Peržiūrėti šaltinį Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas


[[Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas]]


:Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų <math>\operatorname{arcctg} x, \;</math> <math>\operatorname{arcsin} x \;</math> ir <math>\operatorname{arccos} x \;</math> reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules:
:[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ]
:<math>\operatorname{arcctg} x =\frac{\pi}{2} -\operatorname{arctg} x, \;\;\; \operatorname{arcsin} x=\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},</math>
:<math>\operatorname{arccos} x =\operatorname{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} =\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.</math>

==1. Skaičiaus ln(a) radimas==

:Skaičių a>0 išreikškime sandauga
:<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>
:kurioje ''p'' – sveikasis skaičius, o ''M'' tenkina nelygybes
:<math>\frac{1}{2}\leq M<1. \quad (8.84)</math>
:Pastebėsime, kad skaičių ''a'' išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą <math>\ln a</math> užrašome šitaip:
:<math>\ln a=\ln(2^p M)=p\ln 2 +\ln M. \quad (8.85)</math>
:Sakykime,
:<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math>
:ir šitą ''M'' išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo <math>\ln a</math> išraiška bus šitokia:
:<math>\ln a=p\ln 2 +\ln M=p\ln 2 +\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}}  \frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2 +\ln \frac{1}{\sqrt{2}} +\ln \frac{1+x}{1-x}=</math>
:<math>=p\ln 2 -\frac{1}{2}\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}.</math>
:<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>
:Funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos <math>g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}</math> išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai <math>x=0</math>).
:<math>g'(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1-x}{1+x}\cdot \left(\frac{1+x}{1-x}\right)'=</math>
:<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2}=</math>
:<math>=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x)^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.</math>
:<math>g''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)''=\left(\frac{2}{1-x^2}\right)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (1-x^2)'=-\frac{2}{(1-x^2)^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}. </math>
:<math>g'''(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)'''=\left(\frac{4x}{(1-x^2)^2}\right)'=\frac{(4x)'(1-x^2)^2 - 4x[(1-x^2)^2]'}{((1-x^2)^2)^2}= </math>
:<math>=\frac{4(1-x^2)^2 - 4x[2(1-x^2)']}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4) - 4x[2(-2x)]}{(1-x^2)^4}= \frac{4-8x^2+4x^4 + 16x^2}{(1-x^2)^4}= </math>
:<math>= \frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2)^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2)^4}= \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}.</math>
:<math>g^{(4)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(4)}=\left( \frac{4(1+x^2)^2}{(1-x^2)^4}\right)'=</math>
:<math>= \frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2)^4 -4(1+x^2)^2\cdot 4(1-x^2)^3\cdot (-2x)}{(1-x^2)^8}=</math>
:<math>=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8}.</math>
:<math>g^{(5)}(x)=\left(\ln \frac{1+x}{1-x}\right)^{(5)}=\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3}{(1-x^2)^8} \right)'=</math>
:<math>=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'(1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] ((1-x^2)^8)'}{(1-x^2)^{16}}=</math>
:<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 - [16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] 8(1-x^2)^7 \cdot (-2x)}{(1-x^2)^{16}}=</math>
:<math>=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2)^4+16x g_1(x) +32(1+x^2)^2 (1-x^2)^3+32x g_2(x)](1-x^2)^8 + 16x[16x(1+x^2)(1-x^2)^4 +32x(1+x^2)^2 (1-x^2)^3] (1-x^2)^7 }{(1-x^2)^{16}};</math>
:čia 
:<math>g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2)^4]'=2x(1-x^2)^4 +(1+x^2)\cdot 4(1-x^2)^3 \cdot(-2x)=2x(1-x^2)^4 -8x(1+x^2)(1-x^2)^3,</math>
:<math>g_2(x)=[(1+x^2)^2 (1-x^2)^3]'=2(1+x^2)\cdot 2x \cdot  (1-x^2)^3 +(1+x^2)^2 \cdot 3(1-x^2)^2 \cdot (-2x)=</math>
:<math>=4x(1+x^2)(1-x^2)^3 -6x(1+x^2)^2 (1-x^2)^2 .</math>
:Akivaizdu, kad <math>g_1(0)=0</math> ir <math>g_2(0)=0.</math>
:Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške <math>x=0</math>:
:<math>g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,</math>
:<math>g'(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,</math>
:<math>g''(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2)^2}=0,</math>
:<math>g'''(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2)^4}=4, </math>
:<math>g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3}{(1-0^2)^8}=0.</math>
:<math>g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2)^4+16\cdot 0\cdot  g_1(0) +32(1+0^2)^2 (1-0^2)^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2)^8 + 16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2)^4 +32\cdot 0(1+0^2)^2 (1-0^2)^3] (1-0^2)^7 }{(1-0^2)^{16}}=</math>
:<math>=\frac{[16+32] +0}{1}=48.</math>
:Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks:
:<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g'(0)}{1!}x+\frac{g''(0)}{2!}x^2+ \frac{g'''(0)}{3!}x^3+...+ \frac{g^{(n)}(0)}{n!}x^n +\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}=</math>
:<math>=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+ \frac{4}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{48}{5!}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math>
:<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=</math>
:<math>=2x+ \frac{2}{3}x^3+\frac{ 8}{5\cdot 4}x^5+...+ R_{2n+2}(x)=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).</math>
:<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x), \quad (8.88)</math>
:<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]; \quad (8.89)</math>
:skaičius <math>\theta</math> griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto.
:[Naudotojas '''Paraboloid''' neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia <math>R_{2n+2}(x)</math> išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.]
:Skaičiuojant <math>\ln a</math> artinį, naudojama formulė
:<math>\ln a\approx\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 + 2\left( x+ \frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...+ \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right), \quad (8.90)</math>
:kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją <math>\ln \frac{1+x}{1-x}</math> pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x).</math> Pastebėsime, kad skaičius ''x'' apytikslėje <math>\ln a</math> formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius ''M''.
:Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus <math>\ln a</math> artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui <math>R_{2n+2}(x),</math> tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį.
:Iš pradžių išsiaiškinsime ''x'' kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname
:<math>M=\frac{1}{\sqrt{2}} \, \frac{1+x}{1-x}, \quad (8.86)</math>
:<math>M\sqrt{2}= \frac{1+x}{1-x},</math>
:<math>M\sqrt{2}(1-x)= 1+x,</math>
:<math>M\sqrt{2}-1= x+xM\sqrt{2},</math>
:<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}. \quad (8.91)</math>
:Jei ''M'' reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai ''x'' tenkina sąlygą*
:<math>|x|<0.172. \quad (8.92)</math>
:[ <math>h'(M)=\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)'=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1)^2} =\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}.</math>
:<math>\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1)^2}=0.</math> Matome, kad nėra tokių ''M'' reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija <math>h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}</math> neturi maksimumo ir minimumo taškų.
:<math>h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=</math>
:=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) = 
:= -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061.
:<math>h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=</math>
:=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)=
:= 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806.
:Taigi, matome, kad 
:-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.]
:Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys <math>R_{2n+2}(x)</math> vienodai įvertinamas tiek tada, kai ''x'' reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, ''x'' pakeitus -''x'', liekamojo nario <math>R_{2n+2}(x)</math> struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti <math>R_{2n+2}(x),</math> kai <math>x>0.</math> Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj ''x'' rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos <math>\frac{1}{1+\theta x} </math> rašome vienetą, o vietoj <math>\frac{1}{1-\theta x} </math> – skaičių <math>\frac{1}{1-0.172} \;</math> ir gauname šitokį įvertį:
:<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2}}{2n+2} \left[ 1+\frac{1}{(1-0.172)^{2n+2}}\right].</math>
:[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.]
:Daugiklį <math>(0.172)^{2n+2}</math> įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi <math>\frac{0.172}{1-0.172}< 0.208 \;</math> (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai
:<math>|R_{2n+2}(x)| \leq \frac{(0.172)^{2n+2} +(0.208)^{2n+2}}{2n+2}.\quad (8.93)</math>
:Skaičiuojant <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama <math>n=6.</math> Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi <math>\frac{(0.172)^{14} +(0.208)^{14}}{14}, \;</math> mažesniu kaip <math>1.625\cdot 10^{-10}.</math>
:[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 <math>\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.</math> ]
:[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai 
:(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 <math>\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.</math> Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.]

________________
:''*'' Kadangi ''x'' yra argumento ''M'' funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente <math>\left[\frac{1}{2}; \; 1 \right].</math>
:''**'' Taip skaičiuojamas <math>\ln a</math> elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6.

===Pavyzdžiai===

*Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę
:[<math>a=2^p M. \quad (8.83)</math>]
:<math>143=2^{8} M,</math>
:<math>M=\frac{143}{256}=0.55859375.</math>
:Toliau, pagal (8.87) formulę
:[<math>\ln a=\left(p -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. \quad (8.87)</math>]
:<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}. </math>
:<math>\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2=7.5\ln 2=</math> 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363.
:Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304.
:Iš (8.91) formulės randame ''x'':
:<math>x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=</math>
:= (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) =
:= -0.11733662705136264741194733209931.
:Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime <math>\ln \frac{1+x}{1-x}, \,</math> kai n=6.
:<math>\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+...+ \frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=</math>
:<math>=2x+ \frac{2x^3}{3}+\frac{ 2x^5}{5}+\frac{ 2x^7}{7}+\frac{ 2x^9}{9}+\frac{ 2x^{11}}{11}+\frac{ 2x^{13}}{13}=2\left(x+ \frac{x^3}{3}+\frac{ x^5}{5}+\frac{ x^7}{7}+\frac{ x^9}{9}+\frac{ x^{11}}{11}+\frac{ x^{13}}{13} \right)=</math>
:= 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5 
:-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11
:-0.11733662705136264741194733209931^13/13) =
:(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į ''Windows 10'' kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas)
:= -0.23575922393968105542703851052716.
:Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį:
:<math>\ln 143=\left(8 -\frac{1}{2}\right)\ln 2 +\ln \frac{1+x}{1-x}= 7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=</math>
:= 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091.
:Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname 
:4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math>
:<math>\frac{1+x}{1-x}=</math> (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) =
:= (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901.
:Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia:
:ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588. 
:<math>\ln \frac{1+x}{1-x}\,</math> (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia:
:-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) =
:= -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = <math>\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.</math>
:Pagal (8.89) formulę
:<math>R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+\theta x)^{2n+2}} -\frac{1}{(1-\theta x)^{2n+2}}\right]. \quad (8.89)</math>
:<math>|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627)^{2n+2}}{2n+2}\left[ \frac{1}{(1+(-0.117336627))^{2n+2}} -1\right]= \frac{(-0.117336627)^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{2\cdot 6+2}} -1\right]=</math>
:<math>= \frac{(-0.117336627)^{14}}{14}\left[ \frac{1}{(1-0.117336627)^{14}} -1\right]=</math>
:= (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 =
:= 3.1744477658835444278622203928479e-14 <math>\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math>
:Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes 
:<math>1.48508677\cdot 10^{-15} < 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.</math>
:Pastebėsime, kad
:<math>\frac{(-0.117336627)^{14}}{14} =</math> 6.6979571136742061476086008278822e-15 <math>\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}</math>;
:<math>\frac{(-0.117336627)^{15}}{15} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16.
:Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip:
:<math>|R_{2n+2}(x)|< |\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.</math>
:Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai
:<math>|R(x)|< |\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.</math>
:Nes <math>\frac{(-0.117336627)^{13}}{13} =</math> -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14.

==2. Skaičiaus arctg(x) radimas.==

:Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg}\alpha,</math> užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai <math>|\alpha|=x,</math> gauname
:<math>\operatorname{arctg}\alpha=\sgn\alpha \cdot \operatorname{arctg} x.</math>
:Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis <math> \operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai argumento ''x'' reikšmės ne mažesnės kaip <math>\frac{1}{8},</math> pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math>
:Iš pradžių tarkime, kad <math>x\geq 1.</math> Sakykime, <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1).</math> Iš paskutinės lygybės gauname
:[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} .  \quad (7)</math>]
:<math>x_1=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} 1)}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{1+\operatorname{tg} y \cdot 1}=\frac{\operatorname{tg} y - 1}{\operatorname{tg} y + 1}=\frac{x - 1}{x + 1}<1.</math>
:Kadangi
:<math>\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} 1)]=y-\operatorname{arctg} 1=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} 1,</math>
:<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} x_1=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} x_1,</math>
:tai, norint apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x\geq 1,</math> pakanka apskaičiuoti <math>\operatorname{arctg} x_1,</math> kai <math>0<x_1<1.</math>
:Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes <math>\frac{1}{8} \leq x<1.</math>
:Sakykime, <math>k_1=1, \;\; k_2=\frac{1}{2}, \;\; k_3=\frac{1}{4}, \;\; k_4=\frac{1}{8}.</math> Savaime aišku, su kokia nors <math>i=1, \; 2, \; 3, \; 4 \;</math> reikšme yra teisingos nelygybės
:<math>k_i\leq x<2k_i. \quad (8.94)</math>
:[Kai ''x'' daugiau už 1, tai ''x'' gali būti daugiau už <math>2k_i.</math> Tiksliau, kai ''x''>2, tai <math>x>2k_1=2.</math>]
:Tarkime, kad <math>y=\operatorname{arctg} x, \;</math> t. y. <math>x=\operatorname{tg} y, \;</math> o <math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i).</math> Iš paskutinės lygybės gauname
:[pasinaudodami formule <math> \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha -\tan\beta }{1 + \tan\alpha \tan\beta} </math>]
:<math>x_i=\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)=\frac{\operatorname{tg} y -\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}{1+\operatorname{tg} y \cdot \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} k_i)}=\frac{\operatorname{tg} y - k_i}{1+\operatorname{tg} y \cdot k_i}=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math>
:Kadangi <math>x>0,</math> tai <math>1+k_i x>1.</math> Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia <math>x-k_i < 2k_i- k_1=k_i.</math> Todėl iš paskutinės <math>x_i</math> išraiškos gauname nelygybę <math>x_i<k_i.</math> Kadangi
:<math>\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg}[\operatorname{tg}(y-\operatorname{arctg} k_i)]=y-\operatorname{arctg} k_i=\operatorname{arctg} x -\operatorname{arctg} k_i,</math>
:<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i,</math>
:tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimas, kai ''x'' tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas <math>\operatorname{arctg} x_i</math> skaičiavimu, kai <math>0< x_i < k_i.</math>
:Jei aprašytąsias argumento ''x'' transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai <math>\operatorname{arctg} x</math> skaičiavimą, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už <math>\frac{1}{8}.</math>
:[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x,</math> o kai ''x'' reikšmės priklauso pusintervaliui <math>\frac{1}{8} \leq x<1,</math> tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.]
:Skaičiuojant <math>\operatorname{arctg} x,</math> kai <math>x< \frac{1}{8},</math> naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės)
:<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x).</math>
:Dažniausiai šioje formulėje imama <math>n=6</math> ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai <math>\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math> būtų priešingų ženklų.

==Pavyzdžiai==

*Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 5.</math> Čia <math>x=5.</math> Tada 
:<math>x_i=\frac{x - k_i}{1+k_i x}.</math>
:Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada 
:<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{5 - 1}{1+ 5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.</math>
:Toliau
:<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_i +\operatorname{arctg} x_i=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}.</math>
:Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada 
:<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6} }{1+ \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6} }{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6} \cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{8}.</math>
:Toliau
:<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math>
:Toliau imsime <math>k_4=\frac{1}{8}.</math> Tada 
:<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{1}{8} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8}}=\frac{0 }{1+ \frac{1}{64}}=\frac{0 }{\frac{64+1}{64}}=\frac{0 }{\frac{65}{64}}=0.</math>
:Ir gauname
:<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} 0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +0=\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math>
:Tokiu budu
:<math>\operatorname{arctg} 5=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{2}{3}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8}.</math>
:<math>\frac{\pi}{4}=</math> 0.78539816339744830961566084581988;
:<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{2}=</math> 0.46364760900080611621425623146121;
:<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{8}=</math> 0.12435499454676143503135484916387.
:Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su ''x'' reikšme mažesne už 1/8, nes <math>x_4=0.</math>
:Taigi,
:arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 = 
:= 1.373400766945015860861271926445.
:Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia: 
:arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445.
:Gavome tą patį atsakymą.


*Apskaičiuosime <math>\operatorname{arctg} 7.</math> Čia <math>x=7.</math>
:Pradėsime nuo to, kad <math>k_1=1.</math> Tada 
:<math>x_1=\frac{x - k_1}{1+k_1 x}=\frac{x - 1}{1+ x}=\frac{7 - 1}{1+ 7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.</math>
:Toliau
:<math>\operatorname{arctg} x=\operatorname{arctg} k_1 +\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} 1 +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}.</math>
:Toliau imsime <math>k_2=\frac{1}{2}.</math> Tada 
:<math>x_2=\frac{x_1 - k_2}{1+k_2 x_1}=\frac{x_1 - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} x_1}=\frac{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4} }{1+ \frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4} }{ \frac{11}{8}}=\frac{1}{4} \cdot\frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).</math>
:Tuo tarpu <math>k_3=\frac{1}{4}=0.25</math> yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su <math>k_3=\frac{1}{4}</math> praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su <math>k_4=\frac{1}{8}=0.125</math> (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi,
:<math>x_4=\frac{x_2 - k_4}{1+k_4 x_2}=\frac{x_2 - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} x_2}=\frac{\frac{2}{11} - \frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88} }{1+ \frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88} }{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).</math>
:[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.]
:Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę, 
:<math>\operatorname{arctg} x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} +R_{2n+2}(x),</math>
:imdami n=6 ir vietoje ''x'' įrašę <math>x_4.</math> Tada gauname:
:<math>\operatorname{arctg} \frac{1}{18}=\operatorname{arctg} x_4= x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+ \frac{x_4^{13}}{13} =</math>
:= 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107.
:(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į ''Windows 10'' kalkuliaorių, padarius "Paste").
:Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą:
:0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = <math>= -9.85462488883\cdot 10^{-21}.</math>
:Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip:
:<math>|R_{2n+2}(x_4)|< |\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=</math> 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19  <math>\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.</math>
:Tada
:<math>\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\operatorname{arctg} x_1=\operatorname{arctg} k_2 +\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11};</math>
:<math>\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=\operatorname{arctg} x_2=\operatorname{arctg} k_4 +\operatorname{arctg} x_4=\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}.</math>
:Todėl
:<math>\operatorname{arctg} 7=\operatorname{arctg} x=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{3}{4}=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{2}{11}=</math>
:<math>=\frac{\pi}{4} +\operatorname{arctg} \frac{1}{2} +\operatorname{arctg} \frac{1}{8} +\operatorname{arctg} \frac{1}{18}= </math>
:= 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426.
:Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą:
:1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 =
:= -0.0000000000000000000098546248888 <math>\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.</math>


:Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui ''Windows 10'' kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti <math>2^{nd}</math> ir tada paspausti <math>\tan^{-1}</math>. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD".