Matematika/Išvestinė polinėje koordinačių sistemoje

Geometrinė reikšmė išvestinės spindulio-vektoriaus poliniu kampu

Pav. 90.

Tegu turime lygtį tiesės polinėse koordinatėse:

$\rho =f(\theta ).(1)$

Parašysime formules pereimo iš polinių koordinačių į stačiakampes dekartines:

$x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta .$

Įstatę čia vietoje $\rho$ jo išraišką per $\theta$ iš lygties (1), turėsime:

$x=f(\theta )\cos \theta ,y=f(\theta )\sin \theta .(2)$

Lygtis (2) yra parametrinė lygtis duotos kreivės, be kita ko parametras yra polinis kampas $\theta$ (pav. 90).

Jeigu per $\varphi$ pažymėti kampą, sudarytą liestinės kreivės tam tikram taške $M(\rho ,\theta )$ su teigiama kryptimi abscisių ašies, tai turėsime:

$\tan \varphi =\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\frac{\text{d}y}{\text{d}\theta }}{\frac{\text{d}x}{\text{d}\theta }},$ arba $\tan \varphi =\frac{\frac{\text{d}(\rho \sin \theta )}{\text{d}\theta }}{\frac{\text{d}(\rho \cos \theta )}{\text{d}\theta }}=\frac{\frac{\text{d}\rho }{\text{d}\theta }\sin \theta +\rho \cos \theta }{\frac{\text{d}\rho }{\text{d}\theta }\cos \theta -\rho \sin \theta }.(3)$

Pažymėsime per $\mu$ kampą tarp krypties spinulio-vektoriaus ir liestinės. Akivaizdu, kad $\mu =180^{\circ }-\theta -(180^{\circ }-\varphi )=\varphi -\theta ,$

$\tan \mu =\tan (\varphi -\theta )=\frac{\tan \varphi -\tan \theta }{1+\tan \varphi \tan \theta }.$

Įstatę čia vietoje $\tan \varphi$ jo išraišką (3) gausime:

$\tan \mu =\tan (\varphi -\theta )=\frac{\tan \varphi -\tan \theta }{1+\tan \varphi \tan \theta }=\frac{\frac{{\rho }^{\prime }\sin \theta +\rho \cos \theta }{{\rho }^{\prime }\cos \theta -\rho \sin \theta }-\frac{\sin \theta }{\cos \theta }}{1+\frac{{\rho }^{\prime }\sin \theta +\rho \cos \theta }{{\rho }^{\prime }\cos \theta -\rho \sin \theta }\cdot \frac{\sin \theta }{\cos \theta }}=\frac{\frac{({\rho }^{\prime }\sin \theta +\rho \cos \theta )\cos \theta -({\rho }^{\prime }\cos \theta -\rho \sin \theta )\sin \theta }{({\rho }^{\prime }\cos \theta -\rho \sin \theta )\cos \theta }}{\frac{({\rho }^{\prime }\cos \theta -\rho \sin \theta )\cos \theta +({\rho }^{\prime }\sin \theta +\rho \cos \theta )\sin \theta }{({\rho }^{\prime }\cos \theta -\rho \sin \theta )\cos \theta }}=$

$=\frac{({\rho }^{\prime }\sin \theta +\rho \cos \theta )\cos \theta -({\rho }^{\prime }\cos \theta -\rho \sin \theta )\sin \theta }{({\rho }^{\prime }\cos \theta -\rho \sin \theta )\cos \theta +({\rho }^{\prime }\sin \theta +\rho \cos \theta )\sin \theta }=\frac{{\rho }^{\prime }\sin \theta \cos \theta +\rho {\cos }^2\theta -{\rho }^{\prime }\cos \theta \sin \theta +\rho {\sin }^2\theta }{{\rho }^{\prime }{\cos }^2\theta -\rho \sin \theta \cos \theta +{\rho }^{\prime }{\sin }^2\theta +\rho \cos \theta \sin \theta }=$

$=\frac{\rho {\cos }^2\theta +\rho {\sin }^2\theta }{{\rho }^{\prime }{\cos }^2\theta +{\rho }^{\prime }{\sin }^2\theta }=\frac{\rho }{{\rho }^{\prime }},$

arba

${\rho }^{\prime }\tan \mu =\rho ,$

$\rho {\text{'}}_{\theta }=\frac{\rho }{\tan \mu }=\rho \cot \mu .(4)$

Tokiu budu, išvestinė spindulio-vektoriaus poliniu kampu lygi ilgiui spindulio-vektoriaus, padaugintam iš kotangento kampo tarp spindulio-vektoriaus ir liestinės kreivės duotame taške.

Pavyzdžiai

• Parodyti, kad liestinė logoritminės spiralės $\rho =e^{a\theta }$ kertasi su spinduliu-vektoriu pastoviu kampu (parodyti, kad kampas $\mu$ nesikeičia visuose spiralės taškuose).

Sprendimas. Iš spiralės lygties randame: ${\rho }^{\prime }=a{e}^{a\theta }.$ Pagal formulę (4) gauname:

$\cot \mu =\frac{{\rho }^{\prime }}{\rho }=\frac{a{e}^{a\theta }}{e^{a\theta }}=a,$

t. y.

$\mu =\mathrm{arccot}a=\text{const}.$

• Rasti kampą $\mu$, kurį sudaro susikertanti liestinė su spinduliu-vektoriu $\rho$, taške $M(6;2\sqrt{3})$ apskritimo

$x^2+y^2=8x,<=>(x-4{)}^2+y^2=16.$

(Įstačius šio M taško koordinates į apskritimo lygti gaunama tapatybė; vadinasi, taškas M priklauso apskritimui $x^2+y^2=8x.$)

Apskritimo $x^2+y^2=8x$ spindulys $R=4$. Apskritimo centro koordinatės yra (4; 0).

Dydžiojo apskritimo lygtis $x^2+y^2=8x.$

Sprendimas. Randame

$x^2+y^2={\rho }^2;$

$8x=8\rho \cos \theta .$

Dabar apskritimo lygtis perrašyta į polines koordinates atrodo taip:

$x^2+y^2=8x;$

${\rho }^2=8\rho \cos \theta ,$

$\rho =8\cos \theta .$

Randame ${\rho }_{\theta }$ išvestinę:

${\rho }^{\prime }=(8\cos \theta {)}^{\prime }=-8\sin \theta .$

Randame liestinės lygtį:

$y-y_1=f^{\prime }(x_1)(x-x_1);$

$y^2=8x-x^2;$

$y=\sqrt{8x-x^2};$

$y^{\prime }=(\sqrt{8x-x^2}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot \frac{8-2x}{\sqrt{8x-x^2}}=\frac{4-x}{\sqrt{8x-x^2}};$

$f^{\prime }(x_1)=f^{\prime }(6)=y^{\prime }{|}_{x=6}=\frac{4-6}{\sqrt{8\cdot 6-6^2}}=\frac{-2}{\sqrt{48-36}}=-\frac{2}{\sqrt{12}}=-\frac{2}{2\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}};$

$y-2\sqrt{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x-6);$

$y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{6}{\sqrt{3}}+2\sqrt{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{6+2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{6+2\cdot 3}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{12}{\sqrt{3}}.$

Randame kampą $\varphi$ tarp apskritimo liestinės ir Ox ašies:

$\tan \varphi =k=-\frac{1}{\sqrt{3}};$

$\varphi =\arctan (-\frac{1}{\sqrt{3}})=-\frac{\pi }{6}=-0.523598775$ arba $\varphi =-30^{\circ }.$ Reiškia, kad kampas $\varphi =330^{\circ }$ arba $\varphi =2\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{12\pi -\pi }{6}=\frac{11\pi }{6}=5.75958653158$ radiano.

Vektorius $\overrightarrow{MO}=\{6-0;2\sqrt{3}-0\}=\{6;2\sqrt{3}\}=\{l;m\}$ yra spindulio-vektoriaus $\rho$ krypties vektorius taške $M(6;2\sqrt{3}).$

Kai yra žinomi du tiesės taškai $M(6;2\sqrt{3})$ ir O(0; 0), tada tiesės lygtis yra

$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}$ arba $\frac{x-x_0}{x_1-x_0}=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}$ arba $\frac{x-x_1}{x_1-x_0}=\frac{y-y_1}{y_1-y_0}.$

Taigi, randame spindulio-vektoriaus $\rho$ tiesės krypties koeficientą $k_{\rho }$ taške M:

$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m};$

$\frac{x-0}{6}=\frac{y-0}{2\sqrt{3}};$

$\frac{2\sqrt{3}x}{6}=y;$

$y=\frac{\sqrt{3}x}{3}=\frac{x}{\sqrt{3}};$

$k_{\rho }=\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan \theta .$

Arba galima daug paprasčiau rasti tiesės jungiančios tašką O(0; 0) ir tašką $M(6;2\sqrt{3})$ krypties koeficientą:

$\tan \theta =\frac{y_M}{x_M}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}=0.577350269.$

Randame kampą $\theta$ tarp spindulio-vektoriaus $\rho$ einančio per tašką M ir ašies Ox:

$\theta =\arctan k_{\rho }=\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi }{6}=0,523598775$ radiano arba 30 laipsnių.

Toliau randame kampą $\mu$, kurį sudaro apskritimo liestinė taške M su spinduliu-vektoriu $\rho$:

$\mu =\varphi -\theta =-\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{3}=2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{6\pi -\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}=5.235987756$ radiano arba 300 laipsnių (kas tikriausiai reiškia 60 laipsnių);

$\tan \mu =\tan (\varphi -\theta )=\tan (-\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{6})=\tan \frac{-\pi }{3}=\tan \frac{5\pi }{3}=-1.7320508.$

Patikriname tapatumus:

$\rho =8\cos \theta =8\cos \frac{\pi }{6}=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6,92820323;$

${\rho }^{\prime }=-8\sin \theta =-8\sin \frac{\pi }{6}=-8\cdot \frac{1}{2}=-4;$

$\rho {\text{'}}_{\theta }=\frac{\rho }{\tan \mu }=\frac{6.92820323}{-1.7320508}=-4.00000001732.$

Nors sprendžiant iš to, kad liestinės krypties koeficientas $k_{\varphi }=\tan \varphi =-\frac{1}{\sqrt{3}},$ o tiesės OM krypties koeficientas lygus $k_{\theta }=\tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}},$ peršasi mintis, kad kampas $\mu$ tarp apskritimo liestinės taške M ir tiesės OM yra 90 laipsnių (grafiškai taip irgi atrodo įtikinamiau nei 60 laipsnių kampas $\mu$).

Galima kitaip rasti kampą $\mu$:

$\tan \mu =\frac{\rho }{\rho {\text{'}}_{\theta }}=\frac{8\cos \theta }{-8\sin \theta }=-\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=-\cot \theta =-\frac{1}{\tan \frac{\pi }{6}}=-\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=-\sqrt{3};$

$\mu =\arctan (-\sqrt{3})=-1.047197551;$

$\mu =-1.047197551\cdot \frac{180}{\pi }=-60^{\circ }.$ Na, gal nemeluoja teorija (šiaip grafiškai atrodo daugiau nei 90 laipsnių gal 120, bet turbūt reikia žiūrėti mažesnį (smailųjį) kampą, tada turbūt ir gaunasi 60 laipsnių).