Matematika/Paviršinis integralas

Paviršiaus ploto apskaičiavimas

Tarkime, kad srityje D paviršių nusako lygtis z=z(x, y), funkcijos išvestinės ${z_x}^{\prime }$ ir ${z_y}^{\prime }$ yra tolydžios srityje D. Paviršiaus dalies, kurios projekcija plokštumoje xOy yra sritis D, plotas apskaičiuojamas pagal formulę $S=\underset{D}{\iint }\sqrt{1+({z_x}^{\prime }{)}^2+({z_y}^{\prime }{)}^2}dxdy=\underset{D}{\iint }\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial z}{\partial y}{)}^2}dxdy.$

Pavyzdžiai

1.

• Apskaičiuosime $\underset{S}{\iint }dS$ dalyje piltuvėlio paviršiaus $z=\sqrt{x^2+y^2},1\le z\le 2$ plotą. Paviršius S projektuojasi į plokštumą XOY srityje D, kuri yra žiedas $1\le x^2+y^2\le 4.$ Šitame žiede funkcijos $z=\sqrt{x^2+y^2},{z_x}^{\prime }=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},{z_y}^{\prime }=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ - netrūkios. Todėl

$\underset{S}{\iint }dS=\underset{D}{\iint }\sqrt{1+\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}}dxdy=\underset{D}{\iint }\sqrt{2}dxdy=\sqrt{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \underset{1}{\overset{2}{\int }}\rho d\rho =\sqrt{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{{\rho }^2}{2}{|}_1^{2}d\varphi =$

$=\sqrt{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}(\frac{2^2}{2}-\frac{1^2}{2})d\varphi =\sqrt{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{3}{2}d\varphi =\sqrt{2}\cdot \frac{3}{2}\varphi {|}_0^{2\pi }=\frac{3\sqrt{2}}{2}(2\pi -0)=3\pi \sqrt{2}=13.32864881.$

Patikriname. Kūgio paviršiaus ploto formulė be pagrindo yra $S=\pi Rl,$ kur R yra pagrindo spindulys, o l yra apotema ir didžiojo kūgio yra lygi $l_d=\sqrt{R^2+H^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$ O mažojo kūgio apotema yra lygi $l_m=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.$ Dabar galime rasti piltuvėlio formos figuros tikrąjį plotą:

$S_3=S_d-S_m=\pi R{l}_d-\pi r{l}_m=\pi \cdot 2\cdot 2\sqrt{2}-\pi \cdot 1\cdot \sqrt{2}=4\pi \sqrt{2}-\pi \sqrt{2}=3\pi \sqrt{2}=13.32864881.$

2.

• Rasime plotą dalies kanoninio paviršiaus $z=\sqrt{x^2+y^2},$ iškerpamo plokštumomis $x=0,$ $y=0,$ $x+y=1,$ $x+y=2$ ir gulinčios pirmame oktante. Taip kaip funkcija $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ ir srtitis D, esanti projekcija šios dalies į plokšumą XOY, tenkina tolydumo sąlyga, apskaičiuojame paviršių pagal formulę. Be to ${f_x}^{\prime }(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},{f_y}^{\prime }(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},$ $\sqrt{1+f_x{\text{'}}^2(x,y)+f_y{\text{'}}^2(x,y)}=\sqrt{2},$ t. y.

$S=\underset{D}{\iint }\sqrt{2}dD=\sqrt{2}\underset{D}{\iint }dD=\sqrt{2}D=\frac{3}{2}\sqrt{2}.$ Sritį D randame kaip trikampių skirtumą: $S_{\mathrm{\Delta }1}=\frac{2^2}{2}=\underset{0}{\overset{2}{\int }}(2-x)dx=2;S_{\mathrm{\Delta }2}=\frac{1^2}{2}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-x)dx=\frac{1}{2};D=S_{\mathrm{\Delta }1}-S_{\mathrm{\Delta }2}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$

Vaizdas:1315pav.jpg

13.15.

• Paraboliniai cilindrai $y=\sqrt{x},y=2\sqrt{x}$ bei plokštuma $z=0$ išpjauna iš plokštumos $x+z=4$ kreivinį trikampį (13.15 pav.). Apskaičiuokime jo plotą.

Plokštumos lygtį parašykime taip: $z=4-x.$ Kreivinį trikampį projektuokime į plokštumą xOy. Randame: ${z_x}^{\prime }=-1,{z_y}^{\prime }=0,\sqrt{1+z_x{\text{'}}^2+z_y{\text{'}}^2}=\sqrt{2}.$ Tuomet $S=\underset{D}{\iint }\sqrt{2}dxdy=\sqrt{2}\underset{0}{\overset{4}{\int }}dx\underset{\sqrt{x}}{\overset{2\sqrt{x}}{\int }}dy=\sqrt{2}\underset{0}{\overset{4}{\int }}(2\sqrt{x}-\sqrt{x})dx=\sqrt{2}\cdot \frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}{|}_0^4=$ $=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot 8=\frac{16\sqrt{2}}{3}=7.542472333.$

• Raskime plotą tos ritinio $y^2+z^2=a^2$ paviršiaus ploto dalies, kurią išpjauna ritinys $x^2+y^2=a^2.$

Iš paviršiaus lygties $y^2+z^2=a^2$ išplaukia, kad $z=\sqrt{a^2-y^2}.$ Šią paviršiaus dalį projektuojame į plokštumą yOx. Vadinasi: ${z_y}^{\prime }=-\frac{y}{\sqrt{a^2-y^2}},$ ${z_x}^{\prime }=0;$

$\sqrt{1+z_y{\text{'}}^2+z_x{\text{'}}^2}=\sqrt{1+{(-\frac{y}{\sqrt{a^2-y^2}})}^2+0^2}=\sqrt{1+\frac{y^2}{a^2-y^2}}=\sqrt{\frac{(a^2-y^2)+y^2}{a^2-y^2}}=\frac{a}{\sqrt{a^2-y^2}}.$

Tuomet $S=\underset{D}{\iint }\frac{a}{\sqrt{a^2-y^2}}𝖽x𝖽y;$ čia integravimo sritis D yra ketvirtis skritulio, apriboto apskritimo $x^2+y^2=a^2.$ Taigi $S=a\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{dy}{\sqrt{a^2-y^2}}\underset{0}{\overset{\sqrt{a^2-y^2}}{\int }}dx=a\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{dy}{\sqrt{a^2-y^2}}x{|}_0^{\sqrt{a^2-y^2}}=a\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{dy}{\sqrt{a^2-y^2}}(\sqrt{a^2-y^2}-0)=a\underset{0}{\overset{a}{\int }}dy=ay{|}_0^a=a(a-0)=a^2.$

Palyginimui, kvadrato plotas yra $S_k=a^2.$ Paviršiaus plotas kurį suradome turi projekciją į xOy ašį, o tos projekcijos plotas yra $\frac{\pi r^2}{4}=\frac{\pi a^2}{4}.$

Vaizdas:1316pav.jpg

13.16.

• Raskime plotą tos ritinio $x^2+y^2=a^2$ paviršiaus ploto dalies, kurią išpjauna ritinys $y^2+z^2=a^2.$

Iš paviršiaus lygties $x^2+y^2=a^2$ išplaukia, kad $x=\sqrt{a^2-y^2}.$ Šią paviršiaus dalį projektuojame į plokštumą yOz. Vadinasi: ${x_y}^{\prime }=-\frac{y}{\sqrt{a^2-y^2}},$ ${x_z}^{\prime }=0,$ $\sqrt{1+x_y{\text{'}}^2+x_z{\text{'}}^2}=\frac{a}{\sqrt{a^2-y^2}}.$ Tuomet $S=8\underset{D}{\iint }\frac{a}{\sqrt{a^2-y^2}}dydz;$ čia integravimo sritis D yra ketvirtis skritulio, apriboto apskritimo $y^2+z^2=a^2.$ Taigi $S=8a\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{dy}{\sqrt{a^2-y^2}}\underset{0}{\overset{\sqrt{a^2-y^2}}{\int }}dz=8a\underset{0}{\overset{a}{\int }}dy=8a^2.$

Palyginimui, kvadrato plotas yra $S_k=a^2,$ o visuose oktantuose esantis plotas lygus $S_K=8\cdot a^2.$

Paaiškinimui, ritinio spindulys r=a, o aukštinė h=a, jei skaičiuoti tik teigiamas reikšmes (viename oktante) arba h=2a su ritinio puse(mis) esančia(-iomis) kituose oktantuose, kai z, x reikšmės neigiamos. Pirmo ritinio pagrindas yra plokštumoje xOy, o centras yra (0; 0; 0), o antro ritinio pagrindas yra plokštumoje zOy, o centras (0; 0; 0) (jei neigiamos z ir x reikšmės "nepratesiamos").

3.

• Apskaičiuosime plotą tos dalies plokštumos $6x+3y+2z=12,$ kuri yra pirmame oktante.

Taip kaip funkcija $z=6-3x-(3/2)y$ ir sritis D, esanti projekcija šios dalies paviršiaus į plokštumą Oxy, tenkina suformuluotas auksčiau salygas, tai ieškomą plotą galima apskaičiuoti pagal formule. Turime ${f_x}^{\prime }(x,y)=-3,$ ${f_y}^{\prime }(x,y)=-3/2;$ $\sqrt{1+f_x{\text{'}}^2(x,y)+f_y{\text{'}}^2(x,y)}=\sqrt{1+9+9/4}=7/2.$ Sritis D yra trikampis, apribotas ašimis Ox, Oy ir tiese 6x+3y=12, gaunamos iš lygties duotos plokštumos kai z=0. Išdėstę integravimo ribas dvilypiam integrale, gauname $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}dx\underset{0}{\overset{4-2x}{\int }}\frac{7}{2}dy=\frac{7}{2}\underset{0}{\overset{2}{\int }}y{|}_0^{4-2x}dx=\frac{7}{2}\underset{0}{\overset{2}{\int }}(4-2x)dx=$

$=\frac{7}{2}(4x-x^2){|}_0^2=\frac{7}{2}\cdot 4=14.$

Šį plotą galima surasti ir klasikiniu budu. Ieškomas plotas yra trikampis ABC, kurio taškai yra A(2; 0; 0), B(0; 4; 0) ir C(0; 0; 6). Pavadiname atkarpas AB=a, BC=b, CA=c; OA=d=2, OB=e=4, OC=f=6. Koordinačių pradžios taškas yra O(0; 0; 0). Randame trikampio ABC kraštinių ilgius:

$a=\sqrt{d^2+e^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}=4.472135955;$

$b=\sqrt{e^2+f^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}=7.211102551;$

$c=\sqrt{d^2+f^2}=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}=6.32455532.$

Toliau randame trikampio ABC pusperimetrį $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{2\sqrt{5}+2\sqrt{13}+2\sqrt{10}}{2}=\sqrt{5}+\sqrt{13}+\sqrt{10}=9.003896913$ ir plotą:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{9.003896913(9.003896913-\sqrt{20})(9.003896913-\sqrt{52})(9.003896913-\sqrt{40})}=$

$=\sqrt{9.003896913\cdot 4.531760958\cdot 1.792794362\cdot 2.679341593}=\sqrt{196}=14.$

Vaizdas:Pavirsinisintris427.jpg

427.

• Apskaičiuoti plotą plokštumos $2x+3y+z=6$ esančios pirmame oktante (pav. 427).

Randame:

$z=6-2x-3y;$

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial (6-2x-3y)}{\partial x}=-2;$

$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial (6-2x-3y)}{\partial y}=-3;$

$\sqrt{1+({z_x}^{\prime }(x,y){)}^2+({z_y}^{\prime }(x,y){)}^2}=\sqrt{1+(-2{)}^2+(-3{)}^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.$

Sritis $\sigma$ yra trikampis, apribotas ašimis Ox, Oy ir tiese 2x+3y=6, y=(6-2x)/3 gaunama iš lygties duotos plokštumos kai z=0. Išdėstę integravimo ribas dvilypiam integrale, gauname

$S=\underset{0}{\overset{3}{\int }}dx\underset{0}{\overset{\frac{6-2x}{3}}{\int }}\sqrt{14}dy=\sqrt{14}\underset{0}{\overset{3}{\int }}dxy{|}_0^{\frac{6-2x}{3}}=\sqrt{14}\underset{0}{\overset{3}{\int }}\frac{6-2x}{3}dx=\frac{\sqrt{14}}{3}(6x-x^2){|}_0^3=$

$=\frac{\sqrt{14}}{3}(6\cdot 3-3^2)=\frac{\sqrt{14}}{3}(18-9)=\frac{\sqrt{14}}{3}\cdot 9=3\sqrt{14}=11.22497216.$

Šį plotą galima surasti ir klasikiniu budu. Ieškomas plotas yra trikampis ABC, kurio taškai yra A(3; 0; 0), B(0; 2; 0) ir C(0; 0; 6). Pavadiname atkarpas AB=a, BC=b, CA=c; OA=d=3, OB=e=2, OC=f=6. Koordinačių pradžios taškas yra O(0; 0; 0). Randame trikampio ABC kraštinių ilgius:

$a=\sqrt{d^2+e^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}=3,605551275;$

$b=\sqrt{e^2+f^2}=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}=6,32455532;$

$c=\sqrt{d^2+f^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}=6,708203933.$

Toliau randame trikampio ABC pusperimetrį $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{40}+\sqrt{45}}{2}=8,319155264$ ir plotą:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{8,319155264(8,319155264-\sqrt{13})(8,319155264-\sqrt{40})(8,319155264-\sqrt{45})}=$

$=\sqrt{8.319155264\cdot 4.713603989\cdot 1.994599944\cdot 1.610951332}=\sqrt{126}=11.22497216.$