Matematika/Šredingerio lygtis

Šredingerio lygtis yra pagrindinė kvantinės mechanikos lygtis, aprašanti kvantinių dalelių elgesį. Šią lygtį 1925 metais pasiūlė austrų fizikas Ervinas Šriodingeris. Bendru atveju ji užrašoma taip:

$\hat{H}\psi (\overrightarrow{r},t)=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi (\overrightarrow{r},t)=-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }\frac{{\partial }^2\psi (\overrightarrow{r},t)}{\partial {\overrightarrow{r}}^2}+V(\overrightarrow{r})$

Čia $\hat{H}$ yra dalelės hamiltonianas, t.y. energijos operatorius, o $\psi (\overrightarrow{r},t)$ – dalelės banginė funkcija, $V(\overrightarrow{r})$ - potencinė energija, $\mu$ - apytiksliai elektrono masė, $\hslash$ - mažoji planko konstanta, i - menamasis vienetas. Lygtis sprendžiama banginės funkcijos atžvilgiu, radus ją galime pilnai aprašyti nagrinėjamą dalelę. Būtent dėl to ši lygtis kartais vadinama antrojo Niutono dėsnio analogu kvantiniame pasaulyje.

Šredingerio lygtis yra vienas iš kvantinės mechanikos postulatų – ją galima užrašyti tik pasirėmus įvairias pasamprotavimais apie banginę dalelių prigimtį, griežto jos išvedimo nėra.

Bendroji Šredingerio lygtis

Nereliatyvistinėje kvantinėje mechanikoje hamiltonianas yra tiesiog kinetinės ir potencinės energijų suma. Tokiu atveju Šredingerio lygtis atrodo taip:

$[-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+U(\overrightarrow{r},t)]\psi (\overrightarrow{r},t)=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi (\overrightarrow{r},t)=E\psi (\overrightarrow{r},t)$

Čia ${\mathrm{\nabla }}^2$ yra laplasianas, o $U(\overrightarrow{r},t)$ – sistemos potencinė energija. Kaip matyti, ši lygtis yra antrojo laipsnio dalinių išvestinių diferencialinė lygtis, taigi ją išspręsti analitiškai pasiseka tik labai paprastais atvejais, pvz., vandenilio atomas laisvoje erdvėje. Reliatyvistinėje kvantinėje mechanikoje energijos operatorius pakeičiamas reliatyvistinės energijos išraiška ir taip gaunama vadinamoji Dirako lygtis. Ši lygtis jau įskaito dalelės sukinį.

Stacionarioji Šredingerio lygtis

Jei nagrinėjama sistema yra stacionari, t.y. sistemos hamiltonianas išreikštai nepriklauso nuo laiko $t$, galime ieškoti bendrosios Šredingerio lygties sprendinio, kaip laikinės ir koordinatinės priklausomybės funkcijų sandaugos:

$\psi (\overrightarrow{r},t)=\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})A(t)$

Iš čia gauname tikrinių verčių lygtį funkcijai $\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})$:

$\hat{H}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})=E\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})$,

bei $A(t)$ sprendinį, su kuriuo banginė funkcija atrodo taip:

$\psi (\overrightarrow{r},t)=e^{-\frac{i}{\hslash }Et}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})$.

Čia $E$ yra hamiltoniano tikrinė vertė – dalelės energija. Kai sistema yra apribota, pvz., elektronas atomo branduolio lauke, tikrinių verčių spektras yra diskretinis, t.y. gauname lygmenų kvantavimą. Taip paaiškinamas diskretus vandenilio atomo spektras.

Įrodysime, kad $\mathrm{\Psi }(x,t)=e^{i(px-Et)}$ yra šredingerio lygites $i\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=-\frac{1}{2m}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial x^2}$ sprendinys. Kur $p=mv$ yra momentas, E - energija, m - masė, i - menamasis vienetas.

$i\frac{\partial (e^{i(px-Et)})}{\partial t}=-\frac{1}{2m}\frac{{\partial }^2(e^{i(px-Et)})}{\partial x^2};$

$i\cdot (-iE)e^{i(px-Et)}=-\frac{(ip{)}^2}{2m}{e}^{i(px-Et)};$

$E=\frac{p^2}{2m}=\frac{(mv{)}^2}{2m}=\frac{m{v}^2}{2}.$

Gavome kinetinės energijos formulę, kuri įrodo, kad Šrėdingerio lygtis išspręsta teisingai. x yra koordinate vienmatėje erdvėje (nejudanti), o t yra laikas ir taip kvantinė dalelė aprašoma bangine funkcija.

Šredingerio lygtis sferinėse koordinatėse

$-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }[\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2\frac{\partial }{\partial r})+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}+V(r)]\mathrm{\Psi }(r,\theta ,\varphi )=E\mathrm{\Psi }(r,\theta ,\varphi ),$

$-\frac{{\hslash }^2}{2\mu r^2}[\frac{\partial }{\partial r}(r^2\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial r})+\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial {\varphi }^2}]+(V(r)-E)\mathrm{\Psi }=0,$

$\mathrm{\Psi }(r,\theta ,\varphi )=R(r)Y(\theta ,\varphi ),$

$Y\frac{\partial }{\partial r}(r^2\frac{\partial R}{\partial r})+\frac{R}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta })+\frac{R}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial {\varphi }^2}-\frac{2\mu r^2}{{\hslash }^2}(V(r)-E)RY=0,$

$\frac{1}{R}\frac{\partial }{\partial r}(r^2\frac{\partial R}{\partial r})-\frac{2\mu r^2}{{\hslash }^2}(V(r)-E)=-\frac{1}{Y}(\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial {\varphi }^2})=l(l+1),$

$\frac{1}{R}(2r\cdot \frac{dR}{dr}+r^2\cdot \frac{d^{2}R}{d{r}^2})-\frac{2\mu r^2}{{\hslash }^2}(V(r)-E)=-\frac{1}{Y}[\frac{1}{\sin \theta }(\cos \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta }+\sin \theta \cdot \frac{{\partial }^{2}Y}{\partial {\theta }^2})+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\cdot \frac{{\partial }^{2}Y}{\partial {\varphi }^2}]=l(l+1),$ kur l - šalutinis kvantinis skaičius: 0, 1, 2, 3...

Radialinė lygtis:

$\frac{1}{R(r)}\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR(r)}{dr})-\frac{2\mu r^2}{{\hslash }^2}(V(r)-E)=l(l+1),$

$-\frac{{\hslash }^2}{2\mu r^2}\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR}{dr})+[V(r)-E+\frac{{\hslash }^2}{2\mu r^2}l(l+1)]R(r)=0;$

$R(r)=\frac{u(r)}{r};\frac{dR}{dr}=\frac{1}{r}\frac{du(r)}{dr}-\frac{u(r)}{r^2};r^2\frac{dR(r)}{dr}=r\frac{du(r)}{dr}-u(r);$ $\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR}{dr})=\frac{d}{dr}(r\frac{du(r)}{dr}-u(r))=\frac{du(r)}{dr}+r\frac{d^{2}u(r)}{d{r}^2}-\frac{du(r)}{dr}=r\frac{d^{2}u(r)}{d{r}^2},$

$-\frac{{\hslash }^2}{2\mu r^2}r\frac{d^{2}u(r)}{d{r}^2}+[V(r)-E+\frac{{\hslash }^2}{2\mu r^2}l(l+1)]\frac{u(r)}{r}=0,$

$-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }\frac{d^{2}u(r)}{d{r}^2}+[V(r)+\frac{{\hslash }^2}{2\mu r^2}l(l+1)]u(r)=Eu(r);V_{ef}=V(r)+\frac{{\hslash }^2}{2\mu r^2}\cdot l(l+1);Eu(r)=i\hslash \frac{d}{dr}u(r),$

$-\frac{h^2}{2\mu }\frac{d^{2}u(r)}{d{r}^2}+V_{ef}u(r)=i\hslash \frac{d}{dr}u(r).$

Atskyrimas kintamųjų kampinėje lygtyje:

$-\frac{1}{Y}(\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial {\varphi }^2})=l(l+1),$

$\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta })+l(l+1){\sin }^2\theta \cdot Y(\theta ,\varphi )+\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial {\varphi }^2}=0,$

$Y(\theta ,\varphi )=O(\theta )F(\varphi ),$

$F\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial O}{\partial \theta })+l(l+1){\sin }^2\theta \cdot O(\theta )F(\varphi )+O\frac{{\partial }^{2}F}{\partial {\varphi }^2}=0,$

$\frac{1}{O}\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial O}{\partial \theta })+l(l+1){\sin }^2\theta =-\frac{1}{F}\frac{{\partial }^{2}F}{\partial {\varphi }^2}=m^2,$

$\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial O}{\partial \theta })+[l(l+1){\sin }^2\theta -m^2]O=0;$

$\frac{{\partial }^{2}F}{\partial {\varphi }^2}=-F{m}^2,F=e^{im\varphi },$

kur m - magnetinis kvantinis skaičius.

$O(\theta )$ funkcija:

$\sin \theta \frac{d}{d\theta }(\sin \theta \frac{dO}{d\theta })+[l(l+1){\sin }^2\theta -m^2]O=0;$

$O(\theta )=A{P}_l^m(\cos \theta )$ - Legendarinė funkcija.

$P_l^m(x)=(1-x^2{)}^{|m|/2}\frac{d^{|m|}{P}_l(x)}{d{x}^{|m|}};P_l(x)=\frac{1}{2^{l}l!}\frac{d^l}{d{x}^l}(x^2-1{)}^l;$

kadangi, $P_l(x)$ yra polinomas laipsnio l, $|m|\le l,$ tai:

$P_0(x)=\frac{1}{2^0\cdot 0!}\frac{d^0}{d{x}^0}(x^2-1{)}^0=\frac{1}{1\cdot 1}\cdot 1\cdot 1=1;P_1(x)=\frac{1}{2^1\cdot 1!}\frac{d^1}{d{x}^1}(x^2-1{)}^1=\frac{1}{2}\cdot 2x=x;$ $P_2(x)=\frac{1}{2^2\cdot 2!}\frac{d^2}{d{x}^2}(x^2-1{)}^2=\frac{1}{8}\frac{d^2}{d{x}^2}(x^4-2x^2+1)=\frac{1}{8}\frac{d}{dx}(4x^3-4x)=\frac{1}{8}(12x^2-4)=\frac{3x^2-1}{2};$ $P_2^1(x)=(1-x^2{)}^{|1|/2}\frac{d^{|1|}(\frac{3x^2-1}{2})}{d{x}^{|1|}}=3x\sqrt{1-x^2}=3\cos \theta \sin \theta ;$ $P_2^2(x)=(1-x^2{)}^{|2|/2}\frac{d^{|2|}(\frac{3x^2-1}{2})}{d{x}^{|2|}}=(1-x^2)\frac{d}{dx}(3x)=3(1-x^2)=3{\sin }^2\theta ,$

pavyzdžiai Legendarinių funkcijų:

$P_0^0=1;P_1^1=\sin \theta ;P_0^1=\cos \theta ;P_2^2=3{\sin }^2\theta ;P_2^1=3\sin \theta \cos \theta ;P_2^0=\frac{1}{2}(3{\cos }^2\theta -1);$ $P_3^3=15{\sin }^3\theta ;P_3^2=15{\sin }^2\theta \cos \theta ;P_3^1=\frac{3}{2}\sin \theta (5{\cos }^2\theta -1);P_3^0=\frac{1}{2}(5{\cos }^3\theta -3\cos \theta ).$

Tai pavyzdžiai sukamų funkcijų apie z ašį (brėžinis (x, y) plokštumoje), kurios, žinoma yra dvimatės. Kad jos butų apibūdinamos trimatėjėje erdvėje, reikia, kad būtų panaudotas taip pat kampas $\varphi$: $Y_l^m(\theta ,\varphi )=ϵ\sqrt{\frac{2l+1(l-|m|)!}{4\pi (l+|m|)!}}{e}^{im\varphi }{P}_l^m(\cos \theta );ϵ=(-1{)}^m,m\ge 0;ϵ=1,m<0.$