Matematika/Homogeninės diferencialinės lygtys

Šis straipsnis yra apie Homogeninių diferencialinių lygtčių sprendimą.

• $x^{2}dy-y(y+x)dx=0,$

$\frac{dy}{dx}=\frac{y(y+x)}{x^2},x\ne 0,$

$u^{\prime }x+u=\frac{ux(ux+x)}{x^2},$ $y=ux,$ $y^{\prime }=u^{\prime }x+u,$

$u^{\prime }x+u=u^2+u,$

$u^{\prime }x=u^2,$

$\frac{du}{u^2}=\frac{dx}{x},$

$\int \frac{du}{u^2}=\int \frac{dx}{x},$

$-\frac{1}{u}=\ln |x|+\ln C,$

$e^{-\frac{x}{y}}=Cx.$

• $y^{\prime }x-x^2-y=0,$

$y=ux,$ $y^{\prime }=u^{\prime }x+u,$

$(u^{\prime }x+u)x-x^2-ux=0,$

$u^{\prime }x+u-x-u=0,$

$u^{\prime }x=x,$

$\frac{du}{dx}=1,$

$\int du=\int dx,$

$u=x+C,$

$\frac{y}{x}=x+C,$

$y=x^2+Cx.$

• $x{y}^{\prime }=y\ln \frac{y}{x},y(1)=\sqrt{e},$

$y^{\prime }=\frac{y}{x}\ln \frac{y}{x},$

$y=ux,$ $y^{\prime }=u^{\prime }x+u,$

$u^{\prime }x+u=u\ln u,$

$u^{\prime }x=u(\ln u-1),$

$\frac{du}{u(\ln u-1)}=\frac{dx}{x},$

$\int \frac{d(\ln u-1)}{\ln u-1}=\int \frac{dx}{x},$

$\ln |\ln u-1|=\ln |x|+\ln C,$

$\ln u-1=Cx,$

$u=e^{Cx+1},$

$y=x{e}^{Cx+1},$

$e^{\frac{1}{2}}=1\cdot e^{C\cdot 1+1},$

$C=-0.5,$

$y=x{e}^{1-\frac{x}{2}}.$

• $\frac{dy}{dx}=\frac{xy}{x^2-y^2},$

$\frac{y}{x}=u,$ $y=ux,$ $\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx},$

$u+x\frac{du}{dx}=\frac{u{x}^2}{\frac{y^2}{u^2}-u^2{x}^2},$

$u+x\frac{du}{dx}=\frac{u}{\frac{y^2}{x^2{u}^2}-u^2},$

$u+x\frac{du}{dx}=\frac{u}{\frac{u^2}{u^2}-u^2},$

$u+x\frac{du}{dx}=\frac{u}{1-u^2},$

$x\frac{du}{dx}=\frac{u^3}{1-u^2},$

$\frac{1-u^2}{u^3}du=\frac{dx}{x},$

$\int (\frac{1}{u^3}-\frac{1}{u})du=\int \frac{dx}{x},$

$-\frac{1}{2u^2}-\ln |u|=\ln |x|+\ln |C|,$

$-\frac{1}{2u^2}=\ln |uxC|,$

$-\frac{x^2}{2y^2}=\ln |Cy|,$

$x=y\sqrt{-2\ln |Cy|}.$