Matematika/Liestinės ir normalės projekcijos

Angliškai liestinės projekcija vadinasi subtangent, o liestinės normalės projekcija vadinasi subnormal. Rusiškai liestinės projekcija vadinasi подкасательная, o liestinės normalės projekcija vadinasi поднормаль.

Lygtis liestinės ir normalės. Ilgiai subtangentės ir subnormalės

Pav. 87.

Panagrinėkime kreivę, lygtis kurios yra

$y=f(x).$

Paimsime ant šitos kreivės tašką $M(x_1;y_1)$ (pav. 87) ir parašysime lygtį lietinės šitai kreivei taške M, tarę, kad šita liestinė ne lygiagreti ordinačių ašiai.

Lygtis tiesės su krypties koeficientų k, praeinančios per tašką M, turi pavidalą

$y-y_1=k(x-x_1).$

Liestinei

$k=f^{\prime }(x_1),$

todėl lygtis liestinės turi pavidalą

$y-y_1=f^{\prime }(x_1)(x-x_1).$

Drauge su liestine kreivės duotame taške dažnai tenka nagrinėti normalę.

Apibrėžimas. Kreivės normale duotame taške vadinama tiesė, praeinanti per duotą tašką, statmenai liestinei duotame taške.

Iš normalės apibrėžimo seka, kad jos krypties koficientas $k_n$ surištas su koeficientu $k_t$ liestinės lygybe

$k_n=-\frac{1}{k_t},$

t. y.

$k_n=-\frac{1}{f^{\prime }(x_1)}.$

Iš to seka, kad lygtis normalės kreivės $y=f(x)$ taške $M(x_1;y_1)$ turi pavidalą

$y-y_1=-\frac{1}{f^{\prime }(x_1)}(x-x_1).$

Ilgis T atkarpos QM (pav. 87) liestinės, esančios tarp susilietimo taško ir ašies Ox, vadinamas liestinės ilgiu. Projekcija šitos atkarpos ant ašies Ox, t. y. atkarpa QP, vadinasi subtangentė; ilgis subtangentės žymimas $S_T.$ Ilgis N atkarpos MR vadinasi normalės ilgiu, o projekcija RP atkarpos RM ant ašies Ox vadinasi subnormale; ilgis subnormalės žymimas $S_N.$

Rasime dydžius $T$, $S_T$, $N,$ $S_N$ kreivei $y=f(x)$ ir taškui $M(x_1;y_1).$

Iš paveikslėlio 87 matyti, kad

$QP=T\cdot \cos \alpha =y_1\cdot \frac{T\cos \alpha }{y_1}=y_1\cdot \frac{T\cos \alpha }{T\sin \alpha }=y_1\cdot \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=y_1\cot \alpha =\frac{y_1}{\tan \alpha }=\frac{y_1}{{y_1}^{\prime }},$

todėl

$S_T=\left|\frac{y_1}{{y_1}^{\prime }}\right|,$

$T=\sqrt{y_1^2+\frac{y_1^2}{({y_1}^{\prime }{)}^2}}=|\frac{y_1}{{y_1}^{\prime }}\sqrt{y_1{\text{'}}^2+1}|.$

Toliau iš šito pačio paveikslėlio aišku, kad kampas PMR lygus $\alpha$ ir

$\frac{PR}{PM}=\frac{PR}{y_1}=\tan \alpha ,$

$PR=y_1\tan \alpha =y_1{y_1}^{\prime },$

todėl

$S_N=|y_1{y_1}^{\prime }|,$

$N=\sqrt{y_1^2+(y_1{y_1}^{\prime }{)}^2}=|y_1\sqrt{1+y_1{\text{'}}^2}|.$

Šitos formulės išvestos tariant, kad $y_1>0,{y_1}^{\prime }>0.$ Tačiau jos išsisaugo ir bendru atveju.

Pavyzdžiai

Pav. 88.

• Parašyti lygtį liestinės ir normalės kreivės $y=x^3$ taške M(1; 1).

Sprendimas. Kadangi $y^{\prime }=3x^2,$ tai kampinis koeficientas liestinės lygūs $k=(y^{\prime }{)}_{x=1}=3\cdot 1^2=3.$

Iš to seka lygtis liestinės:

$y-y_1=k(x-x_1);$

$y-1=3(x-1)$ arba $y=3x-2.$

Lygtis normalės:

$y-y_1=-\frac{1}{k}(x-x_1);$

$y-1=-\frac{1}{3}(x-1)$

arba

$y=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$

(žr. pav. 88)

Pav. 89.

• Rasti lygtį liestinės ir normalės, ilgius liestinės ir subtangentės, ilgius normalės ir subnormalės elipsei:

$x=a\cos t,y=b\sin t(1)$

taške $M(x_1;y_1),$ kuriai $t=\frac{\pi }{4}$ (pav. 89).

Sprendimas. Iš lygčių (1) randame:

$\frac{dx}{dt}=-a\sin t;\frac{dy}{dt}=b\cos t;\frac{dy}{dx}=\frac{b\cos t}{-a\sin t}=-\frac{b}{a}\cot t;k={\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{t=\frac{\pi }{4}}=-\frac{b}{a}\cot \frac{\pi }{4}=-\frac{b}{a}.$

Randame koordinates susilietimo taško M:

$x_1=(x{)}_{t=\frac{\pi }{4}}=a\cos \frac{\pi }{4}=\frac{a}{\sqrt{2}},y_1=(y{)}_{t=\frac{\pi }{4}}=b\sin \frac{\pi }{4}=\frac{a}{\sqrt{2}}.$

Liestinės lygtis:

$y-y_1=k(x-x_1);$

$y-\frac{b}{\sqrt{2}}=-\frac{b}{a}(x-\frac{a}{\sqrt{2}}),$ arba $bx+ay-ab\sqrt{2}=0.$

Normalės lygtis:

$y-y_1=-\frac{1}{k}(x-x_1);$

$y-\frac{b}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b}(x-\frac{a}{\sqrt{2}}),$ arba $(ax-by)\sqrt{2}-a^2+b^2=0.$

Ilgis subtangentės:

$S_T=\left|\frac{y_1}{k}\right|=\left|\frac{\frac{b}{\sqrt{2}}}{-\frac{b}{a}}\right|=\frac{a}{\sqrt{2}}.$

Ilgis subnormalės:

$S_N=y_{1}k=\left|\frac{b}{\sqrt{2}}(-\frac{b}{a})\right|=\frac{b^2}{a\sqrt{2}}.$

Ilgiai liestinės ir normalės:

$T=|\frac{y_1}{k}\sqrt{k^2+1}|=\left|\frac{\frac{b}{\sqrt{2}}}{-\frac{b}{a}}\sqrt{{(-\frac{b}{a})}^2+1}\right|=\frac{a}{\sqrt{2}}\sqrt{{(-\frac{b}{a})}^2+1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{a^2+b^2};$

$N=|y_1\sqrt{1+k^2}|=\left|\frac{b}{\sqrt{2}}\sqrt{1+{(-\frac{b}{a})}^2}\right|=\frac{b}{a\sqrt{2}}\sqrt{a^2+b^2}.$

• Rasti lygtį liestinės ir normalės, ilgius liestinės ir subtangentės, ilgius normalės ir subnormalės parabolei $y=x^2$ taške $M(3;9)$.

Sprendimas. Randame:

$\frac{dy}{dx}=(x^2{)}^{\prime }=2x;k={\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{x=3}=2\cdot 3=6.$

Liestinės lygtis:

$y-y_1=k(x-x_1);$

$y-9=6(x-3),$ arba $6x-y-9=0.$

Normalės lygtis:

$y-y_1=-\frac{1}{k}(x-x_1);$

$y-9=-\frac{1}{6}(x-3),$ arba

$6(y-9)=-(x-3),$

$6y-54=-x+3,$

$x+6y-57=0.$

Ilgis subtangentės:

$S_T=\left|\frac{y_1}{k}\right|=\left|\frac{9}{6}\right|=\frac{3}{2}=1,5.$

Ilgis subnormalės:

$S_N=y_{1}k=|9\cdot 6|=54.$

Ilgiai liestinės ir normalės:

$T=|\frac{y_1}{k}\sqrt{k^2+1}|=\left|\frac{9}{6}\sqrt{6^2+1}\right|=\frac{3}{2}\sqrt{37}=9,124143795;$

$N=|y_1\sqrt{1+k^2}|=\left|9\sqrt{1+6^2}\right|=9\sqrt{37}=54,74486277.$

Sprendimas 2 (kitoks sprendimo būdas). Randame:

$\frac{dy}{dx}=(x^2{)}^{\prime }=2x;k={\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{x=3}=2\cdot 3=6.$

Liestinės lygtis:

$y-y_1=k(x-x_1);$

$y-9=6(x-3),$ arba $6x-y-9=0.$

Normalės lygtis:

$y-y_1=-\frac{1}{k}(x-x_1);$

$y-9=-\frac{1}{6}(x-3),$ arba $x+6y-57=0.$

Toliau randame liestinės ir ašies Ox susikirtimo tašką įstatę į liestinės lygtį $y=0$:

$y-9=6(x-3),$

$y=6x-18+9,$

$y=6x-9,$

$6x-9=0,$

$x=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}=1,5.$

Vadinasi, liestinės ir ašies Ox susikirtimo taškas yra A(1,5; 0).

Liestinės projekcijos ilgis yra:

$S_T=x_1-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}=1,5.$

Liestinės atkarpos AM ilgis yra lygus:

$T=\sqrt{S_T^2+y_1^2}=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+9^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+81}=\sqrt{\frac{9+81\cdot 4}{4}}=\sqrt{\frac{9+324}{4}}=\sqrt{\frac{333}{4}}=\frac{3\sqrt{37}}{2}=9,124143795.$

Randame liestinės normalės ir ašies Ox susikirtimo tašką įstatę į normalės lygtį $y=0$:

$y-y_1=-\frac{1}{k}(x-x_1);$

$y-9=-\frac{1}{6}(x-3),$

$x+6y-57=0,$

$x+6\cdot 0-57=0,$

$x-57=0,$

$x=57.$

Vadinasi, normalės ir ašies Ox susikirtimo taškas yra B(57; 0).

Normalės projekcijos ilgis yra:

$N_T=57-x_1=57-3=54.$

Normalės atkarpos BM ilgis yra lygus:

$N=\sqrt{N_T^2+y_1^2}=\sqrt{54^2+9^2}=\sqrt{2916+81}=\sqrt{2997}=54,74486277.$