Matematika/Piramidė

Piramidės pagrindas gali būti bet kokia plokščia figūra, o piramidės aukštis yra aukštinės, kuri statmena pagrindui, ilgis.

Piramidės tūris

Piramidės, kurios pagrindas yra S, o aukštinė h, tūris yra:

$V=\frac{S\cdot h}{3}.$

Nupjautinės piramidės tūris

Nupjautinės piramidės, kurios aukštinė lygi h, o pagrindų plotai S ir $S_1$, tūrio formulė yra:

$V=\frac{1}{3}h(S+S_1+\sqrt{S\cdot S_1})=\frac{1}{3}\cdot h\cdot (\pi r^2+\pi r_1^2+\sqrt{\pi r^2\cdot \pi r_1^2})=\frac{1}{3}\cdot h\cdot \pi (r^2+r_1^2+r\cdot r_1).$

Jei daugiakampės nupjautinės piramidės pagrindų atitinkamos kraštinės yra A ir a; S - dydžiojo pagrindo plotas; $S_1$ - mažojo pagrindo plotas, tai piramidės tūris yra:

$V=\frac{1}{3}h(S+S_1+\sqrt{S\cdot S_1})=\frac{1}{3}hS[1+\frac{a}{A}+{\left(\frac{a}{A}\right)}^2].$

• Pavyzdžiui, nupjautinio kūgio, kurio $r=8$, $r_1=3$, $h=5$, tūris yra:

$V=\frac{1}{3}h(S+S_1+\sqrt{S\cdot S_1})=\frac{1}{3}\cdot 5\cdot (\pi \cdot 8^2+\pi \cdot 3^2+\sqrt{\pi \cdot 8^2\cdot \pi \cdot 3^2})=\frac{1}{3}\cdot 5\pi (64+9+8\cdot 3)=\frac{1}{3}\cdot 5\pi \cdot 97=\frac{485\pi }{3}=507.8908123.$

Kai apotema su kūgio pagrindu sudaro 45 laipsnių kampą kaip šiame pavyzdyje, tai nupjautinio kūgio tūris gali būtis apskaičiuotas taikant sukimo paviršiaus tūrio skaičiavimą integravimo metodu:

$V=\pi \underset{3}{\overset{8}{\int }}{r}^{2}dr=\pi \underset{3}{\overset{8}{\int }}{x}^{2}dx=\pi \cdot \frac{x^3}{3}{|}_3^8=\pi (\frac{8^3}{3}-\frac{3^3}{3})=\pi (\frac{512}{3}-\frac{27}{3})=\pi (\frac{512}{3}-9)=161.666667\pi =507.8908123.$

• Pavyzdis. Nupjautinės piramidės, kurios pagrindai kvadratai su kraštinėmis $A=5$, $a=3$, aukštine $h=4$, tūris yra:

$V=\frac{1}{3}h(S+S_1+\sqrt{S\cdot S_1})=\frac{1}{3}h(A^2+a^2+\sqrt{A^2\cdot a^2})=\frac{4}{3}(5^2+3^2+5\cdot 3)=\frac{4}{3}(25+9+15)=\frac{4}{3}\cdot 49=\frac{196}{3}=65,3(3).$

$V=\frac{1}{3}hS[1+\frac{a}{A}+{\left(\frac{a}{A}\right)}^2]=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot 5^2[1+\frac{3}{5}+{\left(\frac{3}{5}\right)}^2]=\frac{100}{3}\cdot 1,96=65,33333333.$

• Pavyzdis. Nupjautinės piramidės, kurios pagrindai stačiakampiai su didžiojo pagrindo kraštinėmis $A=5$, $B=7$ ir mažojo pagrindo kraštinėmis $a=3$, $b=4.2$, aukštine $h=4$, tūris yra:

$V=\frac{1}{3}h(S+S_1+\sqrt{S\cdot S_1})=\frac{1}{3}h(A\cdot B+a\cdot b+\sqrt{A\cdot B\cdot a\cdot b})=\frac{4}{3}(5\cdot 7+3\cdot 4.2+\sqrt{5\cdot 7\cdot 3\cdot 4.2})=\frac{4}{3}(35+12.6+\sqrt{441})=$

$=\frac{4}{3}(47.6+21)=\frac{4}{3}\cdot 68.6=\frac{274.4}{3}=91.46666667.$

$V=\frac{1}{3}hS[1+\frac{a}{A}+{\left(\frac{a}{A}\right)}^2]=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot 5\cdot 7[1+\frac{3}{5}+{\left(\frac{3}{5}\right)}^2]=\frac{140}{3}\cdot 1.96=91.466666667.$

Kraštinių santykis vienodas, 7/5=1.4 ir 4.2/3=1.4.

Nupjautinės piramidės tūrio formulės įrodymas

Nupjautinės piramidės, kurios aukštinė H, o pagrindų plotai S ir s, tūris lygus $\frac{1}{3}H(S+s+\sqrt{Ss}).$ Įrodykime.

Sakykime, piramidės viršūnė yra taškas O. Per tašką O mubrėžkime Ox ašį, statmeną piramidės pagrindui. Tarkime, kad nupjautinės piramidės pagrindai kerta Ox ašį taškuose a ir b (a<b). Kiekviena Ox ašiai statmena plokštuma, kertanti tos ašies atkarpą [a; b] taške x, išpjauna iš piramidės daugiakampį, panašų į piramidės pagrindą. Todėl to pjūvio plotas S(x) lygus $k{x}^2;$ čia $k=\frac{S}{b^2}.$ Be to,

$s=S(a)=k{a}^2$ ir $S=S(b)=k{b}^2.$

Nupjautinės piramidės tūrį skaičiuojame pagal formulę:

$V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S(x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}k{x}^{2}dx=\frac{k}{3}{x}^3{|}_a^b=\frac{k}{3}(b^3-a^3)=$

$=\frac{b-a}{3}(k{b}^2+kab+k{a}^2)=\frac{H}{3}(S+\sqrt{Ss}+s).$

Taikydami šią formulę piramidei, tariame, kad $s=0.$ Gauname

$V=\frac{1}{3}HS.$