Matematika/Skritulys

Skrituliu vadinamas plotas, esantis apskritimo viduje - plotas ribojamas apskritimo.

Skritulio plotas lygus $S=\pi r^2;$

skritulio perimetras lygus $C=2\pi r;$

čia r skritulio arba apskritimo spindulys.

Skritulio ploto įrodymas

Įbrėžkime į apskritimą, kurio spindulys yra r, taisiklingą n kampų (ir n kraštinių) turintį daugiakampį (taisiklingojo daugiakampio visos kraštinės yra lygios). To daugiakampio kampus sujunkime su apskritimo centru. Gavome n lygiašonių trikampių, kurių šoninės kraštinės yra apskritimo (arba skritulio) spinduliai, ilgio r. Kiekvienas iš tų trikampių turi vienodo ilgio aukštinę h ir pagrindą $p_1,$ kuris yra taisiklingojo daugiakampio kraštinė. Aukštinė h yra nuleista iš apskritimo centro į lygiašonio trikampio pagrindą $p_1$ ir tą pagrindą dalina į dvi lygias dalis.

Kiekvieno gauto trikampio plotas lygus:

$S_{\mathrm{\Delta }}=\frac{p_{1}h}{2}.$

Visų tų trikampių plotų suma lygi:

$S_P=\frac{n{p}_{1}h}{2}.$

Į apskritimą ibrėžto taisiklingojo daugiakmpio perimetras lygus:

$P=n{p}_1.$

Kai daugiakmpio kraštinių skaičius n artėja prie begalybės ($n\to \mathrm{\infty }$), tai daugiakampio perimetras P artėja prie apskritimo ilgio C ($P\to C$ arba $n{p}_1\to 2\pi r$).

Tuo pat metu trikampių aukštinės h ilgis artėja prie apskritimo spindulio r ilgio ($h\to r$), kai $n\to \mathrm{\infty }.$

Todėl trikampių plotų sumą galima perrašyti šitaip:

$S_P=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n{p}_{1}h}{2}=\frac{2\pi r\cdot r}{2}=\pi r^2=S.$