Peržiūrėti šaltinį Matematika/Matematinės eilutės

Tai yra '''sąrašas matematinių eilučių''' talpinančios formulę baigtinėms ir begalinėms sumoms.  Tai gali būti naudota konjunkcijoje su kitais įrankiais evaluacinėms sumoms.

==Galios sumos==
*<math>\sum_{m=1}^n m = \frac{n(n+1)}{2}\,\!</math>

*<math>\sum_{m=1}^n m^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}  \,\!</math>

*<math>\sum_{m=1}^n m^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4} = \left(\sum_{m=1}^n m\right)^2\,\!</math>

*<math>\sum_{m=1}^{n} m^{4} = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}=\frac{6 n^5+15 n^4+10 n^3-n}{30}\,\!</math>

*<math>\sum_{m=0}^n m^s = \frac{(n+1)^{s+1}}{s+1} + \sum_{k=1}^s\frac{B_k}{s-k+1}{s\choose k}(n+1)^{s-k+1}\,\!</math>
:where <math>B_k\,</math> is the <math>k\,</math>th [[Bernoulli number]], and <math>B_1\,</math>  is negative.

*<math>\sum^{\infty}_{m=1} \frac{1}{m^2} = \frac{\pi^2}{6}\,\!</math>
*<math>\sum^{\infty}_{m=1} \frac{1}{m^4} = \frac{\pi^4}{90}\,\!</math>
*<math>\sum^{\infty}_{m=1} \frac{1}{m^{2n}} = (-1)^{n+1} \frac{B_{2n} (2\pi)^{2n}}{2(2n)!} </math>

*<math>\sum_{m=1}^\infty m^{-s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} = \zeta(s)\,\!</math>
:where <math>\zeta(s)\,</math> is the [[Riemann zeta function]].

==Galios eilutės==
{|
! begalinė suma (for <math>|x| < 1</math>) !!
|-
|<math>\sum_{m=0}^\infty x^m= \frac{1}{1-x}\,\!</math>
|<math>\sum_{m=0}^n x^m = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} = 1+\frac{1}{r}\left(1-\frac{1}{(1+r)^n}\right)</math> where <math>r>0</math> and <math>x=\frac{1}{1+r}.\,\!</math>
|-
|<math>\sum_{m=0}^\infty x^{2m}= \frac{1}{1-x^2}\,\!</math> 
|-
|<math>\sum_{m=1}^\infty m x^m = \frac{x}{(1-x)^2}\,\!</math>
|<math>\sum_{m=1}^n m x^m = x\frac{1-x^n}{(1-x)^2} - \frac{n x^{n+1}}{1-x}\,\!</math>
|
|-
|<math>\sum_{m=1}^{\infty} m^2 x^m =\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}\,\!</math>
|<math>\sum_{m=1}^n m^2 x^m = \frac{x(1+x-(n+1)^2x^n+(2n^2+2n-1)x^{n+1}-n^2x^{n+2})}{(1-x)^3} \,\!</math>
|
|-
|<math>\sum_{m=1}^{\infty} m^3 x^m =\frac{x(1+4x+x^2)}{(1-x)^4}\,\!</math>
|
|-
|<math>\sum_{m=1}^{\infty} m^4 x^m =\frac{x(1+x)(1+10x+x^2)}{(1-x)^5}\,\!</math>
|-
| <math>\sum_{m=1}^{\infty} m^k x^m
 = \operatorname{Li}_{-k}(x),\,\!</math> where Li<sub>''s''</sub>(''x'') is the [[polylogarithm]] of ''x''.
 <!-- = x^k \frac{d^k}{dx^k}\left(\frac{1}{1-x}\right)  Seems wrong, but given on <http://www.tug.org/texshowcase/cheat.pdf> -->
|}


*Įrodysime, kad 
:<math>\arctan x =x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+... \quad (|x|<1).</math>
:Kaip yra žinoma,
:<math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+...+x^n+..., \quad kai \;\; |x|<1.</math>
:Dabar vietoje ''x'' įstatome <math>-x^2</math> ir gauname lygybę:
:<math>\frac{1}{1-(-x^2)}=\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^{10}+...+(-1)^n x^{2n}+...,</math>
:Teisginai kai <math> |-x^2|<1.</math>
:Integruodami gauname:
:<math>\arctan x =\int_0^x \frac{dx}{1+x^2}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+...+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+...,</math>
:Iš kur
:<math>\arctan x =x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\frac{x^{11}}{11}+...+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+... \quad (|x|<1).</math>
:Iš to galime įrodyti Leibnico formulę:
:<math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}.</math>
:Kadangi <math>\frac{\sin\frac{\pi}{4}}{\cos\frac{\pi}{4}}=1=\tan\frac{\pi}{4},</math> tai <math>\arctan 1=\frac{\pi}{4}.</math> Todėl:
:<math>\arctan 1 =\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}=1-\frac{1^3}{3}+\frac{1^5}{5}-\frac{1^7}{7}+\frac{1^9}{9}-\frac{1^{11}}{11}+...+(-1)^{n+1}\frac{1^{2n-1}}{2n-1}+... =</math>
:<math>=\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}\approx 0.785398163.</math>


*Į eilutę
:<math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+...+x^n+..., \quad kai \;\; |x|<1,</math>
:įstatome<math>-x</math> vietoje ''x'' ir gauname:
:<math>\frac{1}{1-(-x)}=\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+...+(-1)^n x^n+..., </math>
:kai <math>|-x|<1,</math> tada abi puses integruojame:
:<math>\int_0^x \frac{1}{1+x} \;\mathsf{d}x=\int_0^x(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+...+(-1)^n x^n+...)\mathsf{d}x, </math>
:<math>\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^6}{6}+ ... +(-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}+..., \quad kai \;\; |x|<1, </math>
:nes <math>\int_0^x \frac{1}{1+x} \;\mathsf{d}x=\int_0^x \frac{1}{1+x} \;\mathsf{d}(1+x)=\ln(1+x) |_0^x=\ln(1+x)-\ln(1+0)=\ln(1+x)-0=\ln(1+x).</math>

*Pasirenkame <math>x=0.3</math> ir įstatome: 
:<math>\frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-0.3}=\frac{1}{0.7}=1.428571429.</math>
:Prasumuojant gauname:
:<math>1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+...+x^n=1+0.3+0.3^2+0.3^3+0.3^4+0.3^5+0.3^6+0.3^7+0.3^8+0.3^9+0.3^{10}=1.428568898.</math>

*Pasirenkame <math>x=-0.3</math> ir įstatome: 
:<math>\frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-(-0.3)}=\frac{1}{1.3}=0.769230769.</math>
:Prasumuojant gauname:
:<math>1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+...+x^n=1-0.3+0.3^2-0.3^3+0.3^4-0.3^5+0.3^6-0.3^7+0.3^8-0.3^9+0.3^{10}=0.769232131.</math>


*Įrodymas, kad 
:<math>\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+...+x^n+..., \quad kai \;\; |x|<1.</math>
:<math>
\begin{align}
&\text{Tegu }\; s = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots. \\[4pt]
&\text{Tada }\; x\cdot s = x + x^2 + x^3 + x^4+ \cdots. \\[4pt]
&\text{Tada }\; x\cdot s - s=x^{\infty}- 1=-1, \text{ nes}\; |x|<1,\;\; \text{ taigi } \; s(x-1) = -1,\text{ ir todel } \; s = \frac{-1}{x-1}=\frac{-1}{-(1-x)}=\frac{1}{1-x}.
\end{align}
</math>
:Išraišką <math>x^{\infty}- 1</math> galima apibūdinti tiksliau, vietoje <math>x^{\infty},</math> parašydami <math>x^n</math>, kur ''n'' koks nors labai didelis sveikasis skaičius, pavyzdžiui, <math> n=1000</math>. Pavyzdžiui, kai <math>x=0.9</math>, tai <math>0.9^{100}=0.000026561,</math> o <math>0.9^{1000}=\frac{1.7478712}{10^{46}},</math> kas beveik lygu nuliui. Todėl <math>\lim_{n\to \infty} 0.9^n=0</math> arba <math>\lim_{n\to \infty} x^n=0,</math> kai -1<x<1.

===Paprasti denominatoriai===
*<math>\sum^{\infty}_{m=1} \frac{x^m}m = \ln\left(\frac{1}{1-x}\right) \quad\mbox{ for } |x| < 1 \!</math>

*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{(-1)^m}{2m+1} x^{2m+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots = \arctan(x)\,\!</math>

*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{x^{2m+1}}{2m+1} = \mathrm{arctanh} (x) \quad\mbox{ for } |x| < 1\,\!</math>

===Faktorialiniai denominatoriai===
Daug geometrinių eilučių kurios kyla iš Tailoro theoremos turi koficientą turintį faktorialą.

*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{x^m}{m!} = e^x</math>
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{(-1)^m}{m!} x^{m} = \frac{1}{e^{x}} </math>

*<math>\sum^{\infty}_{m=0} m   \frac{x^m}{m!} = x e^x</math> (c.f. mean of [[Poisson distribution]])
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} m^2 \frac{x^m}{m!} = (x + x^2) e^x</math> (c.f. [[second moment]] of Poisson distribution)
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} m^3 \frac{x^m}{m!} = (x + 3x^2 + x^3) e^x</math>
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} m^4 \frac{x^m}{m!} = (x + 7x^2 + 6x^3 + x^4) e^x</math>
*<math>\sum^{\infty}_{m=0} m^n \frac{x^m}{m!} = x \frac{d}{dx}\sum^{\infty}_{m=0} m^{n-1} \frac{x^m}{m!}</math>

*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{(-1)^m}{(2m+1)!} x^{2m+1}=  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sin x </math>

*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{(-1)^m}{(2m)!} x^{2m} =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \cos x </math>

*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} = \sinh x </math>

*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{x^{2m}}{(2m)!} = \cosh x </math>

===Modifikuoti-faktorialo denominatoriai===
*<math>\sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} = \arcsin x\quad\mbox{ for } |x| < 1\!</math>

*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{(-1)^m (2m)!}{4^m (m!)^2 (2m+1)} x^{2m+1} = \mathrm{arcsinh}(x) \quad\mbox{ for } |x| < 1\!</math>

*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{(4m)!}{16^m \sqrt{2} (2m)! (2m+1)!} x^m = \sqrt{\frac{1 - \sqrt{1-x}}{x}}</math> 

*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{4^m (m)!^2}{(m+1) (2m+1)!} x^{2m} = \left( \frac{\arcsin{x}}{x} \right)^2 </math> 

*<math>\sum^{\infty}_{m=0} \frac{\prod_{n=0}^{m-1}(4n^2+1)}{(2m)!} x^{2m} + \sum^{\infty}_{m=0} \frac{4^m \prod_{n=1}^{m}(\frac{1}{2}-n+n^2)}{(2m+1)!}  x^{2m+1} = e^{\arcsin{x}} </math>

=== Binominės eilutės ===
[[Geometrinės eilutės]]:
*<math>
 (1+x)^{-1} = 
 \begin{cases} 
   \displaystyle  \sum_{m=0}^\infty (-x)^m     &  |x|<1  \\
   \displaystyle  \sum_{m=1}^\infty -(x)^{-m}  &  |x|>1  \\
 \end{cases}
</math>

[[Binominė Teorema]]:
*<math>
 (a+x)^n = 
 \begin{cases} 
   \displaystyle \sum_{m=0}^\infty \binom{n}{m} a^{n-m} x^m  &  |x| \! < \! |a|  \\
   \displaystyle \sum_{m=0}^\infty \binom{n}{m} a^m x^{n-m}  &  |x| \! > \! |a|  \\
 \end{cases}
</math>
<br>

*<math>(1+x)^\alpha = \sum_{m=0}^\infty {\alpha \choose m} x^m\quad\mbox{ for all } |x| < 1 \mbox{ and all complex } \alpha\!</math>
::su apibendrintais binominiais koficientais
::: <math>{\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\!</math>

[[Šaknis]]:
*<math>\sqrt{1+x} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m(2m)!}{(1-2m)m!^24^m}x^m \quad\mbox{ for } |x|<1\!</math>

Maišyta, įvairu:
* <ref name="ctcs">[http://www.tug.org/texshowcase/cheat.pdf Theoretical computer science cheat sheet]</ref> <math>\sum_{m=0}^\infty {m+n \choose m} x^m = \frac{1}{(1-x)^{n+1}}</math>
*<ref name="ctcs"/> <math>\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m+1}{2m \choose m} x^m = \frac{1}{2x}(1-\sqrt{1-4x})</math>
*<ref name="ctcs"/> <math>\sum_{m=0}^\infty {2m \choose m} x^m = \frac{1}{\sqrt{1-4x}}</math>
*<ref name="ctcs"/> <math>\sum_{m=0}^\infty {2m + n \choose m} x^m = \frac{1}{\sqrt{1-4x}}\left(\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\right)^n</math>

===Bernulio Skaičiai===
*<math> \sum_{m=0}^{\infty} \frac{B_m}{m!} x^m = \frac{x}{e^x-1} </math> <ref name="gfo"/>
*<math> \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-4)^m B_{2m}}{(2m)!} x^{2m} = x \cot{x} </math> <ref name="gfo"/>
*<math> \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} 2^{2m} (2^{2m}-1) B_{2m}}{(2m)!} x^{2m-1} = \tan{x} </math> <ref name="gfo"/>
*<math> \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} (4^m-2) B_{2m}}{(2m)!} x^{2m} = \frac{x}{\sin{x}} </math> <ref name="gfo"/>

===Harmoniniai Skaičiai===
*<math> \sum_{m=1}^{\infty} H_m x^m = \frac{\log{\frac{1}{1-x}}}{1-x} </math>
*<math> \sum_{m=2}^{\infty} \frac{H_{2m-1}}{m} x^m = \frac{1}{2} \left( \log{\frac{1}{1-x}} \right)^2 </math> <ref name="gfo"/>
*<math> \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} H_{2m}}{2m+1} x^{2m+1} = \frac{1}{2} \arctan{x} \log{(1+x^2)} </math> <ref name="gfo"/>
*<math> \sum_{m=0}^{\infty} \frac{\sum_{n=0}^{2m} \frac{(-1)^n}{2n+1}}{4m+2} x^{4m+2} = \frac{1}{4} \arctan{x} \log{\frac{1+x}{1-x}} </math> <ref name="gfo"/>

== Binominiai koeficientai ==
*<math>\sum_{m=0}^n {n \choose m} = 2^n</math>
*<math>\sum_{m=0}^n {n \choose m}a^{(n-m)} b^m = (a + b)^n</math>
*<math>\sum_{m=0}^n (-1)^i{n \choose m} = 0</math>
*<math>\sum_{m=0}^n {m \choose k} = { n+1 \choose k+1 }</math>
*<math>\sum_{m=0}^n {k+m \choose m} = { k + n + 1 \choose n }</math>
*<math>\sum_{m=0}^r {r \choose m}{s \choose n-m} = {r + s \choose n}</math>

== Trigonometrinės funkcijos ==
Sumos sinuso ir kosinuso iškyla Furje eilutėse.

*<math>\sum_{m=1}^n \sin\left(\frac{m\pi}{n}\right) = 0</math>
*<math>\sum_{m=1}^n \cos\left(\frac{m\pi}{n}\right) = 0</math>

== Neklasifikuota ==
*<math>\sum_{m=b+1}^{\infty} \frac{b}{m^2 - b^2} = \frac{1}{2} H_{2b}</math>

*<math>\sum^{\infty}_{m=1} \frac{y}{m^2+y^2} = -\frac{1}{2y}+\frac{\pi}{2}\coth(\pi y)</math>

==Integralinės eilutės==

*<math>\frac{x^{n+1}}{n+1}\approx 1^n+2^n+3^n+4^n+5^n+...+x^n,</math> kai ''x'' artėja į begalybę.
*<math>\frac{(a x)^{n+1}}{n+1}=a((1a)^n+(2a)^n+(3a)^n+(4a)^n+(5a)^n+...+(xa)^n),</math> kur ''a'' mažesnis už 1, ne neigiamas skaičius; kai ''x'' artėja į begalybę arba ''x'' tiesiog didelė reikšmė (o ''a'' tada artėja prie 0). Jei pavyzdžiui norima rasti plotą po šaka <math>y=x^7</math> (n=7, kai x yra nuo 0 iki 10 ant ''Ox'' ašies), tai ''a'' reikia parinkti a=1/1000, o ''x'' reikia parinkti x=10000, ir sudėti 10000 skaičių padaugintų iš ''a'':
:<math>\frac{(0.001\cdot 10000)^{7+1}}{7+1}=0.001((1\cdot 0.001)^7+(2\cdot 0.001)^7+(3\cdot 0.001)^7+(4\cdot 0.001)^7+(5\cdot 0.001)^7+...+(10000 \cdot 0.001)^7),</math>
:<math>\frac{10^{8}}{8}=0.001((1\cdot 0.001)^7+(2\cdot 0.001)^7+(3\cdot 0.001)^7+(4\cdot 0.001)^7+(5\cdot 0.001)^7+...+(9999 \cdot 0.001)^7+10^7).</math>

==Nuorodos==
<references/>
*http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series
*https://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)
*https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_mathematical_series