Matematika/Paprasčiausios algebrinės lygtys

Čia aprašomos paprasčiausios algebrinės lygtys ir jų sprendimai. Aiškinama sunkėjimo tvarka.

Naudosime tokį žymėjimą: x, x₁, x₂ ir t.t. žymės nežinomuosius, o a, b, c, d ir t.t. – konkrečius duotus skaičius.

Pagrindinė algebros teorema

$n$-tojo laipsnio polinomas (taigi, ir lygtis) turi lygiai n kompleksinių šaknų (sprendinių).

Tiesinė lygtis

Bendra forma:

$a\cdot x=b$

Sprendinys:

$x=\frac{b}{a}$

Bendra forma:

$a{x}^2=b$

Sprendimas:

$\begin{array}{cc}{x}^2& =\frac{b}{a}\\ x_{1,2}& =\pm \sqrt{\frac{a}{b}}\end{array}$

Vijeto teorema

Vijeto formulės kvadratiniam polinomui $p(X)=a{x}^2+bx+c$ ir jo šaknims $x_1,x_2$ kvadratinėje lygtyje $p(x)=0$ yra

$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

/lm; Pavyzdžiui, jei turime kvadratinę lygtį

$x^2-x-6=0,$

ją išspręsti galime pasinaudoję Vijeto teorema ir sudarę lygčių sistemą

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-\frac{-1}{1}\\ x_1\cdot x_2=\frac{-6}{1}\end{array}$

Jei šią sistemą bandytume spręsti formaliai (pvz., išsireikšdami vieną iš kintamųjų), vėl gautume tą pačią lygtį. Praktikoje, naudojant Vijeto teoremą lygčių sprendimui, sprendinius x₁ ir x₂ bandoma „atspėti“ - sugalvoti tokius x₁ ir x₂, kad jie tenkintų lygčių sistemą. Šiuo atveju sprendiniai yra -2 ir 3.

Vijeto formulės kubiniam polinomui $p(X)=a{X}^3+b{X}^2+cX+d$ ir jo šaknims $x_1,x_2,x_3$ lygtyje $p(X)=0$ yra

$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a},x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{c}{a},x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}$

Pilnoji kvadratinė lygtis

Bendra forma:

$a{x}^2+bx+c=0$

Sprendimas:

randame pagalbinį skaičių – diskriminantą D:

$D=b^2-4ac$

Tada jei $D<0$, tai realiųjų skaičių aibėje sprendinių nėra. Priešingu atveju realiuosius sprendinius rasime taip:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

• Pavyzdžiui, reikia surasti kuriuose taškuose kertasi parabolė su Ox ašimi.

$3x^2+8x+4=0,$

$D=b^2-4ac=8^2-4\cdot 3\cdot 4=64-48=16,$

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-8\pm \sqrt{16}}{2\cdot 3}=\frac{-8\pm 4}{6}=-\frac{2}{3};-2.$

Patikriname:

$3\cdot (-\frac{2}{3}{)}^2+8\cdot (-\frac{2}{3})+4=3\cdot \frac{4}{9}-\frac{16}{3}+4=\frac{4}{3}-\frac{16}{3}+4=\frac{4-16}{3}+4=\frac{-12}{3}+4=-4+4=0;$

$3\cdot (-2{)}^2+8\cdot (-2)+4=3\cdot 4-16+4=12-16+4=0.$

$c=0$

Bendra forma:

$a{x}^2+bx=0$

Sprendimas:

iškeliame x prieš skliaustus:

$x(ax+b)=0$

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

$\begin{array}{cc}x=0\mathrm{arba}ax& =-b\\ x& =-\frac{b}{a}\end{array}$

Kvadratinė lygtis, kurios $a=1$

Duota kvadratinė lygtis:

$x^2+bx+c=0,$

kurią perrašome taip:

${(x+\frac{b}{2})}^2+(c-\frac{b^2}{4})=0.$

Čia ${(x+\frac{b}{2})}^2=x^2+bx+\frac{b^2}{4}.$

Todėl:

${(x+\frac{b}{2})}^2=-(c-\frac{b^2}{4}),$

${(x+\frac{b}{2})}^2=\frac{b^2}{4}-c,$

$x+\frac{b}{2}=\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-c},$

$x=-\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-c},$

$x=-\frac{b}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}\cdot (b^2-4c)},$

$x=-\frac{b}{2}\pm \frac{1}{2}\cdot \sqrt{b^2-4c},$

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4c}}{2}.$

$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4c}}{2};x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4c}}{2}.$

Kvadratinė lygtis, kurios a yra bet koks

Duota kvadratinė lygtis:

$a{x}^2+bx+c=0,$

$x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\frac{c}{a}=0,$

kurią perrašome taip:

${(x+\frac{b}{2\cdot a})}^2+(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4\cdot a^2})=0.$

Čia ${(x+\frac{b}{2\cdot a})}^2=x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\frac{b^2}{4\cdot a^2}.$

Todėl:

${(x+\frac{b}{2a})}^2=-(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}),$

${(x+\frac{b}{2a})}^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a},$

$x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}},$

$x=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}},$

$x=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{1}{4a^2}\cdot (b^2-4ac)},$

$x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{1}{2a}\cdot \sqrt{b^2-4ac},$

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Bikvadratinė lygtis

Bendra forma:

$a{x}^4+b{x}^2+c=0$

Sprendimas:

pažymime $x^2=y$, tada $x^4=y^2$.

$a{y}^2+by+c=0$,

o tai pilnoji kvadratinė lygtis, kuri jau išspręsta anksčiau. Jos sprendiniai yra $y_1$ ir $y_2$.

Grįžtame prie pažymėjimo:

$y_1=x^2\mathrm{ir}{y}_2=x^2$,

o tai kvadratinės lygtys, kurios jau išspręstos anksčiau. Iš jų rasime sprendinius $x_1,x_2,x_3,x_4$.

Kubinė lygtis, kurios $d=0$

Bendra forma:

Sprendimas:

iškeliame x prieš skliaustus:

$x(a{x}^2+bx+c)=0$

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

$x=0\mathrm{arba}a{x}^2+bx+c=0$

Išsprendę kvadratinę lygtį, būsime radę visus tris lygties sprendinius $x_1,x_2,x_3$.

Pilnoji kubinė lygtis

Bendra forma:

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

Sprendimas:

Lygtį padalijame iš a ir keitiniu $x=y-\frac{b}{3}$, pertvarkome lygtį į paprastesnį pavidalą

$x^3+px+q=0$.

Randame pagalbinį skaičių – diskriminantą:

$D=(\frac{q}{2}{)}^2+(\frac{p}{3}{)}^3$

Kubinės lygties su realiaisiais koeficientais diskriminantas apibrėžia, kokias šaknis turi lygtis:

1. Jei D > 0, viena šaknis yra realioji ir dvi kompleksinės.

2. Jei D = 0, visos šaknys yra realiosios ir bent dvi iš jų yra vienodos.

3. Jei D < 0, visos trys šaknys yra realiosios ir skirtingos.

Pagal Kardano formulę, viena lygties šaknis

$x_1=\sqrt[3]{-\frac{p}{2}+\sqrt{D}}+\sqrt[3]{-\frac{p}{2}-\sqrt{D}}$

Kai D > 0, ši šaknis vienintelė

Kai D ≤ 0, tai lygtį $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ padaliję iš reiškinio $x-x_1$, gausime kvadratinę lygtį, kurios sprendimas nurodytas aukščiau.