas yra ant apskritimo (kurio spindulys r=1) linijos. Žinome, kad $\cos {\varphi }_1=0.8$ it $\sin {\varphi }_1=0.6$. Tada

${\varphi }_1=\arccos (0.8)=0.643501108$ radiano arba 36.86989765 laipsnių,

${\varphi }_1=\arcsin (0.6)=0.643501108$ radiano arba 36.86989765 laipsnių.

Rasime šaknį kompleksinio skaičiaus $0.8+0.6i$. Taigi:

$\sqrt{0.8+0.6i}=\pm (\sqrt{\frac{0.8+\sqrt{0.8^2+0.6^2}}{2}}+i\sqrt{\frac{-0.8+\sqrt{0.8^2+0.6^2}}{2}})=\pm (\sqrt{\frac{0.8+\sqrt{0.64+0.36}}{2}}+i\sqrt{\frac{-0.8+\sqrt{0.64+0.36}}{2}})=$

$=\pm (\sqrt{\frac{0.8+1}{2}}+i\sqrt{\frac{-0.8+1}{2}})=\pm (\sqrt{\frac{1.8}{2}}+i\sqrt{\frac{0.2}{2}})=\pm (\sqrt{0.9}+i\sqrt{0.1})=\pm (0.948683298+0.316227766i).$

Patikriname kokį kampą su ašmi Ox sudaro gautos koordinatės esančios ant apskritimo lanko kurio spindulys r=1.

${\varphi }_2=\arccos (0.948683298)=0.321750554$ radiano arba 18.43494883 laipsnio,

${\varphi }_2=\arcsin (0.316227766)=0.321750554$ radiano arba 18.43494882 laipsnio.

Naujai gautas kampas yra pusė pradinio kampo, nes

$18,43494882+18,43494882=36,86989765$ laipsnio, $2\cdot 0.321750554=0.643501108.$

Šaknies traukimo iš kompleksinio skaičiaus įrodymas

Dabar įrodysime, kad kvadratinė šaknis iš kompleksinio skaičiaus visada yra kompleksinis skaičius.

Tegu iš kompleksinio skaičiaus $a_1+a_{2}i$ turime ištraukti kvadratinę šaknį. Jei ta šaknis yra kompleksinis skaičius, tai, pažymėję jį $u_1+u_{2}i$, turėsime:

$\sqrt{a_1+i{a}_2}=u_1+u_{2}i,$

$a_1+a_{2}i=(u_1+u_{2}i{)}^2,$

$a_1+a_{2}i=u_1^2-u_2^2+2u_1{u}_{2}i.$

Iš čia gauname lygčių sistemą:

{$u_1^2-u_2^2=a_1,$

{$2u_1{u}_2=a_2.$

Abi puses pakeliame kvadratu:

{$u_1^4-2u_1^2{u}_2^2+u_2^4=a_1^2,$

{$4u_1^2{u}_2^2=a_2^2.$

Sudedame dvi lygtis ir gauname:

$u_1^4-2u_1^2{u}_2^2+u_2^4+4u_1^2{u}_2^2=a_1^2+a_2^2,$

$u_1^4+2u_1^2{u}_2^2+u_2^4=a_1^2+a_2^2,$

$(u_1^2+u_2^2{)}^2=a_1^2+a_2^2,$

$u_1^2+u_2^2=\sqrt{a_1^2+a_2^2}.$

Pridėję prie paskutinės lygties lygtį $u_1^2-u_2^2=a_1,$ gauname:

$u_1^2+u_2^2+u_1^2-u_2^2=\sqrt{a_1^2+a_2^2}+a_1,$

$2u_1^2=\sqrt{a_1^2+a_2^2}+a_1;$

iš lygties $u_1^2+u_2^2=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ atėmę lygtį $u_1^2-u_2^2=a_1,$ gauname:

$u_1^2+u_2^2-(u_1^2-u_2^2)=\sqrt{a_1^2+a_2^2}-a_1,$

$2u_2^2=\sqrt{a_1^2+a_2^2}-a_1.$

Iš to gauname:

$u_1=\pm \sqrt{\frac{a_1+\sqrt{a_1^2+a_2^2}}{2}},u_2=\pm \sqrt{\frac{-a_1+\sqrt{a_1^2+a_2^2}}{2}}.$

Šios gautos $u_1$ ir $u_2$ reikšmės turi tenkinti pirmos sistemos antrą lygtį $2u_1{u}_2=a_2.$ Todėl jei $a_2$ teigiamas skaičius, tai $u_1$ ir $u_2$ reikia imti su tais pačiais ženklais, o jeigu $a_2$ yra neigiamas skaičius, tai $u_1$ ir $u_2$ reikia imti su priešingais ženklais.

Kompleksinio skaičiaus argumentas

Kompleksinio skaičiaus z argumentas $\varphi$ nusako kiek laipsnių (arba radianų) kompleksinio skaičiaus taškas (arba vektorius) pasisukęs nuo teigiamos Ox ašies prieš laikrodžio rodyklę ir žymimas

$\arg z=\varphi .$

Pavyzdžiui, jei $z=i,$ tai

$\arg z=\frac{\pi }{2}.$

Jei $z=x+yi,$ tai

$\arg z=\arctan \frac{y}{x},x>0;$

$\arg z=\arctan \frac{y}{x}+\pi ,x<0,y\ge 0;$

$\arg z=\arctan \frac{y}{x}-\pi ,x<0,y<0.$

Jei duoti du kompleksiniai skaičiai $z_1$ ir $z_2,$ tai

$\arg (z_1\cdot z_2)=\arg z_1+\arg z_2,$

$\arg \frac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2.$

Pavyzdžiai

• Duoti du normalizuoti kompleksiniai skaičiai:

$z_1=-0.941115117+0.33808635i;$

$z_2=-0.941115117-0.33808635i.$

(normalizuoti reiškia, kad jų ilgiai lygūs $|z_1|=|z_2|=1$; gal reikėtų sakyti, normuoti, arba vienetinio ilgio).

Rasime $\arg z_1$ ir $\arg z_2.$

$\arg z_1=\arctan \frac{0.33808635}{-0.941115117}+\pi =\arctan (-0.35924)+\pi =-19.7603+180=160.2397;$

$\arg z_2=\arctan \frac{-0.33808635}{-0.941115117}-\pi =\arctan (0.35924)-\pi =19.7603-180=-160.2397=360-160.2397=199.7603.$

Taigi, gavome $\arg z_1={\varphi }_1=160.2397$ laipsnių ir $\arg z_2={\varphi }_2=199.7603$ laipsniai.

• Apskaičiuoti $z=-16+16\sqrt{3}i$ argumentą $\arg z.$

Sprendimas.

$\arg z=\arctan \frac{y}{x}+\pi ,\text{nes}x<0,y\ge 0,$

$\arg z=\arctan \frac{16\sqrt{3}}{-16}+\pi =\arctan (-\sqrt{3})+\pi =-60^{\circ }+180^{\circ }=120^{\circ }.$

Jungtiniai kompleksiniai skaičiai

Kompleksinio skaičiaus $z=(x,y)=x+iy$ jungtinis kompleksinis skaičius yra $\bar{z}=(x,-y)=x-iy.$ Savaime aišku, kompleksinis skaičius lygus nuliui tada ir tik tada, kai jo jungtinis skaičius lygus nuliui.

Pavyzdžiai

• Kompleksiniai skaičiai $z=2+5i$ ir $\bar{z}=2-5i$ yra jungtiniai (vienas kito atžvilgiu).

• Kompleksinio skaičiaus $z=-6-4i$ jungtinis kompleksinis skaičius yra $\bar{z}=-6+4i.$

Suma ir sandauga jungtinių kompleksinių skaičių yra realieji skaičiai. Iš tiesu,

$\alpha +\bar{\alpha }=(a+bi)+(a-bi)=2a,$

$\alpha \bar{\alpha }=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi{)}^2=a^2+b^2=|\alpha {|}^2.$

Jungtinių kompleksinių skaičių savybės

1) $\bar{\alpha }+\bar{\beta }=\overline{\alpha +\beta },$ nes

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,$

$(a-bi)+(c-di)=(a+c)-(b+d)i.$

2) $\bar{\alpha }-\bar{\beta }=\overline{\alpha -\beta },$ nes

$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,$

$(a-bi)-(c-di)=(a-c)-(b-d)i.$

3) $\bar{\alpha }\cdot \bar{\beta }=\overline{\alpha \beta },$ nes

$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,$

$(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i.$

4) $\frac{\bar{\alpha }}{\bar{\beta }}=\overline{\left(\frac{\alpha }{\beta }\right)},$ nes

$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+i\frac{bc-ad}{c^2+d^2},$

$\frac{a-bi}{c-di}=\frac{(a-bi)(c+di)}{(c-di)(c+di)}=\frac{(ac+bd)-(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}-i\frac{bc-ad}{c^2+d^2}.$

Jeigu skaičius $\alpha$ kokiu nors budu išreikštas per kompleksinius skaičius ${\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_n$ taikant sudėtį, daugybą, atimtį ir dalybą, tai pakeičiant visus skaičius ${\beta }_k$ į jiems jungtinius (pakeičiant ${\beta }_k$ į $\overline{{\beta }_k}$), mes gausime skaičių jungtinį skaičiui $\alpha$ (gausime $\bar{\alpha }$).

Svarbios nelygybės

Kompleksinio skaičiaus $\alpha =a+bi$ modulis yra jo (vektoriaus) ilgis ir lygus

$|\alpha |=\sqrt{a^2+b^2}.$

Dviejų kompleksinių skaičių sandaugos modulis lygus tų kompleksinių skaičių modulių sandaugai. T. y., jei duoti du kompleksiniai skaičiai $\alpha$ ir $\beta ,$ tai

$|\alpha \beta |=|\alpha |\cdot |\beta |.$

Ši lygybė išplaukia iš kompleksinių skaičių daugybos trigonometrinėje formoje. Iš tikro, jei duoti du kompleksiniai skaičiai $z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$ ir $z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2),$ tai $|z_1|=r_1,$ $|z_2|=r_2$ ir $|z_1{z}_2|=r_1{r}_2,$ nes

$z_1{z}_2=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)\cdot r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)=r_1{r}_2(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)).$

Iš to, pavzdžiui, seka tokios lygybės: $|a{z}^n|=|a|\cdot |z^n|=|a|\cdot |z{|}^n$ (čia a ir z yra kompleksiniai skaičiai).

1 pav. OB < OA + AB.

Kompleksinių skaičių sumos moduliui yra tokios svarbios nelygybės:

$|\alpha |-|\beta |\le |\alpha +\beta |\le |\alpha |+|\beta |,(11)$

t. y. sumos modulis dviejų kompleksinių skaičių mažesnis arba lygus sumai modulių dėmenų, bet didesnis arba lygus skirtumui šitų modulių. (11) nelygybė išplaukia iš žinomos teoremos elementariosios geometrijos apie trikampio kraštines žinant, kad $|\alpha +\beta |$ lygus lygiagretainio įsitrižainei su kraštinėmis $|\alpha |$ ir $|\beta |.$

Iš 1 paveikslėlio matyti, kad $\alpha$ ir $\beta$ vektorių ilgių suma yra didesnė už vektoriaus $\gamma =\alpha +\beta$ ilgį (t. y. $|\alpha +\beta |\le |\alpha |+|\beta |$ arba OB < OA + AB).

(11) nelygybėse lygybės ženklas gali būti gautas tik kai $\alpha ,$ $\beta$ ir 0 guli ant vienos tiesės.

Iš (11), atsižvelgiant į tai, kad $\alpha -\beta =\alpha +(-\beta )$ ir

$|-\beta |=|\beta |,(12)$

išplaukia taip pat nelygybės

$|\alpha |-|\beta |\le |\alpha -\beta |\le |\alpha |+|\beta |,(13)$

t. y. skirtumo moduliui tinka tokios pat nelygybės kaip ir sumos moduliui.

Nelygybes (11) galima buvo gauti taip pat štai tokiu budu. Tegu $\alpha =r(\cos \phi +i\sin \phi ),$ $\beta =r^{\prime }(\cos {\phi }^{\prime }+i\sin {\phi }^{\prime })$ ir tegu trigonometrinė forma skaičiaus $\alpha +\beta$ yra $\alpha +\beta =R(\cos \psi +i\sin \psi ).$ Sudėdami atskirai realiąsias ir atskirai menamąsias dalis, gauname:

$r\cos \phi +r^{\prime }\cos {\phi }^{\prime }=R\cos \psi ,$

$r\sin \phi +r^{\prime }\sin {\phi }^{\prime }=R\sin \psi ;$

padaugindami abi dalis pirmos lygybės iš $\cos \psi ,$ abi dalis antros lygybės — iš $\sin \psi$ ir sudedami, gauname:

$r(\cos \phi \cos \psi +\sin \phi \sin \psi )+r^{\prime }(\cos {\phi }^{\prime }\cos \psi +\sin {\phi }^{\prime }\sin \psi )=R({\cos }^2\psi +{\sin }^2\psi ),$

t. y.

$r\cos (\phi -\psi )+r^{\prime }\cos ({\phi }^{\prime }-\psi )=R.$

Iš čia, kadangi kosinusas niekada nebūna daugiau už vientetą, seka nelygybė $r+r^{\prime }\ge R,$ t. y. $|\alpha |+|\beta |\ge |\alpha +\beta |.$

Iš kitos pusės,

$\alpha =(\alpha +\beta )-\beta =(\alpha +\beta )+(-\beta ).$

Iš čia, pagal įrodyta ir iš (12),

[ $|(\alpha +\beta )+(-\beta )|\le |(\alpha +\beta )|+|(-\beta )|$ ]

$|\alpha |\le |\alpha +\beta |+|-\beta |=|\alpha +\beta |+|\beta |,$ ($\beta$ modulyje $|\alpha +\beta |$ mažiau gali sumažint [$|\alpha +\beta |$] nei pridėti pats $\beta$ modulis $|\beta |$)

iš kur $|\alpha |-|\beta |\le |\alpha +\beta |.$

Tenka pastebėti, kad kompleksiniams skaičiams supratimai "daugiau" ir "mažiau" negali būti protingai nustatyti, nes šitie skaičiai, skirtingai nei realieji skaičiai, yra ne ant tiesios linijos, kurios taškai aiškiu budu sutvarkyti, o ant plokštumos. Todėl pačius kompleksinius skaičius (o ne jų modulius) niekada negalima sujunginėti nelygybės ženklais.

Šios nelygybės reikalingos įrodinėjant pagrindinę algebros teoremą. Pagrindinė algebros teorema kompleksinių skaičių yra tokia:

Bet koks polinomas su bet kokiais skaitiniais koeficientais, laipsnis kurio ne mažesnis už vienetą, turi bent vieną šaknį, bendru atveju kompleksinę.

Nuorodos

• Vieneto šaknys
• http://www.techmat.vgtu.lt/konspektai/an_sk/kompl1.pdf
• Muavro formulė ir jos įrodymas indukcijos metodu