Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas

Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas

Logaritminės ir atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas Teiloro formulės taikymu. Čia smulkiai aptarsime, kaip skaičiuojamos logaritmo ir arktangento reikšmės. Funkcijų $\mathrm{arcctg}x,$ $\arcsin x$ ir $\arccos x$ reikšmių skaičiavimas pakeičiamas arktangento reikšmių skaičiavimu pagal šitokias žinomas formules:

[ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions ]

$\mathrm{arcctg}x=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arctg}x,\arcsin x=\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},$

$\arccos x=\mathrm{arcctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.$

1. Skaičiaus ln(a) radimas

Skaičių a>0 išreikškime sandauga

$a=2^{p}M.(8.83)$

kurioje p – sveikasis skaičius, o M tenkina nelygybes

$\frac{1}{2}\le M<1.(8.84)$

Pastebėsime, kad skaičių a išreikšti (8.83) sandauga galima vieninteliu būdu. Remdamiesi (8.83) formule, logaritmą $\ln a$ užrašome šitaip:

$\ln a=\ln (2^{p}M)=p\ln 2+\ln M.(8.85)$

Sakykime,

$M=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1+x}{1-x},(8.86)$

ir šitą M išraišką įrašykime į (8.85) lygybę. Tada logaritmo $\ln a$ išraiška bus šitokia:

$\ln a=p\ln 2+\ln M=p\ln 2+\ln \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1+x}{1-x}\right)=p\ln 2+\ln \frac{1}{\sqrt{2}}+\ln \frac{1+x}{1-x}=$

$=p\ln 2-\frac{1}{2}\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=(p-\frac{1}{2})\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}.$

$\ln a=(p-\frac{1}{2})\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}.(8.87)$

Funkciją $\ln \frac{1+x}{1-x}$ išdėstysime pagal Makloreno formulę. Pirma rasime kelias funkcijos $g(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}$ išvestines ir pagal jas nuspėsime aukštesnių eilių šios funkcijos išvestines (ir jų reikšmes, kai $x=0$).

$g^{\prime }(x)={(\ln \frac{1+x}{1-x})}^{\prime }=\frac{1-x}{1+x}\cdot {\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}^{\prime }=$

$=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1+x{)}^{\prime }(1-x)-(1+x)(1-x{)}^{\prime }}{(1-x{)}^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)-(1+x)(-1)}{(1-x{)}^2}=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x{)}^2}=$

$=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x{)}^2}=\frac{2}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}.$

$g^{″}(x)={(\ln \frac{1+x}{1-x})}^{″}={\left(\frac{2}{1-x^2}\right)}^{\prime }=-\frac{2}{(1-x^2{)}^2}\cdot (1-x^2{)}^{\prime }=-\frac{2}{(1-x^2{)}^2}\cdot (-2x)=\frac{4x}{(1-x^2{)}^2}.$

$g^{‴}(x)={(\ln \frac{1+x}{1-x})}^{‴}={\left(\frac{4x}{(1-x^2{)}^2}\right)}^{\prime }=\frac{(4x{)}^{\prime }(1-x^2{)}^2-4x[(1-x^2{)}^2{]}^{\prime }}{((1-x^2{)}^2{)}^2}=$

$=\frac{4(1-x^2{)}^2-4x[2(1-x^2{)}^{\prime }]}{(1-x^2{)}^4}=\frac{4(1-2x^2+x^4)-4x[2(-2x)]}{(1-x^2{)}^4}=\frac{4-8x^2+4x^4+16x^2}{(1-x^2{)}^4}=$

$=\frac{4+8x^2+4x^4}{(1-x^2{)}^4}=\frac{4(1+2x^2+x^4)}{(1-x^2{)}^4}=\frac{4(1+x^2{)}^2}{(1-x^2{)}^4}.$

$g^{(4)}(x)={(\ln \frac{1+x}{1-x})}^{(4)}={\left(\frac{4(1+x^2{)}^2}{(1-x^2{)}^4}\right)}^{\prime }=$

$=\frac{(8(1+x^2)\cdot 2x)(1-x^2{)}^4-4(1+x^2{)}^2\cdot 4(1-x^2{)}^3\cdot (-2x)}{(1-x^2{)}^8}=$

$=\frac{16x(1+x^2)(1-x^2{)}^4+32x(1+x^2{)}^2(1-x^2{)}^3}{(1-x^2{)}^8}.$

$g^{(5)}(x)={(\ln \frac{1+x}{1-x})}^{(5)}={\left(\frac{16x(1+x^2)(1-x^2{)}^4+32x(1+x^2{)}^2(1-x^2{)}^3}{(1-x^2{)}^8}\right)}^{\prime }=$

$=\frac{[16x(1+x^2)(1-x^2{)}^4+32x(1+x^2{)}^2(1-x^2{)}^3{]}^{\prime }(1-x^2{)}^8-[16x(1+x^2)(1-x^2{)}^4+32x(1+x^2{)}^2(1-x^2{)}^3]((1-x^2{)}^8{)}^{\prime }}{(1-x^2{)}^{16}}=$

$=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2{)}^4+16x{g}_1(x)+32(1+x^2{)}^2(1-x^2{)}^3+32x{g}_2(x)](1-x^2{)}^8-[16x(1+x^2)(1-x^2{)}^4+32x(1+x^2{)}^2(1-x^2{)}^3]8(1-x^2{)}^7\cdot (-2x)}{(1-x^2{)}^{16}}=$

$=\frac{[16(1+x^2)(1-x^2{)}^4+16x{g}_1(x)+32(1+x^2{)}^2(1-x^2{)}^3+32x{g}_2(x)](1-x^2{)}^8+16x[16x(1+x^2)(1-x^2{)}^4+32x(1+x^2{)}^2(1-x^2{)}^3](1-x^2{)}^7}{(1-x^2{)}^{16}};$

čia

$g_1(x)=[(1+x^2)(1-x^2{)}^4{]}^{\prime }=2x(1-x^2{)}^4+(1+x^2)\cdot 4(1-x^2{)}^3\cdot (-2x)=2x(1-x^2{)}^4-8x(1+x^2)(1-x^2{)}^3,$

$g_2(x)=[(1+x^2{)}^2(1-x^2{)}^3{]}^{\prime }=2(1+x^2)\cdot 2x\cdot (1-x^2{)}^3+(1+x^2{)}^2\cdot 3(1-x^2{)}^2\cdot (-2x)=$

$=4x(1+x^2)(1-x^2{)}^3-6x(1+x^2{)}^2(1-x^2{)}^2.$

Akivaizdu, kad $g_1(0)=0$ ir $g_2(0)=0.$

Randame funkcijos g(x) ir jos išvestinių reikšmes taške $x=0$:

$g(0)=\ln \frac{1+0}{1-0}=\ln 1=0,$

$g^{\prime }(0)=\frac{2}{1-0^2}=2,$

$g^{″}(0)=\frac{4\cdot 0}{(1-0^2{)}^2}=0,$

$g^{‴}(0)=\frac{4(1+2\cdot 0^2+0^4)}{(1-0^2{)}^4}=4,$

$g^{(4)}(0)=\frac{16\cdot 0(1+0^2)(1-x^2{)}^4+32\cdot 0(1+0^2{)}^2(1-0^2{)}^3}{(1-0^2{)}^8}=0.$

$g^{(5)}(0)=\frac{[16(1+0^2)(1-0^2{)}^4+16\cdot 0\cdot g_1(0)+32(1+0^2{)}^2(1-0^2{)}^3+32\cdot 0\cdot g_2(0)](1-0^2{)}^8+16\cdot 0[16\cdot 0(1+0^2)(1-0^2{)}^4+32\cdot 0(1+0^2{)}^2(1-0^2{)}^3](1-0^2{)}^7}{(1-0^2{)}^{16}}=$

$=\frac{[16+32]+0}{1}=48.$

Makloreno eilutės dėstinys su Lagranžo formos liekamuoju nariu bus šitoks:

$\ln \frac{1+x}{1-x}=g(0)+\frac{g^{\prime }(0)}{1!}x+\frac{g^{″}(0)}{2!}{x}^2+\frac{g^{‴}(0)}{3!}{x}^3+\mathrm{...}+\frac{g^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\frac{g^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}{x}^{n+1}=$

$=0+\frac{2}{1!}x+\frac{0}{2!}{x}^2+\frac{4}{3!}{x}^3+\frac{0}{4!}{x}^4+\frac{48}{5!}{x}^5+\mathrm{...}+R_{2n+2}(x)=$

$=2x+\frac{2}{3}{x}^3+\frac{6\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}{x}^5+\mathrm{...}+R_{2n+2}(x)=$

$=2x+\frac{2}{3}{x}^3+\frac{8}{5\cdot 4}{x}^5+\mathrm{...}+R_{2n+2}(x)=2x+\frac{2x^3}{3}+\frac{2x^5}{5}+\mathrm{...}+\frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).$

$\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+\frac{2x^3}{3}+\frac{2x^5}{5}+\mathrm{...}+\frac{2x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x),(8.88)$

$R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}[\frac{1}{(1+\theta x{)}^{2n+2}}-\frac{1}{(1-\theta x{)}^{2n+2}}];(8.89)$

skaičius $\theta$ griežtai įterptas tarp nulio ir vieneto.

[Naudotojas Paraboloid neįsivaizduoja iš kur ir kaip gauta tokia $R_{2n+2}(x)$ išraiška. Ar ji teisinga, paaiškės apskaičiavus pavyzdį.]

Skaičiuojant $\ln a$ artinį, naudojama formulė

$\ln a\approx (p-\frac{1}{2})\ln 2+2(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\mathrm{...}+\frac{x^{2n+1}}{2n+1}),(8.90)$

kuri gaunama iš (8.87) lygybės, funkciją $\ln \frac{1+x}{1-x}$ pakeitus šios funkcijos (8.88) Makloreno formulės dalimi be liekamojo nario $R_{2n+2}(x).$ Pastebėsime, kad skaičius x apytikslėje $\ln a$ formulėje randamas iš (8.86) formulės, atsižvelgus į (8.84) nelygybes, kurias turi tenkinti skaičius M.

Įvertinsime (8.90) formulės paklaidą. Kadangi skaičiaus $\ln a$ artinio, apskaičiuoto pagal (8.90) formulę, ir tikslios reikšmės, gaunamos pagal (8.87) formulę, skirtumas lygus liekamajam nariui $R_{2n+2}(x),$ tai, aiškinantis paklaidą, užtenka įvertinti tą liekamąjį narį.

Iš pradžių išsiaiškinsime x kitimo ribas. Iš (8.86) formulės gauname

$M=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1+x}{1-x},(8.86)$

$M\sqrt{2}=\frac{1+x}{1-x},$

$M\sqrt{2}(1-x)=1+x,$

$M\sqrt{2}-1=x+xM\sqrt{2},$

$x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}.(8.91)$

Jei M reikšmės tenkina (8.84) nelygybes, tai x tenkina sąlygą*

$|x|<\mathrm{0.172.}(8.92)$

[ $h^{\prime }(M)={\left(\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}\right)}^{\prime }=\frac{\sqrt{2}(M\sqrt{2}+1)-(M\sqrt{2}-1)\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1{)}^2}=\frac{(2M+\sqrt{2})-(2M-\sqrt{2})}{(M\sqrt{2}+1{)}^2}=\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1{)}^2}.$

$\frac{2\sqrt{2}}{(M\sqrt{2}+1{)}^2}=0.$ Matome, kad nėra tokių M reikšmių, su kuriom h'(M) būtų lygi nuliui. Todėl funkcija $h(M)=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}$ neturi maksimumo ir minimumo taškų.

$h(1/2)=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}-1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+1}=$

=(0.70710678118654752440084436210485-1)/(0.70710678118654752440084436210485+1) =

= -0.29289321881345247559915563789515/1.7071067811865475244008443621048 = -0.17157287525380990239662255158061.

$h(1)=\frac{1\cdot \sqrt{2}-1}{1\cdot \sqrt{2}+1}=$

=(1.4142135623730950488016887242097-1)/(1.4142135623730950488016887242097+1)=

= 0.4142135623730950488016887242097/2.4142135623730950488016887242097 = 0.1715728752538099023966225515806.

Taigi, matome, kad

-0.17157287525380990239662255158061 < x < 0.1715728752538099023966225515806. Arba |x| < 0.171572875254.]

Dabar pastebėsime, kad liekamasis narys $R_{2n+2}(x)$ vienodai įvertinamas tiek tada, kai x reikšmės teigiamos, tiek tada, kai jos neigiamos (iš (8.89) formulės matyti, kad, x pakeitus -x, liekamojo nario $R_{2n+2}(x)$ struktūra nepasikeičia). Todėl užtenka įvertinti $R_{2n+2}(x),$ kai $x>0.$ Atsižvelgę į tai ir į (8.92) nelygybę, dešiniojoje (8.89) formulės pusėje vietoj x rašome skaičių 0.172, vietoj trupmenos $\frac{1}{1+\theta x}$ rašome vienetą, o vietoj $\frac{1}{1-\theta x}$ – skaičių $\frac{1}{1-0.172}$ ir gauname šitokį įvertį:

$|R_{2n+2}(x)|\le \frac{(0.172{)}^{2n+2}}{2n+2}[1+\frac{1}{(1-0.172{)}^{2n+2}}].$

[Taip, čia laužtiniuose skliaustuose jau pliusas pasidarė. Tai arba (8.89) formulėje klaida arba čia.]

Daugiklį $(0.172{)}^{2n+2}$ įkelsime į laužtinius skliaustus. Kadangi $\frac{0.172}{1-0.172}<0.208$ (0.172/(1-0.172)=0.172/0.828=~0.207729), tai

$|R_{2n+2}(x)|\le \frac{(0.172{)}^{2n+2}+(0.208{)}^{2n+2}}{2n+2}.(8.93)$

Skaičiuojant $\ln a$ elektronine skaičiavimo mašina**, (8.90) formulėje dažniausiai imama $n=6.$ Tuomet skaičiavimo tikslumas, kaip matyti iš (8.93), įvertinamas skaičiumi $\frac{(0.172{)}^{14}+(0.208{)}^{14}}{14},$ mažesniu kaip $1.625\cdot 10^{-10}.$

[ (0.172^14 + 0.208^14)/14 = 2.1682237054688578614343997699803e-11 $\approx 2.1682237\cdot 10^{-11}.$ ]

[O jeigu ten turi būti minusas laužtiniuose skliaustuose kaip (8.89) formulėje, tai

(0.172^14 - 0.208^14)/14 = -1.8848887113203326016424566362697e-11 $\approx -1.88488871132\cdot 10^{-11}.$ Matome, kad nuo to nėra didelio skirtumo.]

________________

* Kadangi x yra argumento M funkcija, tai užtenka rasti maksimalią (8.91) funkcijos modulio reikšmę segmente $[\frac{1}{2};1].$

** Taip skaičiuojamas $\ln a$ elektronine skaičiavimo mašina БЭСМ-6.

Pavyzdžiai

• Apskaičiuosime ln(a)=ln(143). Pagal (8.83) formulę

[$a=2^{p}M.(8.83)$]

$143=2^{8}M,$

$M=\frac{143}{256}=\mathrm{0.55859375.}$

Toliau, pagal (8.87) formulę

[$\ln a=(p-\frac{1}{2})\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}.(8.87)$]

$\ln 143=(8-\frac{1}{2})\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}.$

$(8-\frac{1}{2})\ln 2=7.5\ln 2=$ 7.5*0.69314718055994530941723212145818 = 5.1986038541995898206292409109363.

Tiksli ln(143) reikšmė yra ln(143)=4.9628446302599072801154310195304.

Iš (8.91) formulės randame x:

$x=\frac{M\sqrt{2}-1}{M\sqrt{2}+1}=\frac{0.55859375\sqrt{2}-1}{0.55859375\sqrt{2}+1}=$

= (0.55859375*1.4142135623730950488016887242097 - 1)/(0.55859375*1.4142135623730950488016887242097+1) =

= -0.11733662705136264741194733209931.

Toliau pagal (8.88) formulę apskaičiuosime $\ln \frac{1+x}{1-x},$ kai n=6.

$\ln \frac{1+x}{1-x}=2x+\frac{2x^3}{3}+\frac{2x^5}{5}+\mathrm{...}+\frac{2x^{2n+1}}{2n+1}=$

$=2x+\frac{2x^3}{3}+\frac{2x^5}{5}+\frac{2x^7}{7}+\frac{2x^9}{9}+\frac{2x^{11}}{11}+\frac{2x^{13}}{13}=2(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}+\frac{x^{11}}{11}+\frac{x^{13}}{13})=$

= 2*(-0.11733662705136264741194733209931 -0.11733662705136264741194733209931^3/3 -0.11733662705136264741194733209931^5/5

-0.11733662705136264741194733209931^7/7 -0.11733662705136264741194733209931^9/9 -0.11733662705136264741194733209931^11/11

-0.11733662705136264741194733209931^13/13) =

(nukopijavus viską nuo "2" iki ženklo "=" ir įdėjus (padarius "Paste") į Windows 10 kalkuliatorių gaunamas žemiau esantis atsakymas)

= -0.23575922393968105542703851052716.

Pridėjus gautą atsakymą prie 7.5*ln(2) reikšmės, gauname ln(a)=ln(143) artinį:

$\ln 143=(8-\frac{1}{2})\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=7.5\ln 2+\ln \frac{1+x}{1-x}=$

= 5.1986038541995898206292409109363 + (-0.23575922393968105542703851052716) = 4.9628446302599087652022024004091.

Atėmę gautą ln(143) reikšmę iš tikslios ln(143) reikšmės, gauname

4.9628446302599072801154310195304 - 4.9628446302599087652022024004091 = -0.0000000000000014850867713808787 = $\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.$

$\frac{1+x}{1-x}=$ (1+(-0.11733662705136264741194733209931))/(1-(-0.11733662705136264741194733209931)) =

= (1-0.11733662705136264741194733209931)/(1+0.11733662705136264741194733209931) = 0.78997085710684606241656831078901.

Tiksli ln(0.78997085710684606241656831078901) reikšmė yra tokia:

ln(0.78997085710684606241656831078901) = -0.23575922393968254051380989140588.

$\ln \frac{1+x}{1-x}$ (su x=-0.11733662705136264741194733209931) paklaida yra tokia:

-0.23575922393968254051380989140588 - (-0.23575922393968105542703851052716) =

= -0.23575922393968254051380989140588 + 0.23575922393968105542703851052716 = -0.00000000000000148508677138087872 = $\approx -1.48508677\cdot 10^{-15}.$

Pagal (8.89) formulę

$R_{2n+2}(x)=-\frac{x^{2n+2}}{2n+2}[\frac{1}{(1+\theta x{)}^{2n+2}}-\frac{1}{(1-\theta x{)}^{2n+2}}].(8.89)$

$|R_{2n+2}(x)|<\frac{(-0.117336627{)}^{2n+2}}{2n+2}[\frac{1}{(1+(-0.117336627){)}^{2n+2}}-1]=\frac{(-0.117336627{)}^{2\cdot 6+2}}{2\cdot 6+2}[\frac{1}{(1-0.117336627{)}^{2\cdot 6+2}}-1]=$

$=\frac{(-0.117336627{)}^{14}}{14}[\frac{1}{(1-0.117336627{)}^{14}}-1]=$

= (-0.11733662705136264741194733209931)^14 * (1/(1-0.11733662705136264741194733209931)^14 -1)/14 =

= 3.1744477658835444278622203928479e-14 $\approx 3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.$

Matome, kad paklaida įvertinta teisingai, nes

$1.48508677\cdot 10^{-15}<3.1744477658835444\cdot 10^{-14}.$

Pastebėsime, kad

$\frac{(-0.117336627{)}^{14}}{14}=$ 6.6979571136742061476086008278822e-15 $\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}$;

$\frac{(-0.117336627{)}^{15}}{15}=$ -0.11733662705136264741194733209931^15/15 = -7.3352131612966428681484668924553e-16.

Todėl (8.88) formulėje liekamąjį narį tikriausiai galima įvertinti taip:

$|R_{2n+2}(x)|<|\frac{x^{2n+2}}{2n+2}|\approx 6.6979571136742\cdot 10^{-15}.$

Arba garantuotai visais atvejais R(x) turėtų būti teisingas, kai

$|R(x)|<|\frac{x^{2n+1}}{2n+1}|.$

Nes $\frac{(-0.117336627{)}^{13}}{13}=$ -0.11733662705136264741194733209931^13/13 = -6.1474279304103020252424035678064e-14.

2. Skaičiaus arctg(x) radimas.

Skaičiuojant $\mathrm{arctg}\alpha ,$ užtenka nagrinėti teigiamas argumento reikšmes, nes, kai $|\alpha |=x,$ gauname

$\mathrm{arctg}\alpha =\mathrm{sgn}\alpha \cdot \mathrm{arctg}x.$

Aprašysime standartines transformacijas, kuriomis $\mathrm{arctg}x$ skaičiavimas, kai argumento x reikšmės ne mažesnės kaip $\frac{1}{8},$ pakeičiamas arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už $\frac{1}{8}.$

Iš pradžių tarkime, kad $x\ge 1.$ Sakykime, $y=\mathrm{arctg}x,$ t. y. $x=\mathrm{tg}y,$ o $x_1=\mathrm{tg}(y-\mathrm{arctg}1).$ Iš paskutinės lygybės gauname

[pasinaudodami formule (iš https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Trigonometrinės_formulės) $\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }.(7)$]

$x_1=\mathrm{tg}(y-\mathrm{arctg}1)=\frac{\mathrm{tg}y-\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}1)}{1+\mathrm{tg}y\cdot \mathrm{tg}(\mathrm{arctg}1)}=\frac{\mathrm{tg}y-1}{1+\mathrm{tg}y\cdot 1}=\frac{\mathrm{tg}y-1}{\mathrm{tg}y+1}=\frac{x-1}{x+1}<1.$

Kadangi

$\mathrm{arctg}{x}_1=\mathrm{arctg}[\mathrm{tg}(y-\mathrm{arctg}1)]=y-\mathrm{arctg}1=\mathrm{arctg}x-\mathrm{arctg}1,$

$\mathrm{arctg}x=\mathrm{arctg}1+\mathrm{arctg}{x}_1=\frac{\pi }{4}+\mathrm{arctg}{x}_1,$

tai, norint apskaičiuoti $\mathrm{arctg}x,$ kai $x\ge 1,$ pakanka apskaičiuoti $\mathrm{arctg}{x}_1,$ kai $0<x_1<1.$

Dabar aptarsime atvejį, kai argumentas tenkina nelygybes $\frac{1}{8}\le x<1.$

Sakykime, $k_1=1,k_2=\frac{1}{2},k_3=\frac{1}{4},k_4=\frac{1}{8}.$ Savaime aišku, su kokia nors $i=1,2,3,4$ reikšme yra teisingos nelygybės

$k_i\le x<2k_i.(8.94)$

[Kai x daugiau už 1, tai x gali būti daugiau už $2k_i.$ Tiksliau, kai x>2, tai $x>2k_1=2.$]

Tarkime, kad $y=\mathrm{arctg}x,$ t. y. $x=\mathrm{tg}y,$ o $x_i=\mathrm{tg}(y-\mathrm{arctg}{k}_i).$ Iš paskutinės lygybės gauname

[pasinaudodami formule $\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$]

$x_i=\mathrm{tg}(y-\mathrm{arctg}{k}_i)=\frac{\mathrm{tg}y-\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}{k}_i)}{1+\mathrm{tg}y\cdot \mathrm{tg}(\mathrm{arctg}{k}_i)}=\frac{\mathrm{tg}y-k_i}{1+\mathrm{tg}y\cdot k_i}=\frac{x-k_i}{1+k_{i}x}.$

Kadangi $x>0,$ tai $1+k_{i}x>1.$ Be to, iš dešiniosios (8.94) nelygybės išplaukia $x-k_i<2k_i-k_1=k_i.$ Todėl iš paskutinės $x_i$ išraiškos gauname nelygybę $x_i<k_i.$ Kadangi

$\mathrm{arctg}{x}_i=\mathrm{arctg}[\mathrm{tg}(y-\mathrm{arctg}{k}_i)]=y-\mathrm{arctg}{k}_i=\mathrm{arctg}x-\mathrm{arctg}{k}_i,$

$\mathrm{arctg}x=\mathrm{arctg}{k}_i+\mathrm{arctg}{x}_i,$

tai $\mathrm{arctg}x$ skaičiavimas, kai x tenkina (8.94) nelygybes, pakeičiamas $\mathrm{arctg}{x}_i$ skaičiavimu, kai $0<x_i<k_i.$

Jei aprašytąsias argumento x transformacijas pakartosime daugių daugiausia keturis kartus, tai $\mathrm{arctg}x$ skaičiavimą, kai x reikšmės priklauso pusintervaliui $\frac{1}{8}\le x<1,$ pakeisime arktangento skaičiavimu, kai argumento reikšmės mažesnės už $\frac{1}{8}.$

[Ten klaidelė. Maksimum keturių transformacijų reikia, kai x reikšmės priklauso pusintervaliui $\frac{1}{8}\le x,$ o kai x reikšmės priklauso pusintervaliui $\frac{1}{8}\le x<1,$ tai tada daugių daugiausia gali prireikti 3 transformacijos.]

Skaičiuojant $\mathrm{arctg}x,$ kai $x<\frac{1}{8},$ naudojama Makloreno formulė (kuri išvedama čia: https://lt.wikibooks.org/wiki/Matematika/Matematinės_eilutės)

$\mathrm{arctg}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\mathrm{...}+(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x).$

Dažniausiai šioje formulėje imama $n=6$ ir atmetamas liekamasis narys (taip, pavyzdžiui, daroma skaičiuojant elektronine mašina БЭСМ-6). Logaritmo ir arktangento skaičiavimo programa yra bendra. Naudojant tą programą arktangentui skaičiuoti, reikia, kad gretimi nariai $\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ būtų priešingų ženklų.

Pavyzdžiai

• Apskaičiuosime $\mathrm{arctg}5.$ Čia $x=5.$ Tada

$x_i=\frac{x-k_i}{1+k_{i}x}.$

Pradėsime nuo to, kad $k_1=1.$ Tada

$x_1=\frac{x-k_1}{1+k_{1}x}=\frac{x-1}{1+x}=\frac{5-1}{1+5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$

Toliau

$\mathrm{arctg}x=\mathrm{arctg}{k}_i+\mathrm{arctg}{x}_i=\mathrm{arctg}{k}_1+\mathrm{arctg}{x}_1=\mathrm{arctg}1+\mathrm{arctg}\frac{2}{3}=\frac{\pi }{4}+\mathrm{arctg}\frac{2}{3}.$

Toliau imsime $k_2=\frac{1}{2}.$ Tada

$x_2=\frac{x_1-k_2}{1+k_2{x}_1}=\frac{x_1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}{x}_1}=\frac{\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}}=\frac{\frac{4-3}{6}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3+1}{3}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{4}{3}}=\frac{1}{6}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{8}.$

Toliau

$\mathrm{arctg}\frac{2}{3}=\mathrm{arctg}{x}_1=\mathrm{arctg}{k}_2+\mathrm{arctg}{x}_2=\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\mathrm{arctg}\frac{1}{8}.$

Toliau imsime $k_4=\frac{1}{8}.$ Tada

$x_4=\frac{x_2-k_4}{1+k_4{x}_2}=\frac{x_2-\frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8}{x}_2}=\frac{\frac{1}{8}-\frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{8}}=\frac{0}{1+\frac{1}{64}}=\frac{0}{\frac{64+1}{64}}=\frac{0}{\frac{65}{64}}=0.$

Ir gauname

$\mathrm{arctg}\frac{1}{8}=\mathrm{arctg}{x}_2=\mathrm{arctg}{k}_4+\mathrm{arctg}{x}_4=\mathrm{arctg}\frac{1}{8}+\mathrm{arctg}0=\mathrm{arctg}\frac{1}{8}+0=\mathrm{arctg}\frac{1}{8}.$

Tokiu budu

$\mathrm{arctg}5=\mathrm{arctg}x=\frac{\pi }{4}+\mathrm{arctg}\frac{2}{3}=\frac{\pi }{4}+\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\mathrm{arctg}\frac{1}{8}.$

$\frac{\pi }{4}=$ 0.78539816339744830961566084581988;

$\mathrm{arctg}\frac{1}{2}=$ 0.46364760900080611621425623146121;

$\mathrm{arctg}\frac{1}{8}=$ 0.12435499454676143503135484916387.

Šiame pavyzdyje skaičiuoti Makloreno eilutės nereikia su x reikšme mažesne už 1/8, nes $x_4=0.$

Taigi,

arctg(5) = 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 + 0.12435499454676143503135484916387 =

= 1.373400766945015860861271926445.

Tiksli arctg(5) reikšmė iš kalkuliatoriaus yra tokia:

arctg(5) = 1.373400766945015860861271926445.

Gavome tą patį atsakymą.

• Apskaičiuosime $\mathrm{arctg}7.$ Čia $x=7.$

Pradėsime nuo to, kad $k_1=1.$ Tada

$x_1=\frac{x-k_1}{1+k_{1}x}=\frac{x-1}{1+x}=\frac{7-1}{1+7}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.$

Toliau

$\mathrm{arctg}x=\mathrm{arctg}{k}_1+\mathrm{arctg}{x}_1=\mathrm{arctg}1+\mathrm{arctg}\frac{3}{4}=\frac{\pi }{4}+\mathrm{arctg}\frac{3}{4}.$

Toliau imsime $k_2=\frac{1}{2}.$ Tada

$x_2=\frac{x_1-k_2}{1+k_2{x}_1}=\frac{x_1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}{x}_1}=\frac{\frac{3}{4}-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{3-2}{4}}{1+\frac{3}{8}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{8+3}{8}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{11}{8}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{8}{11}=\frac{2}{11}=0.(18).$

Tuo tarpu $k_3=\frac{1}{4}=0.25$ yra daugiau už 0.(18). Todėl skaičiavimus su $k_3=\frac{1}{4}$ praleisime ir iškart skaičiuosime toliau su $k_4=\frac{1}{8}=0.125$ (nes 0.125 yra mažiau nei 2/11=0.(18)). Taigi,

$x_4=\frac{x_2-k_4}{1+k_4{x}_2}=\frac{x_2-\frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8}{x}_2}=\frac{\frac{2}{11}-\frac{1}{8}}{1+\frac{1}{8}\cdot \frac{2}{11}}=\frac{\frac{16-11}{88}}{1+\frac{2}{88}}=\frac{\frac{5}{88}}{\frac{88+2}{88}}=\frac{\frac{5}{88}}{\frac{90}{88}}=\frac{5}{88}\cdot \frac{88}{90}=\frac{5}{90}=\frac{1}{18}=0.0(5).$

[1/18 = 0.05555555555555555555555555555556.]

Toliau galime skaičiuoti pagal Makloreno formulę,

$\mathrm{arctg}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\mathrm{...}+(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+R_{2n+2}(x),$

imdami n=6 ir vietoje x įrašę $x_4.$ Tada gauname:

$\mathrm{arctg}\frac{1}{18}=\mathrm{arctg}{x}_4=x_4-\frac{x_4^3}{3}+\frac{x_4^5}{5}-\frac{x_4^7}{7}+\frac{x_4^9}{9}-\frac{x_4^{11}}{11}+\frac{x_4^{13}}{13}=$

= 1/18 - 1/18^3/3 + 1/18^5/5 - 1/18^7/7 + 1/18^9/9 - 1/18^11/11 + 1/18^13/13 = 0.05549850524571683556705277298107.

(Kad gauti tokį atsakymą greitai, tereikia aukščiau esančią eilutę nukopijuoti ir įdėti į Windows 10 kalkuliaorių, padarius "Paste").

Atėmę gautą arctg(1/18) reikšmę iš tikslios arctg(1/18) reikšmės, gauname paklaidą:

0.05549850524571683555719814809224 - 0.05549850524571683556705277298107 = -0.00000000000000000000985462488883 = $=-9.85462488883\cdot 10^{-21}.$

Kaip ir su natūrinio logaritmo skaičiavimu, liekamąjį narį galima įvertinti taip:

$|R_{2n+2}(x_4)|<|\frac{x_4^{2n+2}}{2n+2}|=$ 1/18^14/14 = 1.9057103509769875767803163358316e-19 $\approx 1.90571035\cdot 10^{-19}.$

Tada

$\mathrm{arctg}\frac{3}{4}=\mathrm{arctg}{x}_1=\mathrm{arctg}{k}_2+\mathrm{arctg}{x}_2=\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\mathrm{arctg}\frac{2}{11};$

$\mathrm{arctg}\frac{2}{11}=\mathrm{arctg}{x}_2=\mathrm{arctg}{k}_4+\mathrm{arctg}{x}_4=\mathrm{arctg}\frac{1}{8}+\mathrm{arctg}\frac{1}{18}.$

Todėl

$\mathrm{arctg}7=\mathrm{arctg}x=\frac{\pi }{4}+\mathrm{arctg}\frac{3}{4}=\frac{\pi }{4}+\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\mathrm{arctg}\frac{2}{11}=$

$=\frac{\pi }{4}+\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\mathrm{arctg}\frac{1}{8}+\mathrm{arctg}\frac{1}{18}=$

= 0.78539816339744830961566084581988 + 0.46364760900080611621425623146121 +0.12435499454676143503135484916387 + 0.05549850524571683556705277298107 = 1.428899272190732696428324699426.

Atėmę ką tik gautą arctg(7) reikšmę iš kalkuliatoriaus tikslios arctg(7) reikšmės, gauname paklaidą:

1.4288992721907326964184700745372 - 1.428899272190732696428324699426 = -9.8546248888316409091970590727231e-21 =

= -0.0000000000000000000098546248888 $\approx -9.8546248888\cdot 10^{-21}.$

Pastabos. Čia visos arkatangento reikšmės skaičiuojamos radianais. Kad kalkuliatorius skaičiuotų radianais, reikia paspausti mygtuką, kuris keičia tarp laipsnių, radianų ir gradianų (iš "DEG", "RAD" ir "GRAD" reikia išrinkti, kad rodytų "RAD"). O tam, kad kalkuliatorius apskaičiuotų arktangento reikšmę, reikia iš pradžių įrašyti skaičių į kalkuliatorių ir paskui Windows 10 kalkuliatoriuje (kuris turi būti nustatytas [vienu paspaudimu] per patį kalkuliatorių, kad būtų "Scientific") paspausti "Trigonometry", vėliau paspausti $2^{nd}$ ir tada paspausti ${\tan }^{-1}$. Tada ir bus gauta arktangento reikšmė radianais, jei buvo pasirinkta "RAD".