Kubinės lygties sprendimas be kompleksinių skaičių

https://www.journals.vu.lt/LMR/article/view/14970/13988

Yra įrodyta, kad kubinės ir ketvirto laipsnio lygtys gali būti išspręstos be kompleksinių skaičių ir išvestinių panaudojimo (randami tik realieji sprendiniai). Bus pateikti atitinkami algoritmai.

Kubinės lygtys

Bendra forma kubinės lygties yra

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0(a\ne 0).(1)$

Padalinus šią lygtį iš $a\ne 0,$ gaunama lygtis, taip pat vadinama bendros formos:

$x^3+b{x}^2+cx+d=0.(2)$

(2) lygtis gali būti perdaryta/suprastina įvedus naują kintamąjį y, kad $x=y+k.$ Skaičius k pasirenkamas taip, kad (2) lygtis neturėtų antro laipsnio nario ($b{x}^2$). Iš tikro, po įstatymo $x=y+k,$ tiktai iš $x^3$ ir $b{x}^2$ gaunamas y kvadratas (padaugintas iš konstantos).

$x^3+b{x}^2+cx+d=0.(2)$

$(y+k{)}^3+b(y+k{)}^2+c(y+k)+d=0,$

$(y^3+3y^{2}k+3y{k}^2+k^3)+b(y^2+2yk+k^2)+c(y+k)+d=0,$

$(y^3+3y{k}^2+k^3)+[3y^{2}k+b{y}^2]+b(2yk+k^2)+c(y+k)+d=0.$

Igriko kvadratas išnyks, kai $[3y^{2}k+b{y}^2]=0$ arba $3k+b=0.$ Tada $k=-b/3.$

Tai galima gauti ir taip:

$x^3+b{x}^2=x^2(x+b)=(y+k{)}^2(y+k+b)=(y^2+2yk+k^2)(y+k+b);$

sandaugoje $(y^2+2yk+k^2)(y+k+b)$ tik $k{y}^2+b{y}^2+2y^{2}k=3k{y}^2+b{y}^2$ turi $y^2.$ Todėl $y^2$ išnyks, jeigu $3k+b=0,$ t. y. jeigu $k=-b/3.$

Gauta lygtis vadinama redukuota (nežinomasis vėl yra x):

$x^3+px+q=0.(3)$

Sprendinių skaičius

Kubinė lygtis (3) visada turi bent vieną sprendinį. Funkcija $f(x)=x^3+px+q$ yra teigiamai su pakankamai dideliais x ir neigiama su dideliais neigiamais x. Todėl f(x) funkcijos grafikas kerta Ox ašį.

Kubinė lygtis gali turėti vieną, du ar trys sprendinius – pavyzdžiui, lygtys

$(x-1{)}^3=0,(x-1{)}^2(x-2)=0,(x-1)(x-2)(x-3)=0$

turi atitinkamai sprendinius $\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\}.$

Daugiau nei 3 sprendinius kubinė lygtis negali turėti. Tarkim, kad lygtis (3) turi sprendinį $\alpha .$ Tai reiškia, kad ${\alpha }^3+p\alpha +q=0.$ Dabar (3) lygtį lengva išskaidyti (faktorizuoti)

$x^3+px+q=x^3+px+q-{\alpha }^3-p\alpha -q=x^3-{\alpha }^3+px-p\alpha =(x-\alpha )(x^2+x\alpha +{\alpha }^2+p).$

Taigi kitus sprendinius lygties (3) rasime išsprenę kvadratinę lygtį (nuo nežinomojo x)

$x^2+x\alpha +{\alpha }^2+p=0.(4)$

Lygtis (4) gali turėti 0 arba 1, arba 2 sprendinius, kurie nėra $\alpha .$ Šie sprendiniai taip pat bus sprendiniais (3) lygties.

[$x^3+px+q=0.(3)$]

Matome, kad žinant bent vieną (3) lygties spreninį, galima rasti visus kitus (3) lygties sprendinius iš (4) lygties. Štai kodėl labai lengva spręsti kubinę lygtį, kuri turi racionalų sprendinį. Beje, galima lengvai surasti bet kokio laipsnio lygties sprendinius, kai jos koeficientai yra racionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, jeigu lygties koeficientai yra sveikieji skaičiai ir pirmas koeficientas yra 1 (tokią formą galima suteikti bet kokiai lygčiai su racionaliais koeficientais), tada racionalieji sprendiniai gali būti tik sveikieji skaičiai – teigiami ir neigiami dalikliai laisvojo nario (kubinėje lygtyje (3) laisvasis narys yra q; žr. čia). Todėl apsimoka sprendžiant bet kokią lygtį su racionaliaisiais koeficientais, pradėti lygties sprendimą nuo racionaliųjų sprendinių ieškojimo.

Atvejis, kai p>0.

Kubinė lygtis (3) gali būti toliau suprastinta, padarius koeficiento $p\ne 0$ modulį lygų 3 (kai p=0, tada lygtis (3) tampa $x^3=-q,$ turinti sprendinį $x=-\sqrt[3]{q}$).

Vėl mes panaudojame paprastą, tiesinį keitinį $x=ky$ ir tinkamai parinksime k. Mūsų (3) lygtis konvertuojama į

$k^3{y}^3+pky+q=0,y^3+py/k^2+q/k^3=0.$

Atveju $p>0,$ pasirenkame k taip:

$p/k^2=3,p/3=k^2,k=\sqrt{p/3}.$

Todėl su tokiu k, koeficientas prie y tampa lygus 3.

$x=ky=\sqrt{p/3}y,$

$q/k^3=q/(\sqrt{p/3}{)}^3=\frac{q}{\sqrt{p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}.$

Pažymėkime

$m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.$

Tada mes turime lygtį (gautą iš lygties $y^3+py/k^2+q/k^3=0$):

$y^3+py/k^2+q/k^3=0,$

$y^3+3y-2m=0,(5)$

kurioje $p/k^2=3,\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{p}}=-2m.$

Dabar mes bandysime rasti sprendinius, parinkę keitinį $y=z-1/z:$

$(z-1/z{)}^3+3(z-1/z)-2m=0,$

$(z^3-3z^2\cdot 1/z+3z\cdot 1/z^2-1/z^3)+3(z-1/z)-2m=0,$

$(z^3-3z+3/z-1/z^3)+3z-3/z-2m=0,$

$(z^3-1/z^3)-2m=0,$

$z^3-1/z^3-2m=0,|\cdot z^3$

$z^6-1-2m{z}^3=0,$

$z^6-2m{z}^3=1,$

$z^6-2m{z}^3+m^2=1+m^2,$

$(z^3-m{)}^2=1+m^2,$

$z^3-m=\pm \sqrt{1+m^2},$

$z^3=m\pm \sqrt{1+m^2},$

$z=\sqrt[3]{m\pm \sqrt{1+m^2}}.$

Abi šios z reikšmės duoda tą patį sprendinį (5) lygties.

$y=z-1/z=\sqrt[3]{m+\sqrt{1+m^2}}-\frac{1}{\sqrt[3]{m+\sqrt{1+m^2}}}=$

$=\sqrt[3]{m+\sqrt{1+m^2}}-\frac{\sqrt[3]{m-\sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+\sqrt{1+m^2}}\cdot \sqrt[3]{m-\sqrt{1+m^2}}}=\sqrt[3]{m+\sqrt{1+m^2}}-\frac{\sqrt[3]{m-\sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2-(\sqrt{1+m^2}{)}^2}}=$

$=\sqrt[3]{m+\sqrt{1+m^2}}-\frac{\sqrt[3]{m-\sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2-(1+m^2)}}=\sqrt[3]{m+\sqrt{1+m^2}}-\frac{\sqrt[3]{m-\sqrt{1+m^2}}}{-1}=$

$=\sqrt[3]{m+\sqrt{1+m^2}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{1+m^2}};$

$y=z-1/z=\sqrt[3]{m-\sqrt{1+m^2}}-\frac{1}{\sqrt[3]{m-\sqrt{1+m^2}}}=$

$=\sqrt[3]{m-\sqrt{1+m^2}}-\frac{\sqrt[3]{m+\sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m+\sqrt{1+m^2}}\cdot \sqrt[3]{m-\sqrt{1+m^2}}}=\sqrt[3]{m-\sqrt{1+m^2}}-\frac{\sqrt[3]{m+\sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2-(\sqrt{1+m^2}{)}^2}}=$

$=\sqrt[3]{m-\sqrt{1+m^2}}-\frac{\sqrt[3]{m+\sqrt{1+m^2}}}{\sqrt[3]{m^2-(1+m^2)}}=\sqrt[3]{m-\sqrt{1+m^2}}-\frac{\sqrt[3]{m+\sqrt{1+m^2}}}{-1}=$

$=\sqrt[3]{m-\sqrt{1+m^2}}+\sqrt[3]{m+\sqrt{1+m^2}}.$

Taigi, abiais atvejais (su dviem skirtingom z reikšmėm) gavome tą patį sprendinį

$y=\sqrt[3]{m+\sqrt{1+m^2}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{1+m^2}}.$

Tai skiriasi nuo sprendinio iš PDF failo, kuris yra toks:

$y=\sqrt[3]{\sqrt{m^2+1}+m}+\sqrt[3]{\sqrt{m^2+1}-m}.$

Įsitikinkime, kad (5) lygtis neturiu daugiau sprendinių. Pagal (4) lygtį (iš (5) lygties), dabar turime:

[$x^2+x\alpha +{\alpha }^2+p=0.(4)$]

[$y^3+3y-2m=0,(5)$]

$y^2+y\alpha +{\alpha }^2+3=0,(5.1)$

kur

$\alpha =\sqrt[3]{m+\sqrt{1+m^2}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{1+m^2}}.$

Diskriminantas (5.1) lygties lygus

$D={\alpha }^2-4({\alpha }^2+3)=-3{\alpha }^2-12<0.$

Kadangi diskriminantas neigiamas, (5) lygtis daugiau sprendinių neturi. Todėl (3) lygtis, atveju p>0, turi tik vieną sprendinį. Mes rasime jį perėję nuo y prie $x=y\sqrt{p/3}.$

Rasime kam lygus x (kuris yra sprendinys (3) lygties).

$m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}.$

$y=\sqrt[3]{m+\sqrt{1+m^2}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{1+m^2}}.$

$x=ky=\sqrt{p/3}y=\sqrt{p/3}(\sqrt[3]{m+\sqrt{1+m^2}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{1+m^2}})=$

$=\sqrt{p/3}(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+\sqrt{1+{(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}})}^2}}+\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}-\sqrt{1+{(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}})}^2}})=$

$=\sqrt{p/3}(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+\sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2\cdot p}}}+\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}-\sqrt{1+\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2\cdot p}}})=$

$=\sqrt{p/3}(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+\sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}}+\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}-\sqrt{1+\frac{27q^2}{4p^3}}})=$

$=\sqrt{p/3}(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+\sqrt{\frac{4p^3+27q^2}{4p^3}}}+\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}-\sqrt{\frac{4p^3+27q^2}{4p^3}}})=$

$=(\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3+27q^2}{4p^3}}}+\sqrt[3]{-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}-\sqrt{\frac{p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3+27q^2}{4p^3}}})=$

$=\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}+\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3+27q^2}{4p^3}}}+\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{p}}-\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3+27q^2}{4p^3}}}=$

$=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3+27q^2}{4}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3+27q^2}{4}}}=$

$=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{4p^3+27q^2}{4\cdot 27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{4p^3+27q^2}{4\cdot 27}}}=$

$=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}}.$

Atvejis, kai p<0.

Sunkiau išspręsti (3) lygtį, kai p yra neigiamas. Ir vėl panaudojame keitinį $x=ky.$ Dabar lygtyje

$y^3+py/k^2+q/k^3=0$

pasirenkame k, kad $p/k^2=-3,$

$-p/3=k^2,$

$k=\sqrt{-p/3}.$

Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes p<0.

$q/k^3=q/(\sqrt{-p/3}{)}^3=\frac{q}{\sqrt{-p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{-p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{-p}};$

$\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{-p}}=q/k^3=-2m;$

$m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}.$

Pažymėję laisvajį narį per -2m, gauname lygtį

$y^3-3y-2m=0.(6)$

Panaudojame keitinį $y=z+1/z:$

$(z+1/z{)}^3-3(z+1/z)-2m=0,$

$(z^3+3z^2\cdot 1/z+3z\cdot 1/z^2+1/z^3)-3(z+1/z)-2m=0,$

$(z^3+3z+3/z+1/z^3)-3(z+1/z)-2m=0,$

$(z^3+3z+3/z+1/z^3)-3z-3/z-2m=0,$

$(z^3+1/z^3)-2m=0,$

$z^3+1/z^3-2m=0,|\cdot z^3$

$z^6+1-2m{z}^3=0,$

$z^6-2m{z}^3=-1,$

$z^6-2m{z}^3+m^2=m^2-1,$

$(z^3-m{)}^2=m^2-1.(7)$

Lygtis (7) nevisada turi sprendinius ir reikia išnagrinėti trys atvejus: $m^2>1,$ $m^2=1$ ir $m^2<1.$

Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys).

Jeigu $m^2>1,$ tada

[$(z^3-m{)}^2=m^2-1.(7)$]

$z^3-m=\pm \sqrt{m^2-1},$

$z^3=m\pm \sqrt{m^2-1},$

$z=\sqrt[3]{m\pm \sqrt{m^2-1}},$

ir abi šios z reikšmės duoda tą patį sprendinį:

$y=z+1/z=\sqrt[3]{m+\sqrt{m^2-1}}+\frac{1}{\sqrt[3]{m+\sqrt{m^2-1}}}=$

$=\sqrt[3]{m+\sqrt{m^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{m-\sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m-\sqrt{m^2-1}}\cdot \sqrt[3]{m+\sqrt{m^2-1}}}=\sqrt[3]{m+\sqrt{m^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{m-\sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2-(\sqrt{m^2-1}{)}^2}}=$

$=\sqrt[3]{m+\sqrt{m^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{m-\sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2-(m^2-1)}}=\sqrt[3]{m+\sqrt{m^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{m-\sqrt{m^2-1}}}{1}=$

$=\sqrt[3]{m+\sqrt{m^2-1}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{m^2-1}};$

$y=z+1/z=\sqrt[3]{m-\sqrt{m^2-1}}+\frac{1}{\sqrt[3]{m-\sqrt{m^2-1}}}=$

$=\sqrt[3]{m-\sqrt{m^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{m+\sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m+\sqrt{m^2-1}}\cdot \sqrt[3]{m-\sqrt{m^2-1}}}=\sqrt[3]{m-\sqrt{m^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{m+\sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2-(\sqrt{m^2-1}{)}^2}}=$

$=\sqrt[3]{m-\sqrt{m^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{m+\sqrt{m^2-1}}}{\sqrt[3]{m^2-(m^2-1)}}=\sqrt[3]{m-\sqrt{m^2-1}}+\frac{\sqrt[3]{m+\sqrt{m^2-1}}}{1}=$

$=\sqrt[3]{m-\sqrt{m^2-1}}+\sqrt[3]{m+\sqrt{m^2-1}}.$

Gavome tas pačias y reikšmes.

Gausime x reikšmę ((3) lygties sprendinį):

$k=\sqrt{-p/3};$

$m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}};$

$x=ky=\sqrt{-p/3}y=\sqrt{-p/3}(\sqrt[3]{m-\sqrt{m^2-1}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{m^2-1}})=$

$=\sqrt{-p/3}(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+\sqrt{{(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}})}^2-1}}+\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}-\sqrt{{(-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}})}^2-1}})=$

$=\sqrt{-p/3}(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+\sqrt{\frac{9\cdot 3q^2}{4p^2\cdot (-p)}-1}}+\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}-\sqrt{\frac{9\cdot 3q^2}{-4p^2\cdot p}-1}})=$

$=\sqrt{-p/3}(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+\sqrt{\frac{27q^2}{-4p^3}-1}}+\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}-\sqrt{\frac{27q^2}{-4p^3}-1}})=$

$=\sqrt{-p/3}(\sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+\sqrt{\frac{4p^3+27q^2}{-4p^3}}}+\sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}-\sqrt{-\frac{4p^3+27q^2}{4p^3}}})=$

$=(\sqrt[3]{-\sqrt{-\frac{p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+\sqrt{\frac{-p^3}{3^3}}\sqrt{\frac{4p^3+27q^2}{4p^3}}}+\sqrt[3]{\sqrt{\frac{-p^3}{3^3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}-\sqrt{\frac{-p^3}{3^3}}\sqrt{-\frac{4p^3+27q^2}{4p^3}}})=$

$=\sqrt[3]{-\frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}+\frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{-\frac{4p^3+27q^2}{4p^3}}}+\sqrt[3]{\frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}-\frac{p\sqrt{-p}}{3\sqrt{3}}\sqrt{-\frac{4p^3+27q^2}{4p^3}}}=$

$=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3+27q^2}{4}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{\frac{4p^3+27q^2}{4}}}=$

$=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{4p^3+27q^2}{4\cdot 27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{4p^3+27q^2}{4\cdot 27}}}=$

$=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}}.$

Įsitikinkime, kad šis sprendinys yra unikalus (vienintelis). Šio sprendinio modulis yra didesnis už 2:

$y^2=(z+1/z{)}^2=z^2+2+1/z^2=z^2-2+1/z^2+4=(z-1/z{)}^2+4>4.$

Vadinasi, |y|>2 ir iš (6) lygties

$2m=y^3-3y=y(y^2-3)>y(4-3)=y,$

$2m>y;$

$2m>y>2(\text{kai}y>0),$

$m>1(\text{kai}y>0).$

Jeigu pvz., y=-3, tai

$2m>-3(\text{kai}y<0),$

$2m>-2>y(\text{kai}y<0),$

$m>-1(\text{kai}y<0).$

Bet mūsų atveju turi būti $m^2>1,$ tačiau to nėra, kai $m>-1,$ nes jeigu pavyzdžiui, m=-0.9, tai $m^2=(-0.9{)}^2=0.81<1,$ kas neatitinka sąlygos $m^2>1.$ Todėl teigiamos y reikšmės patenka į sąlygą $m^2>1.$ Kitaip tariant, jeigu y yra neigiamas, tai jo reikšmės mažesnės už -2 (y<-2, kai y<0) ir 2m gali būti lygu -2 (nes 2m>y). Tada gaunasi, kad 2m=-2, m=-1. Ir $m^2=(-1{)}^2=1,$ bet tai neatitinka atvejo $m^2>1.$

Bet jeigu, pavyzdžiui, y=-3, tai iš nelygybės $2m>y,$ gauname

$2m>-3,$

$m>-1.5.$

Ir gaunasi, kad sąlyga $m^2>1$ tenkinama, nes $(-1.49{)}^2=2.2201>1.$

Vadinasi, sąlyga $m^2>1$ netenkinama tik kai $2m=-2,m=-1.$ Kalbant dar tiksliau, su bet kokiom y reikšmėm, m gali įgyti vienintelę reikšmę $m=-1,$ kuri nepriklauso šiam atvejui $p<0,m^2>1.$

Pataisymas. Jeigu m=-0.5, tai tada m>-1 (kai y<0). Arba 2m=-1>-2>y (kai y<0). Todėl, kai y neigiamas, m reikšmės gali būti segmente [-1; 0]. Arba $-1\le m\le 0,$ kai y<0. O kai y>0, tada m reikšmės gali būti intervale $(1;\mathrm{\infty }).$ Tokios neigiamos m reikšmės ($-1\le m\le 0$) tenkina visus y. Su neigiamom didelėm absoliučiu dydžiu (modulis didelis) y reikšmėm, m neigiamos reikšmės bus irgi didesnės absoliučiu dydžiu (nelygybė 2m>y bus teisinga, kai y<0). O neigiamos a reikšmės iš segmento [-1; 0] visada tenkins nelygybę 2a>y (kai y<0), bet m reikšmės iš šio segmento nepriklauso šiam atvejui ($p<1,m^2>1$).

Kiti sprendiniai galėtų būti gauti iš (4) lygties, kuri dabar atrodo taip:

[$x^2+x\alpha +{\alpha }^2+p=0.(4)$]

[$y^3-3y-2m=0.(6)$]

$y^2+y\alpha +{\alpha }^2-3=0(\text{kur}|\alpha |>2).(4.6)$

Jos diskriminantas

$D={\alpha }^2-4({\alpha }^2-3)=-3{\alpha }^2+12=3(4-{\alpha }^2)<0$

yra neigiamas ir (4.6) lygtis neturi sprendinių (su $\alpha =\sqrt[3]{m-\sqrt{m^2-1}}+\sqrt[3]{m+\sqrt{m^2-1}}$). Todėl (6) lygtis, atveju $p<0,m^2>1$ turi vienintelį sprendinį $\alpha$ ($\alpha =\sqrt[3]{m+\sqrt{m^2-1}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{m^2-1}}$).

Atvejis p<0, m*m=1 (du sprendiniai).

Jeigu $m^2=1,$ tada iš (7) lygties

[$(z^3-m{)}^2=m^2-1.(7)$]

turime $z^3=m.$

Kai m=1, tai z=1 ir

y = z + 1/z = 2.

(6) lygtis tranformuojasi į

$y^3-3y-2=0,$

kuri gali būti išskaidyta nepasinaudojant (4) lygtim:

$y^3-3y-2=0,(y-2)(y^2+2y+1)=0,(y-2)(y+1{)}^2=0.$

Taigi lygtis (6) (ir (3)) šiuo atveju turi du sprendinius ((6) lygties sprendiniai yra 2 ir -1, kai p<0, m*m=1). Grįžtame prie x.

$x=ky=\sqrt{-p/3}\cdot y.$

$x_1=k{y}_1=\sqrt{-p/3}\cdot 2=2\sqrt{-p/3};$

$x_2=k{y}_2=\sqrt{-p/3}\cdot (-1)=-\sqrt{-p/3}.$

Kai m=-1, tai z=-1 ir

y = z + 1/z = -1 + 1/(-1) = -2.

(6) lygtis tampa

$y^3-3y+2=0,(y+2)(y^2-2y+1)=0,(y+2)(y-1{)}^2=0.$

Ir taip pat turi du sprendinius (kaip ir (3)). Grįžtame prie x.

$x=ky=\sqrt{-p/3}\cdot y.$

$x_1=k{y}_1=\sqrt{-p/3}\cdot (-2)=-2\sqrt{-p/3};$

$x_2=k{y}_2=\sqrt{-p/3}\cdot 1=\sqrt{-p/3}.$

p<0.

$x_1$ ir $x_2$ yra (3) lygties sprendiniai.

• Pavyzdys. Čia [ https://lt.wikibooks.org/wiki/Diskriminantas#Kubinės_lygties_sprendimas_Kordano_metodu ] duotas lygties

$x^3-12x+16=0$

pavyzdys, kurios p=-12<0.

Tada

$x_1=-2\sqrt{-p/3}=-2\sqrt{-(-12)/3}=-2\sqrt{12/3}=-2\sqrt{4}=-2\cdot 2=-4;$

$x_2=\sqrt{-p/3}=\sqrt{-(-12)/3}=\sqrt{12/3}=\sqrt{4}=2.$

Šie sprendiniai yra tokie patys kaip ir pateiktoje nuorodoje.

Patikriname:

$x_1^3-12x_1+16=0,$

$(-4{)}^3-12\cdot (-4)+16=0,$

$-64+48+16=0;$

$x_2^3-12x_2+16=0,$

$2^3-12\cdot 2+16=0,$

$8-24+16=0.$

Vadinasi sprendiniai teisingi.

$m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}=-\frac{3\sqrt{3}\cdot 16}{2\cdot (-12)\sqrt{-(-12)}}=-\frac{3\sqrt{3}\cdot 16}{-24\sqrt{12}}=-\frac{3\sqrt{3}\cdot 16}{-24\sqrt{3\cdot 4}}=$

$=-\frac{3\cdot 16}{-24\sqrt{4}}=-\frac{3\cdot 16}{-3\cdot 8\sqrt{4}}=-\frac{16}{-8\sqrt{4}}=-\frac{16}{-16}=1.$

Kažkodėl šitame pavyzdyje m=1, bet $x_1$ ir $x_2$ paimti iš atvejo, kai m=-1.

[$y^3+py/k^2+q/k^3=0$

pasirenkame k, kad $p/k^2=-3,$

$-p/3=k^2,$

$k=\sqrt{-p/3}.$

Pošaknyje yra teigiamas skaičius, nes p<0.

$q/k^3=q/(\sqrt{-p/3}{)}^3=\frac{q}{\sqrt{-p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{p\sqrt{-p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{-p}};$

$\frac{3\sqrt{3}q}{p\sqrt{-p}}=q/k^3=-2m;$

$m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}.$]

Gali būti, kad gavome m=1, o ne m=-1, nes

$q/k^3=q/(\sqrt{-p/3}{)}^3=\frac{q}{\sqrt{-p^3/(3\cdot 9)}}=\frac{3q}{\sqrt{-p^2\cdot p/3}}=\frac{3\sqrt{3}q}{\sqrt{p^2}\sqrt{-p}};$

tada

$\frac{3\sqrt{3}q}{\sqrt{p^2}\sqrt{-p}}=q/k^3=-2m;$

$m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2\sqrt{p^2}\sqrt{-p}}=$

$=-\frac{3\sqrt{3}\cdot 16}{2\sqrt{(-12{)}^2}\sqrt{-(-12)}}=$

$=-\frac{3\sqrt{3}\cdot 16}{2\sqrt{144}\sqrt{12}}=$

$=-\frac{3\sqrt{3}\cdot 16}{2\cdot 12\sqrt{3\cdot 4}}=$

$=-\frac{3\cdot 16}{2\cdot 12\sqrt{4}}=$

$=-\frac{3\cdot 16}{2\cdot 12\cdot 2}=$

$=-\frac{3\cdot 16}{4\cdot 3\cdot 4}=-1.$

Dabar ir gavome $m=-1.$

Atvejis p<0, m*m<1 (trys sprendiniai).

Jeigu $m^2<1,$ tai lygtis (7) neturi sprendinių ir keitinys $y=z+1/z$ neras sprendinius. Bet čia padeda trigonometrija: pakeitimas $y=2z$ pakeičia (6) lygtį į tokią:

[$y^3-3y-2m=0.(6)$]

$(2z{)}^3-3\cdot 2z-2m=0,$

$8z^3-6z-2m=0,$

$4z^3-3z-m=0.$

Darome keitinį $z=\cos \phi :$

$4{\cos }^3\phi -3\cos \phi -m=0,\cos (3\phi )-m=0,\cos 3\phi =m.$

Ši lygtis turi sprendinius, kai |m|<1 (arba $m^2<1$). Kosinusas yra lyginė funkcija, todėl su neigiamom ir teigiamom $\phi$ reikšmėm gaunamas tas pats kosinuso rezultatas. Todėl

$\cos 3\phi =m,$

$\cos (\pm 3\phi )=m,$

$\pm 3\phi =\arccos m,$

$\pm (\pm 3\phi )=3\phi =\pm \arccos m,$

$3\phi =\pm \arccos m,$

$3\phi -2k\pi =\pm \arccos m,$

$3\phi =2k\pi \pm \arccos m,$

$\phi =\frac{2k\pi }{3}\pm \frac{1}{3}\arccos m;$

$z=\cos \phi =\cos (\frac{2}{3}k\pi \pm \frac{1}{3}\arccos m),$

$y=2z=2\cos \phi =2\cos (\frac{2}{3}k\pi \pm \frac{1}{3}\arccos m),$

k - sveikasis skaičius.

Remdamiesi redukcijos formulėmis, suprantame, kad su daugiau nei trim skaičiaus k reikšmėm z reikšmės kartosis, nes kubinė lygtis negali turėti daugiau nei trys sprendinius. Todėl pasirenkame $k=0,1,2.$ Tada

$y_1=2z_1=2\cos (\frac{1}{3}\arccos m),$

$y_2=2z_2=2\cos (\frac{2}{3}\pi \pm \frac{1}{3}\arccos m),$

$y_3=2z_3=2\cos (\frac{4}{3}\pi \pm \frac{1}{3}\arccos m).$

Grįžtame prie x.

$x=ky=\sqrt{-p/3}y;$

$x_1=y_1\sqrt{-p/3}=2\sqrt{-p/3}\cos (\frac{1}{3}\arccos m),$

$x_2=y_2\sqrt{-p/3}=2\sqrt{-p/3}\cos (\frac{2}{3}\pi \pm \frac{1}{3}\arccos m),$

$x_3=y_3\sqrt{-p/3}=2\sqrt{-p/3}\cos (\frac{4}{3}\pi \pm \frac{1}{3}\arccos m).$

Kubinė lygtis (3) yra išspręsta.

$m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}.$

• Pavyzdys. Čia [ https://lt.wikibooks.org/wiki/Diskriminantas#Kubinės_lygties_sprendimas_Kordano_metodu ] yra pavyzdys lygties

$x^3-19x+30=0,$

kurios $p=-19$, $q=30.$

Jos sprendiniai yra 2, 3 ir $-5.$

Apskaičiuosime juos pagal ką tik išvestas formules.

$m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}=-\frac{3\sqrt{3}\cdot 30}{2\cdot (-19)\sqrt{-(-19)}}=-\frac{90\sqrt{3}}{2\cdot (-19)\sqrt{19}}=-\frac{45\sqrt{3}}{(-19)\sqrt{19}}=$

= 45*3^0.5 /(19*19^0.5) = 0.9411150958093732309574814856304.

Arba kitas variantas:

$m=-\frac{3\sqrt{3}q}{2\sqrt{p^2}\sqrt{-p}}=-\frac{3\sqrt{3}\cdot 30}{2\sqrt{(-19{)}^2}\sqrt{-(-19)}}=-\frac{90\sqrt{3}}{2\sqrt{361}\sqrt{19}}=-\frac{45\sqrt{3}}{19\sqrt{19}}=$

= -45*3^0.5 /(19*19^0.5) = -0.9411150958093732309574814856304.

Tada

$\arccos m=\arccos (0.9411150958093732309574814856304)=$ 0.34488276150211935210875728756448.

Arba

$\arccos m=\arccos (-0.9411150958093732309574814856304)=$ 2.796709892087673886353886095715.

Apskaičiuosime $x_1.$

Su pirma m reikšme:

$x_1=2\sqrt{-p/3}\cos (\frac{1}{3}\arccos m)=2\sqrt{-(-19)/3}\cos (\frac{1}{3}\arccos (0.94111509580937323))=$

$=2\sqrt{19/3}\cos (\frac{1}{3}\cdot 0.3448827615021193521)=2\sqrt{19/3}\cos (0.11496092050070645)=$

= 2*(19/3)^0.5 * cos(0.11496092050070645) = 2*(19/3)^0.5 *0.99339926779878285489956379038765 = 5 (Windows 10 kalkuliatoriaus duoda tokią tikslią reikšmę "5", įstačius pajuodintą reikšmę).

Su antra m reikšme:

$x_1=2\sqrt{-p/3}\cos (\frac{1}{3}\arccos m)=2\sqrt{-(-19)/3}\cos (\frac{1}{3}\arccos (-0.94111509580937323))=$

$=2\sqrt{19/3}\cos (\frac{1}{3}\cdot 2.796709892087673886353886095715)=2\sqrt{19/3}\cos (0.93223663069589129545)=$

= 2*(19/3)^0.5 * cos(0.93223663069589129545) = 2*(19/3)^0.5 *0.59603956067926971293973827423259 = 3 (Windows 10 kalkuliatoriaus duoda tokią tikslią reikšmę "3", įstačius pajuodintą reikšmę).

Su pirma m reikšme, atsakymas 5 yra be minuso ženklo. O su antra m reikšme, atsakymas 3 yra duotos lygties sprendinys.

Toliau apskaičiuosime $x_2.$

Su pirma m reikšme:

$x_2=2\sqrt{-p/3}\cos (\frac{2}{3}\pi \pm \frac{1}{3}\arccos m)=2\sqrt{-(-19)/3}\cos (\frac{2}{3}\pi \pm \frac{1}{3}\arccos (0.3448827615021193521))=$

$=2\sqrt{19/3}\cos (\frac{2}{3}\pi \pm 0.11496092050070645)=$

= 2*(19/3)^0.5 * cos(2*pi/3 +0.11496092050070645070291909585483) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(2.0943951023931954923084289221863 +0.11496092050070645070291909585483) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(2.2093560228939019430113480180411) = 2*(19/3)^0.5 * (-0.59603956067926971293973827423256) =

= -2.9999999999999999999999999999999.

O jeigu po pi paimsime ne pliuso, bet minuso ženklą, tai gausime:

= 2*(19/3)^0.5 * cos(2.0943951023931954923084289221863 -0.11496092050070645070291909585483) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(1.9794341818924890416055098263315) = 2*(19/3)^0.5 * (-0.39735970711951314195982551615502) =

= -1.9999999999999999999999999999998.

Čia kosinusas skaičiuojamas su reikšmėm didesnėm nei pi/2 =~ 1.57, todėl galimos kai kurios klaidos. Bendrai, negalimos klaidos, nes čia kosinusas, o ne arkkosinusas.

Su antra m reikšme:

$x_2=2\sqrt{-p/3}\cos (\frac{2}{3}\pi \pm \frac{1}{3}\arccos m)=2\sqrt{-(-19)/3}\cos (\frac{2}{3}\pi \pm \frac{1}{3}\arccos (-0.94111509580937323))=$

$=2\sqrt{19/3}\cos (\frac{2}{3}\pi \pm 0.932236630695891295451)=$

= 2*(19/3)^0.5 * cos(2*pi/3 +0.93223663069589129545129536523833) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(2.0943951023931954923084289221863 + 0.93223663069589129545129536523833) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(3.0266317330890867877597242874246) = 2*(19/3)^0.5 * (-0.99339926779878285489956379038764) =

= -5 (įstačius į Windows 10 kalkuliatorių pajuodintą tekstą).

O jeigu po pi paimsime ne pliuso, bet minuso ženklą, tai gausime:

= 2*(19/3)^0.5 * cos(2.0943951023931954923084289221863 - 0.93223663069589129545129536523833) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(1.162158471697304196857133556948) = 2*(19/3)^0.5 * 0.39735970711951314195982551615505 =

= 2 (įstačius į Windows 10 kalkuliatorių pajuodintą tekstą).

Su antra m reikšme iškart gavome du teisingus tos lygties sprendinius.

Toliau apskaičiuosime $x_3.$

Su pirma m reikšme:

$x_3=2\sqrt{-p/3}\cos (\frac{4}{3}\pi \pm \frac{1}{3}\arccos m)=2\sqrt{-(-19)/3}\cos (\frac{4}{3}\pi \pm \frac{1}{3}\arccos (0.3448827615021193521))=$

$=2\sqrt{19/3}\cos (\frac{4}{3}\pi \pm 0.11496092050070645)=$

= 2*(19/3)^0.5 * cos(4*pi/3 +0.11496092050070645070291909585483) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(4.1887902047863909846168578443727 +0.11496092050070645070291909585483) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(4.3037511252870974353197769402275) = 2*(19/3)^0.5 * (-0.39735970711951314195982551615506) =

= -2.

O jeigu po pi paimsime ne pliuso, bet minuso ženklą, tai gausime:

= 2*(19/3)^0.5 * cos(4.1887902047863909846168578443727 - 0.11496092050070645070291909585483) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(4.0738292842856845339139387485179) = 2*(19/3)^0.5 * (-0.59603956067926971293973827423257) =

= -2.9999999999999999999999999999999.

Su antra m reikšme:

$x_3=2\sqrt{-p/3}\cos (\frac{4}{3}\pi \pm \frac{1}{3}\arccos m)=2\sqrt{-(-19)/3}\cos (\frac{4}{3}\pi \pm \frac{1}{3}\arccos (-0.94111509580937323))=$

$=2\sqrt{19/3}\cos (\frac{4}{3}\pi \pm 0.932236630695891295451)=$

= 2*(19/3)^0.5 * cos(4*pi/3 +0.93223663069589129545129536523833) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(4.1887902047863909846168578443727 + 0.93223663069589129545129536523833) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(5.121026835482282280068153209611) = 2*(19/3)^0.5 * 0.39735970711951314195982551615505 =

= 2 (įstačius į Windows 10 kalkuliatorių pajuodintą tekstą).

O jeigu po pi paimsime ne pliuso, bet minuso ženklą, tai gausime:

= 2*(19/3)^0.5 * cos(4.1887902047863909846168578443727 - 0.93223663069589129545129536523833) =

= 2*(19/3)^0.5 * cos(3.2565535740904996891655624791344) = 2*(19/3)^0.5 * (-0.99339926779878285489956379038764) =

= -5 (įstačius į Windows 10 kalkuliatorių pajuodintą tekstą).

Su antra m reikšme iškart gavome du teisingus tos lygties sprendinius.

Su antra m reikšmę gavome visus teisingus lygties $x^3-19x+30=0$ sprendinius (2, 3. -5). O su pirma m reikšme gavome sprendinius su priešingais ženklais (-2, -3, 5; dėl to visi jie neteisingi).

Pavyzdys.

Imkim konkrečią lygtį formoje (3):

$x^3-3x-4=0.(8)$

Bus spręsta iš naujo be teorijos (teorijos gimsta iš konkrečių pavyzdžių sakoma toje nuorodoje). Reikia galvoti apie formulę tipo $x^3-3x.$ Tada ateina į mintis formulė

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$

ir dalinis atvejis

$(a\pm 1/a)=a^3\pm 1/a^3\pm 3(a\pm 1/a).$

Paskutinė formulė sako, kad (8) lygtyje verta panaudoti keitinį $x=y+1/y.$ Tada lygtis pavirtsta į

$(y+1/y{)}^3-3(y+1/y)-4=0,$

$y^3+1/y^3+3(y+1/y)-3(y+1/y)-4=0,$

$y^3+1/y^3-4=0.$

Tai yra kvadratinė lygtis $y^3$ atžvilgiu ($y^6+1-4y^3=0$), todėl ją galima išspręsti (galima net nenaudoti kvadratinės lygties sprendimo formulės):

$y^6-4y^3+1=0,$

$(y^3-2{)}^2-3=0,$

$(y^3-2{)}^2=3,$

$y^3-2=\pm \sqrt{3},$

$y^3=2\pm \sqrt{3},$

$y=\sqrt[2]{2\pm \sqrt{3}}.$

Iš skyrelio Atvejis p<0, m*m>1 (unikalus sprendinys). panaudojus formulę

$y=z+1/z=\sqrt[3]{m+\sqrt{m^2-1}}+\sqrt[3]{m-\sqrt{m^2-1}};$

$x=y+1/y=\sqrt[3]{2+\sqrt{2^2-1}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{2^2-1}}=\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}$

(abu sprendiniai vienodi su skirtingais y).

Vis tiek reikia įsitikinti, kad nėra kitų sprendinių (su x reikšme $x=y+1/y$ negalima rasti sprendinius intervale (-2; 2), nes iš to, kad y visada teigiamas, $|y+1/y|=|y|+1/|y|={(\sqrt{|y|}-\sqrt{1/|y|})}^2+2\ge 2$).

(8) lygtis gali būti išskaidyta padalinus iš tiesinio polinomo $x-(\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}),$ bet tai būtų sunkus darbas. Lengviau pasinaudoti (4) formule, kuri tampa tokia:

[$x^2+x\alpha +{\alpha }^2+p=0.(4)$]

$x^2+x\alpha +{\alpha }^2-3=0,$

kur $\alpha =\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}.$

Šios lygties diskriminantas

$d={\alpha }^2-4({\alpha }^2-3)=-3{\alpha }^2+12$

yra neigiamas, nes

${\alpha }^2=(y+1/y{)}^2=(y-1/y{)}^2+4>4.$

Todėl (8) lygtis turi vienintelį sprendinį ($x=\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}$).

$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}=$

= (2 + 3^0.5)^(1/3) + (2 - 3^0.5)^(1/3) = 2.1958233454456471528327992055497.

2.1958233454456471528327992055497^3 - 3*2.1958233454456471528327992055497 - 4 = -1.1291287212984656298036039312783e-31 =

$\approx -1.1291287212984656298036039312783\cdot 10^{-31}\approx 0.$

Kardano formulė

Dabar aišku, kad nagrinėtus atvejus galima taiktyti lygčiai (3).

Atvejis 1: $\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}>0.$

Taikomas keitinys

$x=\sqrt[3]{y}-p/(3\sqrt[3]{y}).$

Surasti y, tada grįžti prie x:

$x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}}.$

Tada

$x^3+px+q=0.(3)$

${(\sqrt[3]{y}-p/(3\sqrt[3]{y}))}^3+p(\sqrt[3]{y}-p/(3\sqrt[3]{y}))+q=0,$

$y-3\sqrt[3]{y^2}\cdot p/(3\sqrt[3]{y})+3\sqrt[3]{y}\cdot p^2/(9\sqrt[3]{y^2})-p^3/(27y)+p(\sqrt[3]{y}-p/(3\sqrt[3]{y}))+q=0,$

$y-\sqrt[3]{y}\cdot p+p^2/(3\sqrt[3]{y})-p^3/(27y)+p(\sqrt[3]{y}-p/(3\sqrt[3]{y}))+q=0,$

$y-\sqrt[3]{y}p+p^2/(3\sqrt[3]{y})-p^3/(27y)+p\sqrt[3]{y}-p^2/(3\sqrt[3]{y})+q=0,$

$y-p^3/(27y)+q=0,$

$y^2-p^3/27+qy=0,$

$y^2+qy-p^3/27=0;$

$D=q^2-4(-p^3/27);$

$y_1=\frac{-q+\sqrt{q^2-4(-p^3/27)}}{2}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+p^3/27},$

$y_2=\frac{-q-\sqrt{q^2-4(-p^3/27)}}{2}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}.$

$x=\sqrt[3]{y}-p/(3\sqrt[3]{y}),$

$x_1=\sqrt[3]{y_1}-p/(3\sqrt[3]{y_1})=$

$=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-p/(3\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}})=$

$=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{p}{3\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}=$

$=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{p\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}{3\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\cdot \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}=$

$=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{p\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}{3\sqrt[3]{(-\frac{q}{2}{)}^2-(\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}{)}^2}}=$

$=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{p\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}{3\sqrt[3]{\frac{q^2}{4}-(\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27})}}=$

$=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{p\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}{3\sqrt[3]{-\frac{p^3}{27}}}=$

$=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{p\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}{3(-\frac{p}{3})}=$

$=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{p\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}{-p}=$

$=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}.$

Nesunku matyti, kad įstačius $y_2$ į $\sqrt[3]{y}-p/(3\sqrt[3]{y})$ bus gautas toks pats atsakymas.

Atvejis 2: $\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}=0.$

Kardano formulė duoda sprendinį

$\alpha =\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}}=$

$=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}=2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}=\sqrt[3]{-\frac{8q}{2}}=-\sqrt[3]{4q}.$

Tada (4) lygtis duoda sprendinį

[$x^2+x\alpha +{\alpha }^2+p=0.(4)$]

$x^2+x\alpha +{\alpha }^2+p=x^2-\sqrt[3]{4q}x+\sqrt[3]{16q^2}+p;$

$D=\sqrt[3]{16q^2}-4(\sqrt[3]{16q^2}+p)=-3\sqrt[3]{16q^2}-4p;$

$x_1=\frac{-(-\sqrt[3]{4q})+\sqrt{-3\sqrt[3]{16q^2}-4p}}{2}=\sqrt[3]{4q/8}+\sqrt{(-3\sqrt[3]{16q^2}-4p)/4}=$

$=\sqrt[3]{q/2}+\sqrt{-3\sqrt[3]{16q^2/64}-p}=\sqrt[3]{q/2}+\sqrt{-3\sqrt[3]{q^2/4}-p}=$

Čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Kubinė_lygtis pagal (22) formulę

$\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}=\frac{3q}{2p}.(22)$

$2p=\frac{3q}{\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}},$

$2p=-3\sqrt[3]{q^2/2},$

$p=-3\sqrt[3]{q^2/(2\cdot 8)}=-3\sqrt[3]{q^2/16}.$

Tada

$x_1=\sqrt[3]{q/2}+\sqrt{-3\sqrt[3]{q^2/4}-p}=\sqrt[3]{q/2}+\sqrt{-3\sqrt[3]{q^2/4}+3\sqrt[3]{q^2/16}}=$

$=\sqrt[3]{q/2}+\sqrt{-3\sqrt[3]{q^2/4}+\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\sqrt[3]{q^2/4}}=\sqrt[3]{q/2}+\sqrt{\frac{-\sqrt[3]{4}\cdot 3\sqrt[3]{q^2/4}+3\sqrt[3]{q^2/4}}{\sqrt[3]{4}}}=$

$=\sqrt[3]{q/2}+\sqrt{\frac{(-\sqrt[3]{4}+1)3\sqrt[3]{q^2/4}}{\sqrt[3]{4}}}=\sqrt[3]{q/2}+\sqrt{\frac{3(-\sqrt[3]{4}+1)\sqrt[3]{q^2}}{\sqrt[3]{16}}}=$

$=\sqrt[3]{q/2}+\frac{\sqrt{3(-\sqrt[3]{4}+1)\sqrt[3]{q^2}}}{\sqrt[3]{4}}=\sqrt[3]{q/2}+\frac{\sqrt[3]{q}\sqrt{3(-\sqrt[3]{4}+1)}}{\sqrt[3]{4}}=$

$=\sqrt[3]{q/2}+\frac{\sqrt[3]{q}\sqrt{3(-\sqrt[3]{4}+1)}}{\sqrt[3]{4}}=$

Kvadratinėje šaknyje neigiamas skaičius ($3(-\sqrt[3]{4}+1)$), todėl toliau skaičiuot beprasmiška.

Kai q=0 (tai tada ir p=0) ir tada sprendinys yra x=0. Kai $q\ne 0,$ gaunami du sprendiniai, tik ne šituo budu.

• $x^3-3x+2=0.$

Šios lygties sprendiniai yra -2 ir 1.

$x_1=\frac{-(-\sqrt[3]{4q})+\sqrt{-3\sqrt[3]{16q^2}-4p}}{2}=\frac{\sqrt[3]{4q}+\sqrt{-3\sqrt[3]{16q^2}-4p}}{2}=$

$=\frac{\sqrt[3]{4\cdot 2}+\sqrt{-3\sqrt[3]{16\cdot (-3{)}^2}-4\cdot (-3)}}{2}=$

$=\frac{\sqrt[3]{8}+\sqrt{-3\sqrt[3]{16\cdot 9}+12}}{2}=$

$=\frac{2+\sqrt{-3\sqrt[3]{144}+12}}{2}=$

= 1 + 0.5* (-3 * 144^(1/3) +12)^0.5 = 1 + 0.5* (-3 * 5.241482788417793214283322560884 +12)^0.5 = Invalid input, nes skliaustuose neigiamas skaičius.

$x_2=\frac{-(-\sqrt[3]{4q})-\sqrt{-3\sqrt[3]{16q^2}-4p}}{2}=\sqrt[3]{4q/8}-\sqrt{(-3\sqrt[3]{16q^2}-4p)/4}=$

= 1 - 0.5* (-3 * 144^(1/3) +12)^0.5 = 1 - 0.5* (-3 * 5.241482788417793214283322560884 +12)^0.5 = Invalid input, nes skliaustuose neigiamas skaičius.

$x_3=\alpha =-\sqrt[3]{4q}=-\sqrt[3]{4\cdot 2}=-2.$

Atvejis 3: $\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}<0.$

Suprantama, p<0. Taikant keitį $x=\sqrt{4|p|/3}\cos \varphi ,$ gaunasi lygtis

$4{\cos }^3\varphi -3\cos \varphi =q\sqrt{27}/(2p\sqrt{|p|}),$

$\cos 3\varphi =q\sqrt{27}/(2p\sqrt{|p|}).(A)$

Kadangi

$(q\sqrt{27}{)}^2<(2p\sqrt{|p|}{)}^2,$

$27q^2<-4p^3,$

tai (A) lygties dešinėje pusėje modulio reikšmė mažesnė už 1. Radus $\phi ,$ randami 3 sprendiniai lygties (3):

${\alpha }_1=x=\sqrt{4|p|/3}\cos (\frac{1}{3}\arccos (3q\sqrt{3}/2p\sqrt{|p|}),$

${\alpha }_2=\sqrt{4|p|/3}\cos (\frac{2}{3}\pi +\frac{1}{3}\arccos (3q\sqrt{3}/2p\sqrt{|p|}),$

${\alpha }_3=\sqrt{4|p|/3}\cos (\frac{4}{3}\pi +\frac{1}{3}\arccos (3q\sqrt{3}/2p\sqrt{|p|}).$

Juos surasti galima taip:

$x=ky,$

$k=\sqrt{-p/3},$

$y=2z,$

$x=2kz=2\sqrt{-p/3}z.$

$x^3+px+q=0,$

$x^3+px+q=8\sqrt{(-p/3{)}^3}{z}^3+p\cdot 2\sqrt{-p/3}z+q=\frac{-8p}{3}\sqrt{-p/3}{z}^3+2p\sqrt{-p/3}z+q=0,$

$-\frac{4p}{3}\sqrt{-p/3}{z}^3+p\sqrt{-p/3}z=-q/2,$

$-4\sqrt{-p/3}{z}^3+3\sqrt{-p/3}z=\frac{-3q}{2p},$

$-4z^3+3z=\frac{-3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}},$

$4z^3-3z=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}.$

Tolesnis skaičiavimas vyksta taip:

$z=\cos \phi ,$

$x=2\sqrt{-p/3}z=2\sqrt{-p/3}\cos \phi .$

p<0, todėl

$x=2\sqrt{|p|/3}z=2\sqrt{|p|/3}\cos \phi .$

$4z^3-3z=\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}},$

$4{\cos }^3\phi -3\cos \phi =\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}},$

$\cos 3\phi =\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}};$

$3\phi =\arccos (\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}),$

$\phi =\frac{1}{3}\arccos (\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}}).$

Ir p<0.

$y=2z=2\cos \phi ,$

$x=2kz=2\sqrt{-p/3}z=2\sqrt{-p/3}\cos \phi =2\sqrt{-p/3}\cos (\frac{1}{3}\arccos (\frac{3\sqrt{3}q}{2p\sqrt{-p}})).$

Ketvirto laipsnio lygtis

Bendra ketvirto laipsnio lygtis yra

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0(a\ne 0).$

Ji gali buti padalinta iš a, todėl užtenka nagrinėti lygtį

$x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0.$

Po pakeitimo x=y-a/4, eliminuojamas narys trečio laipsnio. Todėl užtenka mokėti spręsti lygtį

$x^4+b{x}^2+cx+d=0.(9)$

Jeigu ketvirto laipsnio lygtis turi racionalius sprendinius (arba bent vieną racionalų sprendinį $\alpha$), ją lengva išspręsti: kairioji pusė gali būti išskaidyta vėl, atskirus $x-\alpha$ ir belieka išspręst kūbinę lygtį. Bus nagrinėjama lygtis (9), kai ji neturi racionaliųjų sprendinių, nes taip sunkiau.

Jeigu c=0, lygtis (9) yra bikvadratinė, ir pasirinkus naują kintamąjį $x^2=y,$ ji tampa kvadratine. Beje, lengva išskaidyti bikvadratinį trinarį $x^4+b{x}^2+d.$ Jeigu diskriminantas $b^2/4-d\ge 0,$ tada

$x^4+b{x}^2+d=(x^2+b/2{)}^2-(b^2/4-d)=$

$=(x^2+b/2+\sqrt{b^2/4-d})(x^2+b/2-\sqrt{b^2/4-d}).$

Jeigu $b^2/4-d<0,$ tada $d>b^2/4$ (d teigiamas), $\sqrt{d}>b/2,2\sqrt{d}-b/2>0,$ ir

$x^4+b{x}^2+d=(x^2+\sqrt{d}{)}^2-x^2(2\sqrt{d}-b/2)=(x^2+\sqrt{d}+x\sqrt{2\sqrt{d}-b/2})(x^2+\sqrt{d}-x\sqrt{2\sqrt{d}-b/2}).$

Jeigu $c\ne 0,$ tai kairę pusę (9) lygties visada įmanoma užrašyti kaip kvadratų skirtumą:

$(x^2+m{)}^2-p(x+n{)}^2=0(p>0).(9.1)$

$(x^2+m{)}^2-p(x+n{)}^2=x^4+2m{x}^2+m^2-p(x^2+2xn+n^2)=$

$=x^4+2m{x}^2+m^2-p{x}^2-2xpn-p{n}^2=x^4+(2m-p)x^2-2xpn+m^2-p{n}^2.$

Kairioji pusė (9.1) lygties gali būti išskaidyta į du kvadratinius trinarius,

$(x^2+m{)}^2-p(x+n{)}^2=(x^2+m+\sqrt{p}(x+n))(x^2+m-\sqrt{p}(x+n))=$

$=(x^2+\sqrt{p}x+m+\sqrt{p}n))(x^2-\sqrt{p}x+m-\sqrt{p}n)),$

ir išsprendžiamos dvi kvadratinės lygtys.

Bus nustatyta kaip randamos m, p, n reikšmės. Lygtyje

$(x^2+m{)}^2-p(x+n{)}^2=x^4+b{x}^2+cx+d(9.5)$

nuėmus skliaustus ir palyginus koeficientus prie $x^2,x^1,x^0,$ gaunama lygčių sistema m, p, n reikšmėms rasti.

$x^4+2m{x}^2+m^2-p(x^2+2xn+n^2)=x^4+b{x}^2+cx+d,$

$x^4+2m{x}^2+m^2-p{x}^2-2xpn-p{n}^2=x^4+b{x}^2+cx+d,$

$x^4+(2m-p)x^2-2xpn+m^2-p{n}^2=x^4+b{x}^2+cx+d;$

$(2m-p)x^2=b{x}^2,$

$2m-p=b,$

$-2pn=c,$

$m^2-p{n}^2=d;$

$2m-p=b,-2pn=c,m^2-p{n}^2=d.(10)$

Kadangi $c\ne 0,$ iš antros (10) lygties $p\ne 0$ ir tada $n=-c/(2p).$ Iš pirmos (10) lygties $m=(b+p)/2.$ Po įstatymo į trečią lygtį n ir m reikšmes, trečia lygtis tampa

$m^2-p{n}^2=(b+p{)}^2/4-p(-c/(2p){)}^2=(b+p{)}^2/4-p{c}^2/(4p^2)=(b+p{)}^2/4-c^2/(4p)=d.$

Po padauginimo iš 4p, gaunama kubinė lygtis:

$(b+p{)}^2/4-c^2/(4p)=d,$

$p(b+p{)}^2-c^2=4dp,$

$p(b^2+2pb+p^2)-c^2-4dp=0,$

$p{b}^2+2p^{2}b+p^3-c^2-4dp=0,$

$p^3+2p^{2}b-4dp+p{b}^2-c^2=0.$

$f(p)=p^3+2p^{2}b-4dp+p{b}^2-c^2.$

Ši lygtis turi teigiamą sprendinį (tai yra raktas ketvirto laipsnio lygties sprendimui). Tikrai, funkcija f(p), kai p=0, yra lygi $f(0)=-c^2,$ t. y. neigiama (kai $c\ne 0$), ir su pakankamai didele p reikšme f(p) funkcija yra teigiama (nes funkcijos ženklą su didelėm p reikšmėm apsprendžia narys $p^3$). Todėl funkcijos f(p) grafikas kerta p (arba x) ašį iš intervalo (0; $\mathrm{\infty }$), nes f(0)=-c*c<0, o f($\mathrm{\infty }$)>0.

Kadangi galima išspręsti kūbinę lygtį (nuo p), galima surasti teigiamą sprendinį $p_0$, gaunant sprendinį (10) lygties

$(m,p,n)=(b/2+p_0/2,p_0,-\frac{1}{2}c/p_0).$

Lygtyje-lygybėje (9.5) ikso reikšmės turi būti tokios, kad $(x^2+m{)}^2=0$ ir $p(x+n{)}^2=0.$ Tada su šia ar šiom x reikšmėm ir $x^4+b{x}^2+cx+d=0.$ Tai vienas variantas. Kito būdo rodos nėra. Todėl galimas variantas, kad randami ne visi ketvirto laipsnio lygties (9) sprendiniai.

Nes lygtyje

$(x^2+m{)}^2-p(x+n{)}^2=x^4+b{x}^2+cx+d,(9.5)$

$(x^2+m{)}^2-p(x+n{)}^2$ gali būti daugiau už 0 su tam tikrom x reikšmėm ir gali būti mažiau už nulį su kitom x reikšmėm. Ir su kai kuriom x reikšmėm reiškinys $(x^2+m{)}^2-p(x+n{)}^2$ gali būti lygus nuliui, nors nei $(x^2+m{)}^2$, nei $p(x+n{)}^2$ neprivalo būti lygūs nuliui.

Ketvirto laipsnio lygtis gali turėti nuo 1 iki 4 sprendinių arba nei vieno sprendinio (pavyzdžiui, lygtis $x^4+1=0$ neturi [realių] sprendinių).

Išspręsti penkto laipsnio lygtį bendru atveju yra neįmanoma (many try, but now all lieing dead).

Tačiau, svarbiausias teiginys pagrindinės algebros teoremos išlieka teisingas: kiekvienas n-to laipsnio polinomas išskaidomas į tiesinius ir kvadratinius daugiklius.

Papildymas. Jeigu $(x^2+m{)}^2-p(x+n{)}^2=0,$ tai

$(x^2+m{)}^2=p(x+n{)}^2,$

$x^2+m=\sqrt{p}(x+n),$

$x^2+m=\sqrt{p}x+\sqrt{p}n,$

$x^2-\sqrt{p}x+m-\sqrt{p}n=0.$

Išsprendus šią kvadratinę lygtį bus rastos dvi lygties (9) šaknys.

Be to, dėmuo $(x^2+m{)}^2$ visada yra teigiamas skačius su visom x reikšmėm, o dėmuo $p(x+n{)}^2$ su neigiamom x reikšmėm yra mažesnis teigiamas skaičius (jei n yra teigiamas skaičius), nei su teigiamom x reikšmėm (jei n yra teigiamas skaičius). Todėl gal taip ir prisideda ketvirtas sprendinys. Kai trečias sprendinys ateina iš sąlygos, kad $(x^2+m{)}^2=0$ ir $p(x+n{)}^2=0.$