Matematika/Skaičius e

Parodysime, kad $2\le e\le 3.$

Kad įrodyti, kad $2\le e$ reikia žinoti Niutono binomo formulę. O įrodymui, kad $e\le 3,$ reikia žinoti geometrinę progresiją.

Niutono binomo formulę daugiau ar mažiau žino kiekvienas (besidomintis matematika). Todėl pateiksime tik geometrinės progresijos formulę ir jos išvedimą.

Geometrinė progresija

Kai $r\ne 1$, suma pirmų n+1 geometrinės eilutės narių yra

$S_n=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots +a{r}^n=\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=a\left(\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\right).$

Čia a yra bet koks realusis skaičius, r - realusis skaičius, n - natūrinis skaičius.

Kai $-1<r<1,$ tada eilutė $S_n$ konverguoja. Kai $r\ge 1,$ tada eilutė $S_n$ diverguoja (suma $S_n=\mathrm{\infty },$ kai $n\to \mathrm{\infty }$). Kai $r\le -1,$ tada eilutė $S_n$ diverguoja.

Dalinės sumos $S_n$ formulę galima išvesti padauginus n+1 narių sumą iš r ir paskui atimti gautą sumą iš pradinės $S_n$ sumos:

$\begin{array}{cc}s=a+& ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots +a{r}^n,\\ rs=& ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots +a{r}^n+a{r}^{n+1},\\ s-rs=& a-a{r}^{n+1},\\ s(1-r)=& a(1-r^{n+1}),\\ s=& a\left(\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\right)\text{(jeigu }r\ne 1\text{)}.\end{array}$

Kai n artėja prie begalybės, absoliuti reikšmė r turi būti mažesnė už vienetą, kad eilutė konverguotų. Suma tada tampa tokia

$a+ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+\cdots =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^k=\frac{a}{1-r},\text{ kai }|r|<1.$

Kai $a=1,$ gauname tokią paprastesnę eilutę ($-1<r<1,n\to \mathrm{\infty }$):

$1+r+r^2+r^3+\cdots =\frac{1}{1-r}.$

Apie geometrinę eilutę (ir kaip ji išvedama) anglų kalba galima paskaityti čia https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

Apie geometrinę progresiją anglų kalba galima paskaityti čia https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_progression

Skaičius e

Nagrinėkime seką $\{x_n\}$ su bendru nariu $x_n=(1+\frac{1}{n}{)}^n$:

$(1+\frac{1}{1}{)}^1,(1+\frac{1}{2}{)}^2,(1+\frac{1}{3}{)}^3,...,(1+\frac{1}{n}{)}^n,...$

Įrodysime, kad jinai konverguoja. Tam pakanka įrodyti, kad seka $\{x_n\}$ - didėjanti ir aprėžta iš viršaus. Pritaikę Niutono binomo formulę gausime

$x_n=(1+\frac{1}{n}{)}^n=1+n\cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac{1}{n^3}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}\frac{1}{n^4}+...$

$...+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)...[n-(n-1)]}{n!}\frac{1}{n^n}.$

Pateiksime šitą išraišką tokioje formoje:

$x_n=2+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+\frac{1}{4!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(1-\frac{3}{n})+...$

$...+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})(1-\frac{3}{n})...(1-\frac{n-1}{n}).(1)$

Analogiškai pateiksime $x_{n+1}$:

$x_{n+1}=2+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n+1})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})+\frac{1}{4!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})(1-\frac{3}{n+1})+...$

$...+\frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})(1-\frac{3}{n+1})...(1-\frac{n}{n+1}).$

Pastebėsime dabar, kad $(1-\frac{k}{n})<(1-\frac{k}{n+1}),$ kai $0<k<n.$ Todėl kiekvienas dėmuo esantys $x_{n+1}$ išraiškoje didesnis už atitinkamą dėmenį esantį $x_n$ išraiškoje ir, be to, pas $x_{n+1}$, palyginus su $x_n$, prisideda dar vienas teigiamas dėmuo. Todėl $x_n<x_{n+1},$ t. y. seka $\{x_n\}$ didėjanti.

Įrodymui, kad duotoji seka aprėžta iš viršaus, pastebėsime, kad kiekviena išraiška apvaliuose skliaustuose atitikmens (1) mažesnė už vienetą. Atsižvelgę į tai, kad $\frac{1}{n!}<\frac{1}{2^{n-1}},$ kai $n>2,$ gauname

$x_n<2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{n!}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{n-1}}.$

Panaudoję geometrinės progresijos sumos formulę

$1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{n-1}}=1+\frac{1-1/2^n}{1-1/2},$

ateisime prie nelygybės

$x_n<1+\frac{1-1/2^n}{1-1/2}=1+\frac{1-1/2^n}{1/2}=1+2(1-1/2^n)=1+2-1/2^{n-1}=3-\frac{1}{2^{n-1}}<3.$

Tokiu budu, įrodyta, kad seka $\{(1+1/n{)}^n\}$ - didėjanti ir aprėžta iš viršaus. Todėl ji turi ribą. Šita riba žymima raide e. Taigi, pagal apibrėžimą,

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n.$

Pažymėsime, kad skaičius e vaidina svarbų vaidmenį matematikoje. Jis yra natūrinio logaritmo pagrindas. Dabar tik apibrėžėme skaičių e. Čia pateiktas skaičiaus e apskaičiavimo budas bet kokiu tikslumu.

Čia tik pažymėsime, kadangi $x_n<3$ ir iš (1) akivaizdu, kad $2<x_n,$ tai skaičius e yra ribose $2\le e\le 3.$ Įrodyta, kad skaičius e iracionalus.

Nors matematikos knygose $2\le e\le 3,$ bet iš (1) formulės akivaizdu, kad e daugiau už 2, nes, kai n artėja į begalybę $x_n>2+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})=2+1/2=2.5.$

Nuorodos

• http://web.vu.lt/mif/v.stakenas/a+o/2002-3/2002-3-56-61.pdf Apie skaičių e ir kodėl jis iracionalus.