Diskriminantas

Čia aprašomos paprasčiausios algebrinės lygtys ir jų sprendimai. Aiškinama sunkėjimo tvarka.

Naudosime tokį žymėjimą: x, x₁, x₂ ir t.t. žymės nežinomuosius, o a, b, c, d ir t.t. – konkrečius duotus skaičius.

Pagrindinė algebros teorema

$n$-tojo laipsnio polinomas (taigi, ir lygtis) turi lygiai n kompleksinių šaknų (sprendinių).

• Pagrindinė algebros teorema

Tiesinė lygtis

Bendra forma:

$a\cdot x=b$

Sprendinys:

$x=\frac{b}{a}$

Nepilnoji kvadratinė lygtis

Bendra forma:

$a{x}^2=b$

Sprendimas:

$\begin{array}{cc}{x}^2& =\frac{b}{a}\\ x_{1,2}& =\pm \sqrt{\frac{b}{a}}\end{array}$

Pilnoji kvadratinė lygtis

Bendra forma:

$a{x}^2+bx+c=0$

Sprendimas:

randame pagalbini skaičių – diskriminantą D:

$D=b^2-4ac$

Tada jei $D<0$, tai realiųjų skaičių aibėje sprendinių nėra. Priešingu atveju realiuosius sprendinius rasime taip:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

• Pavyzdžiui, reikia surasti kuriuose taškuose kertasi parabolė su Ox ašimi.

$3x^2+8x+4=0,$

$D=b^2-4ac=8^2-4\cdot 3\cdot 4=64-48=16,$

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-8\pm \sqrt{16}}{2\cdot 3}=\frac{-8\pm 4}{6}=-\frac{2}{3};-2.$

Patikriname:

$3\cdot (-\frac{2}{3}{)}^2+8\cdot (-\frac{2}{3})+4=3\cdot \frac{4}{9}-\frac{16}{3}+4=\frac{4}{3}-\frac{16}{3}+4=\frac{4-16}{3}+4=\frac{-12}{3}+4=-4+4=0;$

$3\cdot (-2{)}^2+8\cdot (-2)+4=3\cdot 4-16+4=12-16+4=0.$

Tuo atveju, kai lygties šaknys kompleksiniai skaičiai

Lygties $x^2+px+q=0$ sprendiniai

$x_1=\alpha +i\beta ,$

$x_2=\alpha -i\beta ,$

kurie yra kompleksiniai skaičia randami taip:

$\alpha =-\frac{p}{2},$

$\beta =\sqrt{q-{\alpha }^2}=\sqrt{q-\frac{p^2}{4}};$

$\beta =\frac{\sqrt{-D}}{2}=\sqrt{\frac{-(p^2-4q)}{4}}=\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}.$

Lygties $a{x}^2+bx+c=0$ sprendiniai

$x_1=\alpha +i\beta ,$

$x_2=\alpha -i\beta ,$

kurie yra kompleksiniai skaičia randami taip:

$\alpha =-\frac{b}{2a},$

$\beta =\frac{\sqrt{-D}}{2a}=\sqrt{\frac{-(b^2-4ac)}{4a^2}}=\sqrt{\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}}.$

• Pavyzdis. Rasti sprendinius lygties

$x^2-8x+25=0.$

Sprendimas.

$D=b^2-4ac=(-8{)}^2-4\cdot 1\cdot 25=64-100=-36=36i^2,$

$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2}=\frac{-(-8)+\sqrt{36i^2}}{2}=\frac{8+6i}{2}=4+3i,$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2}=\frac{-(-8)-\sqrt{36i^2}}{2}=\frac{8-6i}{2}=4-3i.$

Patikriname, kad

$(4+3i{)}^2-8(4+3i)+25=0,$

$16+2\cdot 4\cdot 3i+(3i{)}^2-32-24i+25=0,$

$16+24i-9-32-24i+25=0,$

$16-41+25=0$

ir

$(4-3i{)}^2-8(4-3i)+25=0,$

$16-2\cdot 4\cdot 3i+(-3i{)}^2-32+24i+25=0,$

$16-24i-9-32+24i+25=0,$

$16-41+25=0.$

Kvadratinė lygtis, kurios $c=0$

Bendra forma:

$a{x}^2+bx=0$

Sprendimas:

iškeliame x prieš skliaustus:

$x(ax+b)=0$

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

$\begin{array}{cc}x=0\mathrm{arba}ax& =-b\\ x& =-\frac{b}{a}\end{array}$

Kvadratinė lygtis, kurios $a=1$

Duota kvadratinė lygtis:

$x^2+bx+c=0,$

kurią perrašome taip:

${(x+\frac{b}{2})}^2+(c-\frac{b^2}{4})=0.$

Čia ${(x+\frac{b}{2})}^2=x^2+bx+\frac{b^2}{4}.$

Todėl:

${(x+\frac{b}{2})}^2=-(c-\frac{b^2}{4}),$

${(x+\frac{b}{2})}^2=\frac{b^2}{4}-c,$

$x+\frac{b}{2}=\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-c},$

$x=-\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-c},$

$x=-\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}\cdot (b^2-4c)},$

$x=-\frac{b}{2}\pm \frac{1}{2}\cdot \sqrt{b^2-4c},$

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4c}}{2}.$

$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4c}}{2};x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4c}}{2}.$

Kvadratinė lygtis, kurios a yra bet koks

Duota kvadratinė lygtis:

$a{x}^2+bx+c=0,$

$x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\frac{c}{a}=0,$

kurią perrašome taip:

${(x+\frac{b}{2\cdot a})}^2+(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4\cdot a^2})=0.$

Čia ${(x+\frac{b}{2\cdot a})}^2=x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\frac{b^2}{4\cdot a^2}.$

Todėl:

${(x+\frac{b}{2a})}^2=-(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}),$

${(x+\frac{b}{2a})}^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a},$

$x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}},$

$x=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}},$

$x=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{1}{4a^2}\cdot (b^2-4ac)},$

$x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{1}{2a}\cdot \sqrt{b^2-4ac},$

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Bikvadratinė lygtis

Bendra forma:

$a{x}^4+b{x}^2+c=0$

Sprendimas:

pažymime $x^2=y$, tada $x^4=y^2$.

$a{y}^2+by+c=0$,

o tai pilnoji kvadratinė lygtis, kuri jau išspręsta anksčiau. Jos sprendiniai yra $y_1$ ir $y_2$.

Grįžtame prie pažymėjimo:

$y_1=x^2\mathrm{ir}{y}_2=x^2$,

o tai kvadratinės lygtys, kurios jau išspręstos anksčiau. Iš jų rasime sprendinius $x_1,x_2,x_3,x_4$.

Vijeto teorema

Jei yra lygtis

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+a_{n-3}{x}^{n-3}+a_{n-4}{x}^{n-4}+a_{n-5}{x}^{n-5}+...+a_{1}x+a_0=0,$

Tai

$s_1=x_1+x_2+x_3+x_4+...,$

$s_2=x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_3+...,$

$s_3=x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_2{x}_3{x}_4+...$

ir taip toliau, kur

$s_i=(-1{)}^i\cdot \frac{a_{n-i}}{a_n}.$

Kvadratinė lygtis

Jei yra lygtis

$a{x}^2+bx+c,$

tai lygties sprendiniai:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a},$

$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}.$

Kubinė lygtis

Jei yra lygtis

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d,$

tai lygties sprendiniai:

$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},$

$x_1\cdot x_2+x_1\cdot x_3+x_2\cdot x_3=\frac{c}{a},$

$x_1\cdot x_2\cdot x_3=-\frac{d}{a}.$

Ketvirto laispnio lygtis

Jei yra lygtis

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e,$

tai lygties sprendiniai:

$x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a},$

$x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_3{x}_4=\frac{c}{a},$

$x_1{x}_2{x}_3+x_2{x}_3{x}_4+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_3{x}_4=-\frac{d}{a},$

$x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_4=\frac{e}{a}.$

Pilnoji kubinė lygtis

Bendra forma:

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

Sprendimas:

Lygtį padalijame iš a ir keitiniu $x=y-\frac{b}{3}$, pertvarkome lygtį į paprastesnį pavidalą

$x^3+px+q=0$.

Randame pagalbinį skaičių – diskriminantą:

$D=(\frac{q}{2}{)}^2+(\frac{p}{3}{)}^3$

Kubinės lygties su realiaisiais koeficientais diskriminantas apibrėžia, kokias šaknis turi lygtis:

1. Jei D > 0, viena šaknis yra realioji ir dvi kompleksinės.

2. Jei D = 0, visos šaknys yra realiosios ir bent dvi iš jų yra vienodos.

3. Jei D < 0, visos trys šaknys yra realiosios ir skirtingos.

Pagal Kardano formulę, viena lygties šaknis

$x_1=\sqrt[3]{-\frac{p}{2}+\sqrt{D}}+\sqrt[3]{-\frac{p}{2}-\sqrt{D}}$

Kai D > 0, ši šaknis vienintelė

Kai D ≤ 0, tai lygtį $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ padaliję iš reiškinio $x-x_1$, gausime kvadratinę lygtį, kurios sprendimas nurodytas aukščiau.

Kubinė lygtis, kurios $d=0$

Bet kokia kūbinė lygtis, kurios $d=0$ yra išsprendžiama be jokių sunkumu.

• Pavyzdis Turime kūbinę lygtį $a{x}^3+b{x}^2+cx=0,$ be skaičiaus d. Tuomet ją sprendžiame taip:

$a{x}^3+b{x}^2+cx=0,$

$x(a{x}^2+bx+c)=0,$

Vadinasi arba x=0 arba $a{x}^2+bx+c.$

Išsprendžiame kvadratinę lygtį ir gauname tris realiasias šaknis arba dvi, arba vieną x=0, kai diskriminantas neigiamas.

Kubinės lygties sprendimas Kordano metodu

Yra kubinė lygtis:

$y^3+a{y}^2+by+c=0.$

Pakeičiame $y=x-\frac{a}{3},$ gauname:

${(x-\frac{a}{3})}^3+a{(x-\frac{a}{3})}^2+b(x-\frac{a}{3})+c=0,$

$(x^3-3\cdot x^2\cdot \frac{a}{3}+3\cdot x\cdot {\left(\frac{a}{3}\right)}^2-{\left(\frac{a}{3}\right)}^3)+a(x^2-2\cdot x\cdot \frac{a}{3}+{\left(\frac{a}{3}\right)}^2)+b(x-\frac{a}{3})+c=0,$

$(x^3-a{x}^2+3\cdot x\cdot \frac{a^2}{9}-\frac{a^3}{27})+a(x^2-\frac{2ax}{3}+\frac{a^2}{9})+bx-\frac{ab}{3}+c=0,$

$(x^3-a{x}^2+\frac{a^{2}x}{3}-\frac{a^3}{27})+a{x}^2-\frac{2a^{2}x}{3}+\frac{a^3}{9}+bx-\frac{ab}{3}+c=0,$

$x^3-\frac{a^3}{27}-\frac{a^{2}x}{3}+\frac{a^3}{9}+bx-\frac{ab}{3}+c=0,$

$x^3-\frac{a^{2}x}{3}+bx+\frac{a^3}{9}-\frac{a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c=0,$

$x^3+(b-\frac{a^2}{3})x+\frac{3a^3}{27}-\frac{a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c=0,$

$x^3+(b-\frac{a^2}{3})x+\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c=0.$

Pažymime $p=b-\frac{a^2}{3},q=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c$ ir pakeitę gauname:

$x^3+px+q=0.$

Tegu $x_0$ yra sprendinis lygties $x^3+px+q=0$ (pagal teorema lygtis $x^3+px+q=0$ turi 3 kompleksines šaknis). Įvedame pagalbinį u ir tikimes, kad polinomas

$f(u)=u^2-x_{0}u-\frac{p}{3}$

padės surasti $x_0$ [jei lygtis $u^2-x_{0}u-\frac{p}{3}=0$ bus teisingai išspresta].

Polinomo koeficientai - kompleksiniai skaičiai, ir todėl jis turi dvi kompleksines šaknis $\alpha$ ir $\beta$, be to, pagal Vijeto formulę,

$\alpha +\beta =x_0,$

$\alpha \cdot \beta =-\frac{p}{3}.$

Įstatę $\alpha +\beta =x_0$ į lygtį $x^3+px+q=0$ gauname:

$(\alpha +\beta {)}^3+p(\alpha +\beta )+q=0,$

$({\alpha }^3+3{\alpha }^2\beta +3\alpha {\beta }^2+{\beta }^3)+p(\alpha +\beta )+q=0,$

${\alpha }^3+{\beta }^3+3\alpha \beta (\alpha +\beta )+p(\alpha +\beta )+q=0,$

${\alpha }^3+{\beta }^3+(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )+q=0,$

Iš lygties $\alpha \cdot \beta =-\frac{p}{3}$ turime, kad:

$\alpha \cdot \beta +\frac{p}{3}=0,$

$3\cdot \alpha \cdot \beta +p=0.$

Todėl gauname:

${\alpha }^3+{\beta }^3+0\cdot (\alpha +\beta )+q=0,$

${\alpha }^3+{\beta }^3+q=0,$

${\alpha }^3+{\beta }^3=-q.$

Dabar turime nauja gabaliuką iš Vijeto teoremos, tai yra lygtis ${\alpha }^3+{\beta }^3=-q.$ Mes žinome, kad koeficientas q priklauso lygčiai $x^3+px+q=0$. Todėl taip pat turime padaryti ir su kitu gabaliuku, kad sudėtos ir sudaugintos dalys duotų koeficientus (b ir c Vijeto teoremoje žymimi kvadratinėje lygtyje), taigi pakeliame kubu lygtyje $\alpha \cdot \beta =-\frac{p}{3}$ narius $\alpha$, $\beta$ ir kitą pusę. Ir gauname:

${\alpha }^3\cdot {\beta }^3=-\frac{p^3}{27}.$

Šios dalys $g=q,$ $s=-\frac{p^3}{27}$ yra g ir s koeficientai kvadratinės lygties $z^2+gz+s=0,$ kuri turi sprendinius $z_1={\alpha }^3$ ir $z_2={\beta }^3$ (iš Vijeto teoremos). Taigi, užtenka paaiškinimų, o dabar įstatome koeficientus į kvadratinę lygtį ir gauname:

$z^2+qz-\frac{p^3}{27}=0.$

Randame diskriminantą:

$D=g^2-4s=q^2-4\cdot (-\frac{p^3}{27})=q^2+\frac{4p^3}{27}.$

Randame sprendinius:

$z_1=\frac{-g+\sqrt{D}}{2}=\frac{-q+\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2}=\frac{1}{2}\cdot (-q+\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}),\alpha =\sqrt[3]{z_1}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot (-q+\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}})};$

$z_2=\frac{-g-\sqrt{D}}{2}=\frac{-q-\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2}=\frac{1}{2}\cdot (-q-\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}),\beta =\sqrt[3]{z_2}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot (-q-\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}})}.$

Toliau $\alpha$ ir $\beta$ įsistatome į lygtį $\alpha +\beta =x_0,$ kad surasti lygties $x^3+px+q=0$ sprendinį (šaknį) $x_0$. Taigi, gauname:

$x_0=\alpha +\beta =\sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot (-q+\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}})}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}\cdot (-q-\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}})}.$

$x_0=\alpha +\beta =\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}.$

Kalbant apie kompleksinius sprendinius, negalima imti tokių sprendinių, kurie netenkina salygos $\alpha \cdot \beta =-\frac{p}{3}.$

${\alpha }_2{\beta }_3={\alpha }_1ϵ\cdot {\beta }_1{ϵ}^2={\alpha }_1{\beta }_1{ϵ}^3={\alpha }_1{\beta }_1=\frac{-p}{3}.$

Na, o visi sprendiniai yra šie:

$x_1={\alpha }_1+{\beta }_1,$

$x_2={\alpha }_2+{\beta }_3={\alpha }_1ϵ+{\beta }_1{ϵ}^2={\alpha }_1(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})+{\beta }_1(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{{\alpha }_1+{\beta }_1}{2}+i\sqrt{3}\frac{{\alpha }_1-{\beta }_1}{2},$

$x_3={\alpha }_3+{\beta }_2={\alpha }_1{ϵ}^2+{\beta }_1ϵ={\alpha }_1(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})+{\beta }_1(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{{\alpha }_1+{\beta }_1}{2}-i\sqrt{3}\frac{{\alpha }_1-{\beta }_1}{2},$

Jei sudėti ant apskritimo, kurio spindulys r=1, taškus $ϵ$ ir ${ϵ}^2$, tai $ϵ=120$ laipsnių, o ${ϵ}^2=240$ laipsnių. Na o ${ϵ}^3=1+i\cdot 0=1$, todėl ${ϵ}^3=360$ laipsnių (arba 0 laipsnių).

${ϵ}^2=(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot (-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{3}}{4}-i\frac{\sqrt{3}}{4}+i\cdot i\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{4}-i\frac{2\sqrt{3}}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{2}{4}-i\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}.$

${ϵ}^3={ϵ}^2\cdot ϵ=(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot (-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{3}}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4}-i\cdot i\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{4}-(-1)\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1.$

• Pavyzdis. Išspresti lygtį $y^3+3y^2-3y-14=0.$

Keitinys $y=x-\frac{a}{3}=x-\frac{3}{3}=x-1$ (čia a yra koeficientas esantis prie $y^2$) suprastina šitą lygtį į tokią lygtį:

$(x-1{)}^3+3(x-1{)}^2-3(x-1)-14=0,$

$x^3-3x^2+3x-1^2+3(x^2-2x+1^2)-3x+1-14=0,$

$x^3-3x^2+3x-1+3x^2-6x+3-3x+1-14=0,$

$x^3-6x+3-14=0,$

$x^3-6x-9=0.$

Čia $p=-6$, $q=-9$, todėl

$\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}=\frac{(-9{)}^2}{4}+\frac{(-6{)}^3}{27}=\frac{81}{4}+\frac{-216}{27}=\frac{81}{4}-8=\frac{81-32}{4}=\frac{49}{4}>0,$

t. y. lygtis $x^3-6x-9=0$ turi vieną tikrąjį ir du kompleksinius sprendinius.

Pagal formulę:

$\alpha =\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}=\sqrt[3]{-\frac{-9}{2}+\sqrt{\frac{(-9{)}^2}{4}+\frac{(-6{)}^3}{27}}}=\sqrt[3]{\frac{9}{2}+\frac{7}{2}}=\sqrt[3]{\frac{16}{2}}=\sqrt[3]{8}=2,$

$\beta =\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}=\sqrt[3]{-\frac{-9}{2}-\sqrt{\frac{(-9{)}^2}{4}+\frac{(-6{)}^3}{27}}}=\sqrt[3]{\frac{9}{2}-\frac{7}{2}}=\sqrt[3]{\frac{2}{2}}=\sqrt[3]{1}=1.$

Todėl ${\alpha }_1=2,$ ${\beta }_1=1,$ t. y. $x_1={\alpha }_1+{\beta }_1=2+1=3$. Du kitus sprendinius rasime pagal formules:

$x_2=-\frac{{\alpha }_1+{\beta }_1}{2}+i\sqrt{3}\cdot \frac{{\alpha }_1-{\beta }_1}{2}=-\frac{2+1}{2}+i\sqrt{3}\cdot \frac{2-1}{2}=-\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},$

$x_3=-\frac{{\alpha }_1+{\beta }_1}{2}-i\sqrt{3}\cdot \frac{{\alpha }_1-{\beta }_1}{2}=-\frac{2+1}{2}-i\sqrt{3}\cdot \frac{2-1}{2}=-\frac{3}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Iš čia gauname, kad sprendiniai užduotos lygties yra skaičiai:

$y_1=x-\frac{a}{3}=x_0-1=3-1=2,$

$y_2=-\frac{5}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},$

$y_3=-\frac{5}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Patikriname, kai $y_1=2$, tai:

$y^3+3y^2-3y-14=2^3+3\cdot 2^2-3\cdot 2-14=8+3\cdot 4-6-14=8+12-6-14=0.$

Patikriname, kai $x_0=\alpha +\beta =2+1=3$, tai:

$x^3-6x-9=3^3-6\cdot 3-9=27-18-9=0.$

• Pavyzdis. Išspręsti lygtį

$x^3-12x+16=0.$

Čia $p=-12$, $q=16$, todėl

$\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}=\frac{16^2}{4}+\frac{(-12{)}^3}{27}=\frac{256}{4}+\frac{-1728}{27}=64-64=0.$

$\alpha =\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}=\sqrt[3]{-\frac{16}{2}+\sqrt{0}}=\sqrt[3]{-8+0}=\sqrt[3]{-8}=-2,$

$\beta =\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}=\sqrt[3]{-\frac{16}{2}-\sqrt{0}}=\sqrt[3]{-8}=-2.$

Iš čia seka: $\alpha =\sqrt[3]{-8},$ t. y. ${\alpha }_1={\beta }_1=-2.$ Todėl

$x_1={\alpha }_1+{\beta }_1=-2-2=-4,$

$x_2=-\frac{{\alpha }_1+{\beta }_1}{2}+i\sqrt{3}\cdot \frac{{\alpha }_1-{\beta }_1}{2}=-\frac{-2-2}{2}+i\sqrt{3}\cdot \frac{-2-(-2)}{2}=-\frac{-4}{2}+i\cdot 0\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2,$

$x_3=-\frac{{\alpha }_1+{\beta }_1}{2}-i\sqrt{3}\cdot \frac{{\alpha }_1-{\beta }_1}{2}=-\frac{-2-2}{2}-i\sqrt{3}\cdot \frac{2-(-2)}{2}=-\frac{-4}{2}=2.$

Patikriname įstatę $x_1=-4$ ir gauname:

$x^3-12x+16=(-4{)}^3-12\cdot (-4)+16=-64+48+16=0.$

Patikriname įstatę $x_2=2$ ir gauname:

$x^3-12x+16=2^3-12\cdot 2+16=8-24+16=0.$

Pasinaudodami šiuo pavyzdžiu patvirtinsime šias formules:

$x_1^2+x_2^2+x_3^2=-2p;$

$x_1^3+x_2^3+x_3^3=-3q;$

$x_1^4+x_2^4+x_3^4=2p^2;$

$x_1^5+x_2^5+x_3^5=5pq;$

čia $p=-12$, $q=16$, $x_1=-4$, $x_2=2$, $x_3=2$. Atitinkamai turime:

$(-4{)}^2+2^2+2^2=16+4+4=24=-2\cdot 12;$

$(-4{)}^3+2^3+2^3=-64+8+8=-48=-3\cdot 16;$

$(-4{)}^4+2^4+2^4=256+16+16=288=2\cdot (-12{)}^2=2\cdot 144;$

$(-4{)}^5+2^5+2^5=-1024+32+32=-960=5\cdot (-12)\cdot 16.$

Kai $x_2=x_3=-\frac{x_1}{2},$ tai

$x_1^2+x_2^2+x_3^2=x_1^2+{(-\frac{x_1}{2})}^2+{(-\frac{x_1}{2})}^2=x_1^2+\frac{x_1^2}{2}=-2p;$

$x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=x_1\cdot (-\frac{x_1}{2})+x_1\cdot (-\frac{x_1}{2})+(-\frac{x_1}{2})\cdot (-\frac{x_1}{2})=-x_1^2+\frac{x_1^2}{4}=p,$

$-2(-x_1^2+\frac{x_1^2}{4})=2x_1^2-\frac{x_1^2}{2}=-2p.$

Taip pat ir su q, kai $x_2=x_3=-\frac{x_1}{2},$ tai

$x_1^3+x_2^3+x_3^3=x_1^3+{(-\frac{x_1}{2})}^3+{(-\frac{x_1}{2})}^3=x_1^3-2\cdot \frac{x_1^3}{8}=x_1^3-\frac{x_1^3}{4}=\frac{4x_1^3-x_1^3}{4}=\frac{3x_1^3}{4}=-3q;$

$x_1{x}_2{x}_3=x_1\cdot (-\frac{x_1}{2})\cdot (-\frac{x_1}{2})=\frac{x_1^3}{4}=-q,$

$3\cdot \frac{x_1^3}{4}=3\cdot (-q).$

• Pavyzdis. Išspręsti lygtį

$x^3-19x+30=0.$

Čia $p=-19$, $q=30$, todėl

$\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}=\frac{30^2}{4}+\frac{(-19{)}^3}{27}=\frac{900}{4}+\frac{-6859}{27}=225-254.037037=-29.037037037<0.$

Tokiu atveju, jeigu pasilikti srityje realiųjų skaičių, Kardano formulė šiai lygybei netinka, nors šios lygties sprendiniai ir yra 2, 3 ir $-5$.

Kaip galima išspręsti šitą lygtį žiūrėti čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Kompleksiniai_skaičiai#Šaknies_traukimo_operacijos_trigonometrinėje_formoje

Kubinė lygtis

Kanoninė forma:

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0.$

Padaliname iš a ir įvedame vietoje x naują kintamjį $y^3+3py+2q=0,$

kur $2q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}$ ir $3p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}.$

Kardano sprendiniai $y_1=u+v,y_2={ϵ}_{1}u+{ϵ}_{2}v,y_3={ϵ}_{2}u+{ϵ}_{1}v,$

kur $u=\sqrt[3]{-q+\sqrt{q^2+p^3}},v=\sqrt[3]{-q-\sqrt{q^2+p^3}},$

o ${ϵ}_1$ ir ${ϵ}_2$ yra sprendiniai lygties $x^2+x+1=0,$ t. y. ${ϵ}_1,{ϵ}_2=-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Tuo atveju, kai $D=q^2+p^3<0$ tris tikrieji sprendiniai išreiškiami kompleksiniais dydžiais, ir protinga naudotis lentelės skaičiavimo budu.

• Pavyzdis. $y^3+6y+2=0.$ Čia p=2, q=1; $q^2+p^3=1^2+2^3=1+8=9;$

$u=\sqrt[3]{-q+\sqrt{q^2+p^3}}=\sqrt[3]{-1+\sqrt{9}}=\sqrt[3]{-1+3}=\sqrt[3]{2}=1.25992105,$

$v=\sqrt[3]{-q-\sqrt{q^2+p^3}}=\sqrt[3]{-1-\sqrt{9}}=\sqrt[3]{-1-3}=\sqrt[3]{-4}=-1.587401052,$

Tikrasis sprendinis yra $y_1=u+v=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{-4}=1.25992105-1.587401052=-0.327480002;$

Kompleksiniai sprendiniai:

$y_{2,3}=-\frac{1}{2}(u+v)\pm i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (u-v)=0.163740001\pm i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2.847322102=0.163740001\pm i\cdot 2.465853273.$

Patikriname:

$y^3+6y+2=(-0.327480002{)}^3+6(-0.327480002)+2=-0.035119987-1.964880012+2=-2+2=0.$

• Pavyzdis. $y^3+y+1=0.$ Čia p=1/3, q=1/2; $q^2+p^3=(\frac{1}{2}{)}^2+(\frac{1}{3}{)}^3=\frac{1}{4}+\frac{1}{27}=0.287037037;$

$u=\sqrt[3]{-q+\sqrt{q^2+p^3}}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\sqrt{0.287037037}}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+0.535758375}=\sqrt[3]{0.035758375}=0.329452338,$

$v=\sqrt[3]{-q-\sqrt{q^2+p^3}}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}-\sqrt{0.287037037}}=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}-0.535758375}=\sqrt[3]{-1.035758375}=-1.011780142,$

Tikrasis sprendinis yra $y_1=u+v=0.329452338-1.011780142=-0.682327803;$

Patikriname:

$y^3+y+1=(-0.682327803{)}^3-0.682327803+1=0.317672196-0.682327803+1=-0.999999999+1=0.$

• Pavyzdis. $y^3+7y+18=0.$ Čia p=7/3=2.3(3), q=18/2=9; $q^2+p^3=9^2+(2.333333333{)}^3=81+12.7037037=93.7037037;$

$u=\sqrt[3]{-q+\sqrt{q^2+p^3}}=\sqrt[3]{-9+\sqrt{93.7037037}}=\sqrt[3]{-9+9.68006734}=\sqrt[3]{0.680067339}=0.879394961,$

$v=\sqrt[3]{-q-\sqrt{q^2+p^3}}=\sqrt[3]{-9-\sqrt{93.7037037}}=\sqrt[3]{-9-9.68006734}=\sqrt[3]{-18.68006734}=-2.65333944,$

Tikrasis sprendinis yra $y_1=u+v=0.879394961-2.65333944=-1.773944479;$

Patikriname:

$y^3+7y+18=(-1.773944479{)}^3+7(-1.773944479)+18=-5.582388651-12.41761135+18=-18+18=0.$

Kūbinės lygties sprendiniai

Jei duota lygtis

$z^3+a_2{z}^2+a_{1}z+a_0=0,$

tai jos 3 sprendiniai yra šie:

$z_1=-\frac{a_2}{3}+\sqrt[3]{\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}+\sqrt{{\left(\frac{3a_1-a_2^2}{9}\right)}^3+{\left(\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}\right)}^2}}+\sqrt[3]{\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}-\sqrt{{\left(\frac{3a_1-a_2^2}{9}\right)}^3+{\left(\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}\right)}^2}};$

$z_2=-\frac{a_2}{3}-\frac{1}{2}\cdot (\sqrt[3]{\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}+\sqrt{{\left(\frac{3a_1-a_2^2}{9}\right)}^3+{\left(\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}\right)}^2}}+\sqrt[3]{\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}-\sqrt{{\left(\frac{3a_1-a_2^2}{9}\right)}^3+{\left(\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}\right)}^2}})+$ $+\frac{i\sqrt{3}}{2}\cdot (\sqrt[3]{\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}+\sqrt{{\left(\frac{3a_1-a_2^2}{9}\right)}^3+{\left(\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}\right)}^2}}-\sqrt[3]{\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}-\sqrt{{\left(\frac{3a_1-a_2^2}{9}\right)}^3+{\left(\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}\right)}^2}});$

$z_3=-\frac{a_2}{3}-\frac{1}{2}\cdot (\sqrt[3]{\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}+\sqrt{{\left(\frac{3a_1-a_2^2}{9}\right)}^3+{\left(\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}\right)}^2}}+\sqrt[3]{\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}-\sqrt{{\left(\frac{3a_1-a_2^2}{9}\right)}^3+{\left(\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}\right)}^2}})-$ $-\frac{i\sqrt{3}}{2}\cdot (\sqrt[3]{\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}+\sqrt{{\left(\frac{3a_1-a_2^2}{9}\right)}^3+{\left(\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}\right)}^2}}-\sqrt[3]{\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}-\sqrt{{\left(\frac{3a_1-a_2^2}{9}\right)}^3+{\left(\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}\right)}^2}}).$

• Pavyzdis. Rasime lygties $z^3+5z^2+3z+4=0$ realųjį sprendinį. Gauname:

$z_1=-\frac{a_2}{3}+\sqrt[3]{\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}+\sqrt{{\left(\frac{3a_1-a_2^2}{9}\right)}^3+{\left(\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}\right)}^2}}+\sqrt[3]{\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}-\sqrt{{\left(\frac{3a_1-a_2^2}{9}\right)}^3+{\left(\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}\right)}^2}}=$ $=-\frac{5}{3}+\sqrt[3]{\frac{9\cdot 5\cdot 3-27\cdot 4-2\cdot 5^3}{54}+\sqrt{{\left(\frac{3\cdot 3-5^2}{9}\right)}^3+{\left(\frac{9\cdot 5\cdot 3-27\cdot 4-2\cdot 5^3}{54}\right)}^2}}+\sqrt[3]{\frac{9\cdot 5\cdot 3-27\cdot 4-2\cdot 5^3}{54}-\sqrt{{\left(\frac{3\cdot 3-5^2}{9}\right)}^3+{\left(\frac{9\cdot 5\cdot 3-27\cdot 4-2\cdot 5^3}{54}\right)}^2}}=$ $=-\frac{5}{3}+\sqrt[3]{\frac{135-108-250}{54}+\sqrt{{\left(\frac{9-25}{9}\right)}^3+{\left(\frac{135-108-250}{54}\right)}^2}}+\sqrt[3]{\frac{135-108-250}{54}-\sqrt{{\left(\frac{9-25}{9}\right)}^3+{\left(\frac{135-108-250}{54}\right)}^2}}=$ $=-\frac{5}{3}+\sqrt[3]{\frac{-223}{54}+\sqrt{{\left(\frac{-16}{9}\right)}^3+{\left(\frac{-223}{54}\right)}^2}}+\sqrt[3]{\frac{-223}{54}-\sqrt{{\left(\frac{-16}{9}\right)}^3+{\left(\frac{-223}{54}\right)}^2}}=$

$=-\frac{5}{3}+\sqrt[3]{\frac{-223}{54}+\sqrt{\frac{-4096}{729}+17.05384088}}+\sqrt[3]{\frac{-223}{54}-\sqrt{\frac{-4096}{729}+17.05384088}}=$

$=-\frac{5}{3}+\sqrt[3]{\frac{-223}{54}+\sqrt{11.43518519}}+\sqrt[3]{\frac{-223}{54}-\sqrt{11.43518519}}=$

$=-\frac{5}{3}+\sqrt[3]{\frac{-223}{54}+3.381595065}+\sqrt[3]{\frac{-223}{54}-3.381595065}=$

$=-\frac{5}{3}+\sqrt[3]{-0.748034565}+\sqrt[3]{-7.511224695}=-\frac{5}{3}-0.907765950-1.958409849=-\frac{5}{3}-2.866175799=-4.532842466.$

Patikriname:

$z^3+5z^2+3z+4=(-4.532842466{)}^3+5(-4.532842466{)}^2+3(-4.532842466)+4=$

$=-93.13477672+102.73330411-13.598527398+4=0.$

• Pavyzdis. Rasime lygties $z^3+a_2{z}^2+a_{1}z+a_0=z^3+3z^2-3z-14=0$ realųjį sprendinį. Gauname:

$z_1=-\frac{a_2}{3}+\sqrt[3]{\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}+\sqrt{{\left(\frac{3a_1-a_2^2}{9}\right)}^3+{\left(\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}\right)}^2}}+\sqrt[3]{\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}-\sqrt{{\left(\frac{3a_1-a_2^2}{9}\right)}^3+{\left(\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}\right)}^2}}=$ $=-\frac{3}{3}+\sqrt[3]{\frac{9\cdot 3\cdot (-3)-27\cdot (-14)-2\cdot 3^3}{54}+\sqrt{{\left(\frac{3\cdot (-3)-3^2}{9}\right)}^3+{\left(\frac{-81+378-54}{54}\right)}^2}}+\sqrt[3]{\frac{-81+378-54}{54}-\sqrt{{\left(\frac{-9-9}{9}\right)}^3+{\left(\frac{-81+378-54}{54}\right)}^2}}=$ $=-1+\sqrt[3]{\frac{243}{54}+\sqrt{{\left(\frac{-18}{9}\right)}^3+{\left(\frac{243}{54}\right)}^2}}+\sqrt[3]{\frac{243}{54}-\sqrt{{\left(\frac{-18}{9}\right)}^3+{\left(\frac{243}{54}\right)}^2}}=$ $=-1+\sqrt[3]{\frac{9}{2}+\sqrt{{(-2)}^3+{\left(\frac{9}{2}\right)}^2}}+\sqrt[3]{\frac{9}{2}-\sqrt{(-2{)}^3+{\left(\frac{9}{2}\right)}^2}}=$

$=-1+\sqrt[3]{\frac{9}{2}+\sqrt{-8+20.25}}+\sqrt[3]{\frac{9}{2}-\sqrt{-8+20.25}}=-1+\sqrt[3]{\frac{9}{2}+\sqrt{12.25}}+\sqrt[3]{\frac{9}{2}-\sqrt{12.25}}=$

$=-1+\sqrt[3]{4.5+3.5}+\sqrt[3]{4.5-3.5}=-1+\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{1}=-1+2+1=2.$

Patikriname:

$z^3+3z^2-3z-14=2^3+3\cdot 2^2-3\cdot 2-14=8+12-6-14=0.$

• Pavyzdis. Rasime lygties $z^3+2z^2-3z-14=0$ realųjį sprendinį. Gauname:

$z_1=-\frac{a_2}{3}+\sqrt[3]{\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}+\sqrt{{\left(\frac{3a_1-a_2^2}{9}\right)}^3+{\left(\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}\right)}^2}}+\sqrt[3]{\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}-\sqrt{{\left(\frac{3a_1-a_2^2}{9}\right)}^3+{\left(\frac{9a_2{a}_1-27a_0-2a_2^3}{54}\right)}^2}}=$ $=-\frac{2}{3}+\sqrt[3]{\frac{9\cdot 2\cdot (-3)-27\cdot (-14)-2\cdot 2^3}{54}+\sqrt{{\left(\frac{3\cdot (-3)-2^2}{9}\right)}^3+{\left(\frac{-54+378-16}{54}\right)}^2}}+\sqrt[3]{\frac{-54+378-16}{54}-\sqrt{{\left(\frac{-9-4}{9}\right)}^3+{\left(\frac{-54+378-16}{54}\right)}^2}}=$ $=-\frac{2}{3}+\sqrt[3]{\frac{308}{54}+\sqrt{{\left(\frac{-13}{9}\right)}^3+{\left(\frac{308}{54}\right)}^2}}+\sqrt[3]{\frac{308}{54}-\sqrt{{\left(\frac{-13}{9}\right)}^3+{\left(\frac{308}{54}\right)}^2}}=$ $=-\frac{2}{3}+\sqrt[3]{\frac{308}{54}+\sqrt{-3.013717421+32.53223594}}+\sqrt[3]{\frac{308}{54}+\sqrt{-3.013717421+32.53223594}}=$

$=-\frac{2}{3}+\sqrt[3]{\frac{308}{54}+\sqrt{29.51851852}}+\sqrt[3]{\frac{308}{54}-\sqrt{29.51851852}}=-\frac{2}{3}+\sqrt[3]{11.13679845}+\sqrt[3]{0.270608957}=$

$=-\frac{2}{3}+2.233161439+0.646815953=-\frac{2}{3}+2.879977392=2.213310725.$

Patikriname:

$2.213310725^3+2\cdot 2.213310725^2-3\cdot 2.213310725-14=10.84244344+9.797488731-6.639932175-14=20.63993217-20.63993218=0.$

Nuorodos

• Trečio ir ketvirto laipsnio lygties sprendinių radimas
• Kūbinės lygties sprendimas
• Ketvirto laipsnio lygties sprendinių radimas
• Ketvirto laipsnio lygties sprendinių radimas ir pavyzdžiai
• Po-Shen Loh’o naujas kvadratinės lygties sprendimo metodas https://www.poshenloh.com/quadraticdetail/ https://arxiv.org/pdf/1910.06709v2.pdf