Matematika/Matematinės eilutės

Tai yra sąrašas matematinių eilučių talpinančios formulę baigtinėms ir begalinėms sumoms. Tai gali būti naudota konjunkcijoje su kitais įrankiais evaluacinėms sumoms.

Galios sumos

• $\sum _{m=1}^{n}m=\frac{n(n+1)}{2}$

• $\sum _{m=1}^n{m}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}$

• $\sum _{m=1}^n{m}^3={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2=\frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4}={\left(\sum _{m=1}^{n}m\right)}^2$

• $\sum _{m=1}^n{m}^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}=\frac{6n^5+15n^4+10n^3-n}{30}$

• $\sum _{m=0}^n{m}^s=\frac{(n+1{)}^{s+1}}{s+1}+\sum _{k=1}^s\frac{B_k}{s-k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})(n+1{)}^{s-k+1}$

where $B_k$ is the $k$th Bernoulli number, and $B_1$ is negative.

• $\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$
• $\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$
• $\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^{2n}}=(-1{)}^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi {)}^{2n}}{2(2n)!}$

• $\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{m}^{-s}=\prod _{p\text{ prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}=\zeta (s)$

where $\zeta (s)$ is the Riemann zeta function.

Galios eilutės

begalinė suma (for $|x|<1$)
$\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^m=\frac{1}{1-x}$	$\sum _{m=0}^n{x}^m=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=1+\frac{1}{r}(1-\frac{1}{(1+r{)}^n})$ where $r>0$ and $x=\frac{1}{1+r}.$
$\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^{2m}=\frac{1}{1-x^2}$
$\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}m{x}^m=\frac{x}{(1-x{)}^2}$	$\sum _{m=1}^{n}m{x}^m=x\frac{1-x^n}{(1-x{)}^2}-\frac{n{x}^{n+1}}{1-x}$
$\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{m}^2{x}^m=\frac{x(1+x)}{(1-x{)}^3}$	$\sum _{m=1}^n{m}^2{x}^m=\frac{x(1+x-(n+1{)}^2{x}^n+(2n^2+2n-1)x^{n+1}-n^2{x}^{n+2})}{(1-x{)}^3}$
$\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{m}^3{x}^m=\frac{x(1+4x+x^2)}{(1-x{)}^4}$
$\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{m}^4{x}^m=\frac{x(1+x)(1+10x+x^2)}{(1-x{)}^5}$
$\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{m}^k{x}^m={\mathrm{Li}}_{-k}(x),$ where Lis(x) is the polylogarithm of x.

• Įrodysime, kad

$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+...(|x|<1).$

Kaip yra žinoma,

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+...+x^n+...,kai|x|<1.$

Dabar vietoje x įstatome $-x^2$ ir gauname lygybę:

$\frac{1}{1-(-x^2)}=\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^{10}+...+(-1{)}^n{x}^{2n}+...,$

Teisginai kai $|-x^2|<1.$

Integruodami gauname:

$\arctan x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dx}{1+x^2}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+...+(-1{)}^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+...,$

Iš kur

$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+...+(-1{)}^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+...(|x|<1).$

Iš to galime įrodyti Leibnico formulę:

$\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots =\frac{\pi }{4}.$

Kadangi $\frac{\sin \frac{\pi }{4}}{\cos \frac{\pi }{4}}=1=\tan \frac{\pi }{4},$ tai $\arctan 1=\frac{\pi }{4}.$ Todėl:

$\arctan 1=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{1+x^2}=1-\frac{1^3}{3}+\frac{1^5}{5}-\frac{1^7}{7}+\frac{1^9}{9}-\frac{1^{11}}{11}+...+(-1{)}^{n+1}\frac{1^{2n-1}}{2n-1}+...=$

$=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots =\frac{\pi }{4}\approx 0.785398163.$

• Į eilutę

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+...+x^n+...,kai|x|<1,$

įstatome$-x$ vietoje x ir gauname:

$\frac{1}{1-(-x)}=\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+...+(-1{)}^n{x}^n+...,$

kai $|-x|<1,$ tada abi puses integruojame:

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{1+x}𝖽x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+...+(-1{)}^n{x}^n+...)𝖽x,$

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}+...+(-1{)}^n\frac{x^{n+1}}{n+1}+...,kai|x|<1,$

nes $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{1+x}𝖽x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{1+x}𝖽(1+x)=\ln (1+x){|}_0^x=\ln (1+x)-\ln (1+0)=\ln (1+x)-0=\ln (1+x).$

• Pasirenkame $x=0.3$ ir įstatome:

$\frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-0.3}=\frac{1}{0.7}=1.428571429.$

Prasumuojant gauname:

$1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+...+x^n=1+0.3+0.3^2+0.3^3+0.3^4+0.3^5+0.3^6+0.3^7+0.3^8+0.3^9+0.3^{10}=1.428568898.$

• Pasirenkame $x=-0.3$ ir įstatome:

$\frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-(-0.3)}=\frac{1}{1.3}=0.769230769.$

Prasumuojant gauname:

$1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+...+x^n=1-0.3+0.3^2-0.3^3+0.3^4-0.3^5+0.3^6-0.3^7+0.3^8-0.3^9+0.3^{10}=0.769232131.$

• Įrodymas, kad

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+...+x^n+...,kai|x|<1.$

$\begin{array}{cc}& \text{Tegu }s=1+x+x^2+x^3+\cdots .\\ & \text{Tada }x\cdot s=x+x^2+x^3+x^4+\cdots .\\ & \text{Tada }x\cdot s-s=x^{\mathrm{\infty }}-1=-1,\text{ nes}|x|<1,\text{ taigi }s(x-1)=-1,\text{ ir todel }s=\frac{-1}{x-1}=\frac{-1}{-(1-x)}=\frac{1}{1-x}.\end{array}$

Išraišką $x^{\mathrm{\infty }}-1$ galima apibūdinti tiksliau, vietoje $x^{\mathrm{\infty }},$ parašydami $x^n$, kur n koks nors labai didelis sveikasis skaičius, pavyzdžiui, $n=1000$. Pavyzdžiui, kai $x=0.9$, tai $0.9^{100}=0.000026561,$ o $0.9^{1000}=\frac{1.7478712}{10^{46}},$ kas beveik lygu nuliui. Todėl $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }0.9^n=0$ arba $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n=0,$ kai -1<x<1.

Paprasti denominatoriai

• $\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^m}{m}=\ln \left(\frac{1}{1-x}\right)\text{ for }|x|<1$

• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{2m+1}{x}^{2m+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots =\arctan (x)$

• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2m+1}}{2m+1}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)\text{ for }|x|<1$

Faktorialiniai denominatoriai

Daug geometrinių eilučių kurios kyla iš Tailoro theoremos turi koficientą turintį faktorialą.

• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^m}{m!}=e^x$
• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{m!}{x}^m=\frac{1}{e^x}$

• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}m\frac{x^m}{m!}=x{e}^x$ (c.f. mean of Poisson distribution)
• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{m}^2\frac{x^m}{m!}=(x+x^2)e^x$ (c.f. second moment of Poisson distribution)
• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{m}^3\frac{x^m}{m!}=(x+3x^2+x^3)e^x$
• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{m}^4\frac{x^m}{m!}=(x+7x^2+6x^3+x^4)e^x$
• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{m}^n\frac{x^m}{m!}=x\frac{d}{dx}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{m}^{n-1}\frac{x^m}{m!}$

• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{(2m+1)!}{x}^{2m+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots =\sin x$

• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m}{(2m)!}{x}^{2m}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots =\cos x$

• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}=\sinh x$

• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2m}}{(2m)!}=\cosh x$

Modifikuoti-faktorialo denominatoriai

• $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}=\arcsin x\text{ for }|x|<1$

• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m(2m)!}{4^m(m!{)}^2(2m+1)}{x}^{2m+1}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)\text{ for }|x|<1$

• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4m)!}{16^m\sqrt{2}(2m)!(2m+1)!}{x}^m=\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-x}}{x}}$

• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{4^m(m){!}^2}{(m+1)(2m+1)!}{x}^{2m}={\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)}^2$

• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\prod _{n=0}^{m-1}(4n^2+1)}{(2m)!}{x}^{2m}+\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{4^m\prod _{n=1}^m(\frac{1}{2}-n+n^2)}{(2m+1)!}{x}^{2m+1}=e^{\arcsin x}$

Binominės eilutės

Geometrinės eilutės:

• $(1+x{)}^{-1}=\{\begin{array}{cc}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(-x{)}^m& |x|<1\\ \sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}-(x{)}^{-m}& |x|>1\end{array}$

Binominė Teorema:

• $(a+x{)}^n=\{\begin{array}{cc}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})a^{n-m}{x}^m& |x|<|a|\\ \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})a^m{x}^{n-m}& |x|>|a|\end{array}$

• $(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{m})x^m\text{ for all }|x|<1\text{ and all complex }\alpha$

su apibendrintais binominiais koficientais

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})=\prod _{k=1}^n\frac{\alpha -k+1}{k}=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}$

Šaknis:

• $\sqrt{1+x}=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m(2m)!}{(1-2m)m{!}^2{4}^m}{x}^m\text{ for }|x|<1$

Maišyta, įvairu:

• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{m})x^m=\frac{1}{(1-x{)}^{n+1}}$
• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{m})x^m=\frac{1}{2x}(1-\sqrt{1-4x})$
• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{m})x^m=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}$
• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m+n}{m})x^m=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}{\left(\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\right)}^n$

Bernulio Skaičiai

• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_m}{m!}{x}^m=\frac{x}{e^x-1}$
• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-4{)}^m{B}_{2m}}{(2m)!}{x}^{2m}=x\cot x$
• $\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{m-1}{2}^{2m}(2^{2m}-1)B_{2m}}{(2m)!}{x}^{2m-1}=\tan x$
• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{m-1}(4^m-2)B_{2m}}{(2m)!}{x}^{2m}=\frac{x}{\sin x}$

Harmoniniai Skaičiai

• $\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{H}_m{x}^m=\frac{\log \frac{1}{1-x}}{1-x}$
• $\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_{2m-1}}{m}{x}^m=\frac{1}{2}{(\log \frac{1}{1-x})}^2$
• $\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{m-1}{H}_{2m}}{2m+1}{x}^{2m+1}=\frac{1}{2}\arctan x\log (1+x^2)$
• $\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sum _{n=0}^{2m}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}}{4m+2}{x}^{4m+2}=\frac{1}{4}\arctan x\log \frac{1+x}{1-x}$

Binominiai koeficientai

• $\sum _{m=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})=2^n$
• $\sum _{m=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})a^{(n-m)}{b}^m=(a+b{)}^n$
• $\sum _{m=0}^n(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})=0$
• $\sum _{m=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})$
• $\sum _{m=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+m}{m})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+n+1}{n})$
• $\sum _{m=0}^r(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{m})(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{n-m})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+s}{n})$

Trigonometrinės funkcijos

Sumos sinuso ir kosinuso iškyla Furje eilutėse.

• $\sum _{m=1}^n\sin \left(\frac{m\pi }{n}\right)=0$
• $\sum _{m=1}^n\cos \left(\frac{m\pi }{n}\right)=0$

Neklasifikuota

• $\sum _{m=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b}{m^2-b^2}=\frac{1}{2}{H}_{2b}$

• $\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{y}{m^2+y^2}=-\frac{1}{2y}+\frac{\pi }{2}\coth (\pi y)$

Integralinės eilutės

• $\frac{x^{n+1}}{n+1}\approx 1^n+2^n+3^n+4^n+5^n+...+x^n,$ kai x artėja į begalybę.
• $\frac{(ax{)}^{n+1}}{n+1}=a((1a{)}^n+(2a{)}^n+(3a{)}^n+(4a{)}^n+(5a{)}^n+...+(xa{)}^n),$ kur a mažesnis už 1, ne neigiamas skaičius; kai x artėja į begalybę arba x tiesiog didelė reikšmė (o a tada artėja prie 0). Jei pavyzdžiui norima rasti plotą po šaka $y=x^7$ (n=7, kai x yra nuo 0 iki 10 ant Ox ašies), tai a reikia parinkti a=1/1000, o x reikia parinkti x=10000, ir sudėti 10000 skaičių padaugintų iš a:

$\frac{(0.001\cdot 10000{)}^{7+1}}{7+1}=0.001((1\cdot 0.001{)}^7+(2\cdot 0.001{)}^7+(3\cdot 0.001{)}^7+(4\cdot 0.001{)}^7+(5\cdot 0.001{)}^7+...+(10000\cdot 0.001{)}^7),$

$\frac{10^8}{8}=0.001((1\cdot 0.001{)}^7+(2\cdot 0.001{)}^7+(3\cdot 0.001{)}^7+(4\cdot 0.001{)}^7+(5\cdot 0.001{)}^7+...+(9999\cdot 0.001{)}^7+10^7).$

Nuorodos

• http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series
• https://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)
• https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_mathematical_series