Peržiūrėti šaltinį Matematika/Išvestinė polinėje koordinačių sistemoje



==Geometrinė reikšmė išvestinės spindulio-vektoriaus poliniu kampu==

[[Vaizdas:poliniskliestinepav90.jpg|thumb|Pav. 90.]]
:Tegu turime lygtį tiesės polinėse koordinatėse:
:<math>\rho=f(\theta).\quad (1)</math>
:Parašysime formules pereimo iš polinių koordinačių į stačiakampes dekartines:
:<math>x=\rho\cos\theta, \quad y=\rho\sin\theta.</math>
:Įstatę čia vietoje <math>\rho</math> jo išraišką per <math>\theta</math> iš lygties (1), turėsime:
:<math>x=f(\theta)\cos\theta, \quad y=f(\theta)\sin\theta. \quad (2)</math>
:Lygtis (2) yra parametrinė lygtis duotos kreivės, be kita ko parametras yra polinis kampas <math>\theta</math> (pav. 90).
:Jeigu per <math>\phi</math> pažymėti kampą, sudarytą liestinės kreivės tam tikram taške <math>M(\rho, \;\theta)</math> su teigiama kryptimi abscisių ašies, tai turėsime:
:<math>\tan\phi=\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\frac{\text{d}y}{\text{d}\theta}}{\frac{\text{d}x}{\text{d}\theta}},</math> arba <math>\tan\phi=\frac{\frac{\text{d}(\rho\sin\theta)}{\text{d}\theta}}{\frac{\text{d}(\rho\cos\theta)}{\text{d}\theta}}=\frac{\frac{\text{d}\rho}{\text{d}\theta}\sin\theta+\rho\cos\theta}{\frac{\text{d}\rho}{\text{d}\theta}\cos\theta-\rho\sin\theta}.\quad (3)</math>
:Pažymėsime per <math>\mu</math> kampą tarp krypties spinulio-vektoriaus ir liestinės. Akivaizdu, kad <math>\mu=180^{\circ}-\theta-(180^{\circ}-\phi)=\phi-\theta,</math>
:<math>\tan\mu=\tan(\phi-\theta)=\frac{\tan\phi-\tan\theta}{1+\tan\phi\tan\theta}.</math>
:Įstatę čia vietoje <math>\tan\phi</math> jo išraišką (3) gausime:
:<math>\tan\mu=\tan(\phi-\theta)=\frac{\tan\phi-\tan\theta}{1+\tan\phi\tan\theta}=\frac{\frac{\rho'\sin\theta+\rho\cos\theta}{\rho'\cos\theta-\rho\sin\theta}-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}{1+\frac{\rho'\sin\theta+\rho\cos\theta}{\rho'\cos\theta-\rho\sin\theta} \cdot \frac{\sin\theta}{\cos\theta}}=\frac{\frac{(\rho'\sin\theta+\rho\cos\theta)\cos\theta-(\rho'\cos\theta-\rho\sin\theta)\sin\theta}{(\rho'\cos\theta-\rho\sin\theta)\cos\theta}}{\frac{(\rho'\cos\theta-\rho\sin\theta)\cos\theta+(\rho'\sin\theta+\rho\cos\theta)\sin\theta}{(\rho'\cos\theta-\rho\sin\theta)\cos\theta} }=</math>
:<math>=\frac{(\rho'\sin\theta+\rho\cos\theta)\cos\theta-(\rho'\cos\theta-\rho\sin\theta)\sin\theta}{(\rho'\cos\theta-\rho\sin\theta)\cos\theta+(\rho'\sin\theta+\rho\cos\theta)\sin\theta }=\frac{\rho'\sin\theta\cos\theta+\rho\cos^2\theta-\rho'\cos\theta\sin\theta+\rho\sin^2\theta}{\rho'\cos^2\theta-\rho\sin\theta\cos\theta+\rho'\sin^2\theta+\rho\cos\theta\sin\theta }=</math>
:<math>=\frac{\rho\cos^2\theta+\rho\sin^2\theta}{\rho'\cos^2\theta+\rho'\sin^2\theta }=\frac{\rho}{\rho'},</math>
:arba
:<math>\rho'\tan\mu=\rho,</math>
:<math>\rho'_{\theta}=\frac{\rho}{\tan\mu}=\rho\cot\mu. \quad (4)</math>
:Tokiu budu, išvestinė spindulio-vektoriaus poliniu kampu lygi ilgiui spindulio-vektoriaus, padaugintam iš kotangento kampo tarp spindulio-vektoriaus ir liestinės kreivės duotame taške.


===Pavyzdžiai===

*Parodyti, kad liestinė logoritminės spiralės <math>\rho=e^{a\theta}</math> kertasi su spinduliu-vektoriu pastoviu kampu (parodyti, kad kampas <math>\mu</math> nesikeičia visuose spiralės taškuose).
:''Sprendimas''. Iš spiralės lygties randame: <math>\rho'=ae^{a\theta}.</math> Pagal formulę (4) gauname:
:<math>\cot\mu=\frac{\rho'}{\rho}=\frac{ae^{a\theta}}{e^{a\theta}}=a,</math> 
:t. y. 
:<math>\mu=\arccot a=\text{const}.</math>

*Rasti kampą <math>\mu</math>, kurį sudaro susikertanti liestinė su spinduliu-vektoriu <math>\rho</math>, taške <math>M(6; \;2\sqrt{3})</math> apskritimo 
:<math>x^2+y^2=8x, \; <=> \; (x-4)^2+y^2=16.</math> 
:(Įstačius šio ''M'' taško koordinates į apskritimo lygti gaunama tapatybė; vadinasi, taškas ''M'' priklauso apskritimui <math>x^2+y^2=8x.</math>)
:Apskritimo <math>x^2+y^2=8x</math> spindulys <math>R=4</math>. Apskritimo centro koordinatės yra (4; 0).
[[Vaizdas:polin.PNG|thumb|Dydžiojo apskritimo lygtis <math>x^2+y^2=8x.</math>]]
:''Sprendimas''. Randame
:<math>x^2+y^2=\rho^2;</math> 
:<math>8x=8\rho\cos\theta.</math>
:Dabar apskritimo lygtis perrašyta į polines koordinates atrodo taip:
:<math>x^2+y^2=8x;</math>
:<math>\rho^2=8\rho\cos\theta,</math>
:<math>\rho=8\cos\theta.</math>
:Randame <math>\rho_{\theta}</math> išvestinę:
:<math>\rho'=(8\cos \theta)'=-8\sin\theta.</math>
:Randame liestinės lygtį:
:<math>y-y_1=f'(x_1)(x-x_1);</math>
:<math>y^2=8x-x^2;</math>
:<math>y=\sqrt{8x-x^2};</math>
:<math>y'=(\sqrt{8x-x^2})'=\frac{1}{2}\cdot\frac{8-2x}{\sqrt{8x-x^2}}=\frac{4-x}{\sqrt{8x-x^2}};</math>
:<math>f'(x_1)=f'(6)=y'|_{x=6}=\frac{4-6}{\sqrt{8\cdot 6-6^2}}=\frac{-2}{\sqrt{48-36}}=-\frac{2}{\sqrt{12}}=-\frac{2}{2\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}};</math>
:<math>y-2\sqrt{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x-6);</math>
:<math>y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{6}{\sqrt{3}}+2\sqrt{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{6+2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{6+2\cdot 3}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{12}{\sqrt{3}}.</math>
:Randame kampą <math>\phi</math> tarp apskritimo liestinės ir ''Ox'' ašies:
:<math>\tan\phi=k=-\frac{1}{\sqrt{3}};</math>
:<math>\phi=\arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}})=-\frac{\pi}{6}=-0.523598775</math> arba <math>\phi=-30^{\circ}.</math> Reiškia, kad kampas <math>\phi=330^{\circ}</math> arba <math>\phi=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{12\pi-\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}=5.75958653158 </math> radiano.
:Vektorius <math>\vec{MO}=\{6-0; \; 2\sqrt{3}-0\}=\{6; \; 2\sqrt{3}\}=\{l; \; m\} </math> yra spindulio-vektoriaus <math>\rho</math> krypties vektorius taške <math>M(6; \;2\sqrt{3}).</math>
:Kai yra žinomi du tiesės taškai <math>M(6; \;2\sqrt{3})</math> ir ''O''(0; 0), tada tiesės lygtis yra
:<math>\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}</math> arba <math>\frac{x-x_0}{x_1-x_0}=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}</math> arba <math>\frac{x-x_1}{x_1-x_0}=\frac{y-y_1}{y_1-y_0}.</math>
:Taigi, randame spindulio-vektoriaus <math>\rho</math> tiesės krypties koeficientą <math>k_{\rho}</math> taške ''M'':
:<math>\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m};</math>
:<math>\frac{x-0}{6}=\frac{y-0}{2\sqrt{3}};</math>
:<math>\frac{2\sqrt{3} x}{6}=y;</math>
:<math>y=\frac{\sqrt{3} x}{3}=\frac{x}{\sqrt{3}};</math>
:<math>k_{\rho}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan\theta.</math>
:Arba galima daug paprasčiau rasti tiesės jungiančios tašką ''O''(0; 0) ir tašką <math>M(6; \;2\sqrt{3})</math> krypties koeficientą:
:<math>\tan \theta =\frac{y_M}{x_M}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}=0.577350269.</math>
:Randame kampą <math>\theta</math> tarp spindulio-vektoriaus <math>\rho</math> einančio per tašką ''M'' ir ašies ''Ox'':
:<math>\theta=\arctan k_{\rho}=\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6}=0,523598775</math> radiano arba 30 laipsnių.
:Toliau randame kampą <math>\mu</math>, kurį sudaro apskritimo liestinė taške ''M'' su spinduliu-vektoriu <math>\rho</math>:
:<math>\mu=\phi-\theta=-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{3}=2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{6\pi-\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}=5.235987756</math> radiano arba 300 laipsnių (kas tikriausiai reiškia 60 laipsnių);
:<math>\tan\mu=\tan(\phi-\theta)=\tan(-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6})=\tan\frac{-\pi}{3}=\tan\frac{5\pi}{3}=-1.7320508.</math>
:Patikriname tapatumus:
:<math>\rho=8\cos\theta=8\cos\frac{\pi}{6}=8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6,92820323;</math>
:<math>\rho'=-8\sin\theta=-8\sin\frac{\pi}{6}=-8\cdot \frac{1}{2}=-4;</math>
:<math>\rho'_{\theta}=\frac{\rho}{\tan\mu}=\frac{6.92820323}{-1.7320508}=-4.00000001732.</math>
:Nors sprendžiant iš to, kad liestinės krypties koeficientas <math>k_{\phi}=\tan\phi=-\frac{1}{\sqrt{3}},</math> o tiesės ''OM'' krypties koeficientas lygus <math>k_{\theta}=\tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}},</math> peršasi mintis, kad kampas <math>\mu</math> tarp apskritimo liestinės taške ''M''  ir tiesės ''OM'' yra 90 laipsnių (grafiškai taip irgi atrodo įtikinamiau nei 60 laipsnių kampas <math>\mu</math>).
:Galima kitaip rasti kampą <math>\mu</math>:
:<math>\tan\mu=\frac{\rho}{\rho'_{\theta}}=\frac{8\cos\theta}{-8\sin\theta}=-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=-\cot\theta=-\frac{1}{\tan\frac{\pi}{6}}=-\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=-\sqrt{3};</math>
:<math>\mu=\arctan(-\sqrt{3})=-1.047197551;</math>
:<math>\mu=-1.047197551\cdot\frac{180}{\pi}=-60^{\circ}.</math> Na, gal nemeluoja teorija (šiaip grafiškai atrodo daugiau nei 90 laipsnių gal 120, bet turbūt reikia žiūrėti mažesnį (smailųjį) kampą, tada turbūt ir gaunasi 60 laipsnių).