Peržiūrėti šaltinį Matematika/Normalioji diferencialinių lygčių sistema


:Tarkime, kad <math>y_1=y_1(x), \; y_2=y_2(x), \; y_3=y_3(x), \; ..., \; y_n=y_n(x)</math> - kintamojo ''x'' funkcijos.
:'''Apibrėžimas.''' ''Sistemą, kurią sudaro diferencialinės lygtys, siejančios kintamąjį x, funkcijas'' <math>y_1, \; y_2, \; y_3, \; ..., \; y_n</math> ''bei jų išvestines, vadinama '''diferencialinių lygčių sistema.'''''
:Toliau nagrinėsime tam tikros išraiškos sistemą
:<math>  \begin{cases}
     \frac{dy_1}{dx}=f_1(x, y_1, y_2, ..., y_n), & \\
     \frac{dy_2}{dx}=f_2(x, y_1, y_2, ..., y_n), & \\
     ....................................., \quad (62) & \\  
    \frac{dy_n}{dx}=f_n(x, y_1, y_2, ..., y_n), & 
\end{cases}</math>
:kuri vadinama '''''normaliąja diferencialinių lygčių sistema;''''' čia <math>f_i(x, y_1, y_2, ..., y_n)</math> - (n-1) kartą diferencijuojamos funkcijos (<math>1\le i \le n</math>). Jos sprendiniu tam tikrame intervale vadinsime visumą tame intervale apibrėžtų ir tolydžiai diferencijuojamų funkcijų <math>y_1=\psi_1(x), \; y_2=\psi_2(x), \; ..., \; y_n=\psi_n(x), \;</math> tenkinančių tos sistemos lygtis.
:(62) sistemą sprendžaime taip. Pirmąją jos lygtį (galima imti ir kurią nors kitą) išdiferencijuojame kintamojo ''x'' atžvilgiu:
:<math>\frac{d^2 y_1}{dx^2}=\frac{\partial f_1}{\partial x}+\frac{\partial f_1}{dy_1} \frac{dy_1}{dx}+\frac{\partial f_1}{dy_2} \frac{dy_2}{dx}+\frac{\partial f_1}{dy_3} \frac{dy_3}{dx}+...+\frac{\partial f_1}{dy_n} \frac{dy_n}{dx}. \quad (63)</math>
:Į (63) lygtį įrašę išvestinių <math>\frac{dy_1}{dx},...,\frac{dy_n}{dx}</math> išraiškas, nusakomas (62) lygtimis, gauname lygtį, kurios dešinioji pusė priklauso nuo <math>x, \; y_1, \; y_2, \; y_3, \; ..., \; y_n:</math>
:<math>\frac{d^2 y_1}{dx^2}=\frac{\partial f_1}{\partial x}+\frac{\partial f_1}{dy_1} f_1(x, y_1, y_2, ..., y_n)+\frac{\partial f_1}{dy_2} f_2(x, y_1, y_2, ..., y_n)+\frac{\partial f_1}{dy_3} f_3(x, y_1, y_2, ..., y_n)+...+\frac{\partial f_1}{dy_n} f_n(x, y_1, y_2, ..., y_n),</math>
:<math>\frac{d^2 y_1}{dx^2}=\phi_2(x, y_1, y_2, ..., y_n).</math>
:Šią lygtį dar kartą diferencijuojame ''x'' atžvilgiu ir vietoj išvestinių <math>\frac{dy_1}{dx},...,\frac{dy_n}{dx}</math> vėl įrašome jų išraiškas iš (62) sistemos. Gauname lygtį
:<math>\frac{d^3 y_1}{dx^3}=\phi_3(x, y_1, y_2, ..., y_n).</math>
:Pratęsę šį procesą, pagaliau turime lygtį
:<math>\frac{d^n y_1}{dx^n}=\phi_n(x, y_1, y_2, ..., y_n).</math>
:Taigi gauname sistemą
:<math>  \begin{cases}
     \frac{dy_1}{dx}=f_1(x, y_1, y_2, ..., y_n), & \\
     \frac{d^2 y_1}{dx^2}=\phi_2(x, y_1, y_2, ..., y_n), & \\
     \frac{d^3 y_1}{dx^3}=\phi_3(x, y_1, y_2, ..., y_n), \quad (64) & \\
     .....................................,  & \\  
    \frac{d^n y_1}{dx^n}=\phi_n(x, y_1, y_2, ..., y_n). & 
\end{cases}</math>
:Iš jos, eliminavę funkcijas <math>y_2, \; y_3, \; ..., \; y_n,</math> gauname lygtį, siejančią <math>x,\; y_1, \; \frac{dy_1}{dx}, \; \frac{d^2 y_1}{dx^2}, \; \frac{d^3 y_1}{dx^3}, \; ..., \; \frac{d^n y_1}{dx^n}, \;</math> taigi gauname ''n''-tosios eilės diferencialinę lygtį.
:Išsprendę ją, randame
:<math>y_1=\Phi(x, C_1, C_2, ..., C_n).</math>
:Žinodami <math>y_1,</math> funkcijas <math>y_2, \; y_3, \; ..., \; y_n,</math> randame iš (64) sistemos.


==Pavyzdžiai==

*Rasime sistemos
:<math>  \begin{cases}
     \frac{dy}{dx}=2y+3z+e^x, & \\
     \frac{dz}{dx}=3y+2z+\sin x. & 
\end{cases}</math>
:atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlygas
:<math>y|_{x=0}=\frac{3}{13}, \; z|_{x=0}=\frac{19}{26}.</math>
:''Sprendimas''. Pirmąją sistemos lygtį išdiferencijuojame kintamojo ''x'' atžvilgiu:
:<math>\frac{d^2 y}{dx^2}=2\frac{dy}{dx}+3\frac{dz}{dx}+e^x.</math>
:Į šią lygtį įrašome <math>\frac{dy}{dx}</math> ir <math>\frac{dz}{dx}</math> išraiškas iš duotosios sistemos:
:<math>\frac{d^2 y}{dx^2}=2(2y+3z+e^x)+3(3y+2z+\sin x)+e^x,</math>
:<math>\frac{d^2 y}{dx^2}=13y+12z+3 e^x+3\sin x.</math>
:Sudarome sistemą
:<math>  \begin{cases}
     \frac{dy}{dx}=2y+3z+e^x, & \\
     \frac{d^2 y}{dx^2}=13y+12z+3 e^x+3\sin x. & 
\end{cases}</math>
:ir iš jos eliminuojame funkciją ''z''. Galima daryti taip: pirmąją sistemos lygtį padauginti iš <math>-4</math> ir sudėti su antrąja sistemos lygtimi. Tuomte gausime lygtį
:<math>\frac{d^2 y}{dx^2}-4\frac{dy}{dx}=13y+12z+3 e^x+3\sin x-4(2y+3z+e^x),</math>
:<math>\frac{d^2 y}{dx^2}-4\frac{dy}{dx}=5y-e^x+3\sin x,</math>
:<math>\frac{d^2 y}{dx^2}-4\frac{dy}{dx}-5y=3\sin x-e^x. \quad (65)</math>
:Ji ir yra antrosios eilės tiesinė nehomogeninė diferencialinė lygtis. Kadangi jos charakteringoji lygtis <math>k^2-4k-5=0</math> turi šaknis <math>k_1=-1, \; k_2=5,</math> tai homoheninės lygties (<math>\frac{d^2 y}{dx^2}-4\frac{dy}{dx}-5y=0</math>) bendrasis sprendinys
:<math>\bar{y}=C_1 e^{-x}+C_2 e^{5x}.</math>
:Toliau parenkame atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį
:<math>\tilde{y}=M\cos(x)+N\sin(x)+a e^x.</math>
:Suradę <math>\bar{y}'</math> ir <math>\bar{y}''</math> bei jų išraiškas į (65) lygtį, gauname:
:<math>\tilde{y}'=(M\cos(x)+N\sin(x)+a e^x)'=-M\sin(x)+N\cos(x)+a e^x;</math>
:<math>\tilde{y}''=(-M\sin(x)+N\cos(x)+a e^x)'=-M\cos(x)-N\sin(x)+a e^x;</math>
:<math>\tilde{y}''-4\tilde{y}'-5\tilde{y}=3\sin x-e^x;</math>
:<math>-M\cos(x)-N\sin(x)+a e^x-4(-M\sin(x)+N\cos(x)+a e^x)-5(M\cos(x)+N\sin(x)+a e^x)=3\sin(x)-e^x;</math>
:<math>-M\cos(x)-N\sin(x)+a e^x+4M\sin(x)-4N\cos(x)-4a e^x-5M\cos(x)-5N\sin(x)-5a e^x=3\sin(x)-e^x;</math>
:<math>-M\cos(x)-N\sin(x)+4M\sin(x)-4N\cos(x)-5M\cos(x)-5N\sin(x)-8a e^x=3\sin(x)-e^x;</math>
:<math>(-6M-4N)\cos(x) +(4M-6N)\sin(x)-8 a e^x=3\sin(x)-e^x.</math>
:Iš čia
:<math>a=\frac{1}{8}.</math>
:Reikšmes ''M'' ir ''N'' surasime išsprendę lygčių sistemą:
:<math>  \begin{cases}
     -6M-4N=0, & \\
     4M-6N=3. & 
\end{cases}</math>
:Antrąją sistemos lygtį padauginę iš <math>\frac{3}{2}</math> ir pridėję prie pirmosios, gauname:
:<math>(-6M-4N)+\frac{3}{2}(4M-6N)=0 +\frac{3}{2}\cdot 3,</math>
:<math>-6M-4N+6M-9N=\frac{9}{2},</math>
:<math>-13N=\frac{9}{2},</math>
:<math>N =-\frac{9}{26}.</math>
:Toliau įstatę surastą ''N'' į kurią nors vieną iš lygčių (-6M-4N=0 arba 4M-6N=3) rasime ''M'':
:<math>-6M-4N=0,</math>
:<math>-6M-4\cdot \left(-\frac{9}{26} \right)=0,</math>
:<math>-6M+\frac{18}{13}=0,</math>
:<math>-M+\frac{3}{13}=0,</math>
:<math>-M=-\frac{3}{13},</math>
:<math>M=\frac{3}{13}.</math>
:Taigi
:<math>\tilde{y}=M\cos(x)+N\sin(x)+a e^x=\frac{3}{13}\cos(x)-\frac{9}{26}\sin(x)+\frac{1}{8} e^x;</math>
:<math>y=\bar{y}+\tilde{y}=C_1 e^{-x}+C_2 e^{5x}+\frac{3}{13}\cos(x)-\frac{9}{26}\sin(x)+\frac{1}{8} e^x.</math>
:Iš pirmosios sistemos lygties turime
:<math>\frac{dy}{dx}=2y+3z+e^x,</math>
:<math>\frac{dy}{dx}-2y-e^x=3z,</math>
:<math>z=\frac{1}{3}\left( \frac{dy}{dx}-2y-e^x \right).</math>
:Kadangi
:<math>\frac{dy}{dx}=(C_1 e^{-x}+C_2 e^{5x}+\frac{3}{13}\cos(x)-\frac{9}{26}\sin(x)+\frac{1}{8} e^x)'=-C_1 e^{-x}+5 C_2 e^{5x}-\frac{3}{13}\sin(x)-\frac{9}{26}\cos(x)+\frac{1}{8} e^x,</math>
:tai
:<math>z=\frac{1}{3}\left( -C_1 e^{-x}+5 C_2 e^{5x}-\frac{3}{13}\sin(x)-\frac{9}{26}\cos(x)+\frac{1}{8} e^x -2y-e^x \right)=</math>
:<math>=\frac{1}{3}\left( -C_1 e^{-x}+5 C_2 e^{5x}-\frac{3}{13}\sin(x)-\frac{9}{26}\cos(x)+\frac{e^x-8 e^x}{8} -2y \right)=</math>
:<math>=\frac{1}{3}\left( -C_1 e^{-x}+5 C_2 e^{5x}-\frac{3}{13}\sin(x)-\frac{9}{26}\cos(x)-\frac{7}{8} e^x -2y \right)=</math>
:<math>= -\frac{1}{3} C_1 e^{-x}+\frac{5}{3} C_2 e^{5x}-\frac{1}{13}\sin(x)-\frac{3}{26}\cos(x)-\frac{7}{24} e^x -\frac{2}{3}y .</math>
:Gavome tokį sistemos sprendinį
:<math>y=C_1 e^{-x}+C_2 e^{5x}+\frac{3}{13}\cos(x)-\frac{9}{26}\sin(x)+\frac{1}{8} e^x,</math>
:<math>z=-\frac{1}{3} C_1 e^{-x}+\frac{5}{3} C_2 e^{5x}-\frac{1}{13}\sin(x)-\frac{3}{26}\cos(x)-\frac{7}{24} e^x -\frac{2}{3}y .</math>
:(<math>z=-\frac{1}{3} C_1 e^{-x}+\frac{5}{3} C_2 e^{5x}-\frac{1}{13}\sin(x)-\frac{3}{26}\cos(x)-\frac{7}{24} e^x -\frac{2}{3}(C_1 e^{-x}+C_2 e^{5x}+\frac{3}{13}\cos(x)-\frac{9}{26}\sin(x)+\frac{1}{8} e^x), </math>
:<math>z=-\frac{1}{3} C_1 e^{-x}+\frac{5}{3} C_2 e^{5x}-\frac{1}{13}\sin(x)-\frac{3}{26}\cos(x)-\frac{7}{24} e^x -\frac{2}{3}C_1 e^{-x}-\frac{2}{3}C_2 e^{5x}-\frac{2}{13}\cos(x)+\frac{6}{26}\sin(x)-\frac{2}{24} e^x, </math>
:<math>z=- C_1 e^{-x}+C_2 e^{5x}+\frac{2}{13}\sin(x)-\frac{7}{26}\cos(x)-\frac{3}{8} e^x </math>).
:Norėdami rasti konstantų <math>C_1</math> ir <math>C_2</math> reikšmes, tenkinančias duotas pradines sąlygas, į bendrąjį sprendinį įrašome <math>x=0, \; y=\frac{3}{13}</math> ir <math>z=\frac{19}{26}.</math> Gauname sistemą
:<math>  \begin{cases}
     y=C_1 e^{-x}+C_2 e^{5x}+\frac{3}{13}\cos(x)-\frac{9}{26}\sin(x)+\frac{1}{8} e^x, & \\
     z=- C_1 e^{-x}+C_2 e^{5x}+\frac{2}{13}\sin(x)-\frac{7}{26}\cos(x)-\frac{3}{8} e^x; & 
\end{cases}</math>
:<math>  \begin{cases}
     \frac{3}{13}=C_1 e^{-0}+C_2 e^{5\cdot 0}+\frac{3}{13}\cos(0)-\frac{9}{26}\sin(0)+\frac{1}{8} e^0, & \\
     \frac{19}{26}=- C_1 e^{-0}+C_2 e^{5\cdot 0}+\frac{2}{13}\sin(0)-\frac{7}{26}\cos(0)-\frac{3}{8} e^0; & 
\end{cases}</math>
:<math>  \begin{cases}
     \frac{3}{13}=C_1 +C_2 +\frac{3}{13}\cdot 1-\frac{9}{26}\cdot 0+\frac{1}{8}, & \\
     \frac{19}{26}=- C_1 +C_2 +\frac{2}{13}\cdot 0-\frac{7}{26}\cdot 1-\frac{3}{8}; & 
\end{cases}</math>
:<math>  \begin{cases}
     -\frac{1}{8}=C_1 +C_2, & \\
     \frac{19}{26}+\frac{7}{26}+\frac{3}{8}=- C_1 +C_2 ; & 
\end{cases}</math>
:<math>  \begin{cases}
     C_1 +C_2=-\frac{1}{8}, & \\
     -C_1 +C_2=1+\frac{3}{8} ; & 
\end{cases}</math>
:<math>  \begin{cases}
     C_1 +C_2=-\frac{1}{8}, & \\
     -C_1 +C_2=\frac{11}{8} . & 
\end{cases}</math>
:Sudeties budu išsprendžiame sistemą:
:<math>(C_1 +C_2)+(-C_1 +C_2)=-\frac{1}{8}+\frac{11}{8},</math>
:<math>2 C_2=\frac{10}{8},</math>
:<math> C_2=\frac{5}{8};</math>
:<math>C_1 +\frac{5}{8}=-\frac{1}{8},</math>
:<math>C_1 =-\frac{5}{8}-\frac{1}{8},</math>
:<math>C_1 =-\frac{3}{4}.</math>
:Iš čia <math>C_1 =-\frac{3}{4}, \; C_2=\frac{5}{8}.</math> Taigi atskirasis sistemos sprendinys yra toks:
:<math>y=-\frac{3}{4} e^{-x}+\frac{5}{8} e^{5x}+\frac{3}{13}\cos(x)-\frac{9}{26}\sin(x)+\frac{1}{8} e^x,</math>
:<math>z=\frac{3}{4} e^{-x}+\frac{5}{8} e^{5x}+\frac{2}{13}\sin(x)-\frac{7}{26}\cos(x)-\frac{3}{8} e^x.</math>
:Normaliosios diferencialinių lygčių sistemos sudaro vieną sistemų klasę. Tačiau yra įvairių sistemų, kurių išraiška neatitinka (62) sistemos lygčių išraiškos. Kai kurias jų galima išspręsti įvairiais dirbtiniais būdais.


*Išspręskime sistemą
:<math>\frac{d^4 y}{dx^4}=z, \;\; \frac{d^2 z}{dx^2}=y.</math>
:''Sprendimas''. Pirmąją lygtį išdiferencijavę du kartus paeiliui ''x'' atžvilgiu, gauname lygtį
:<math>\frac{d^6 y}{dx^6}=\frac{d^2 z}{dx^2}.</math>
:Tačiau <math>\frac{d^2 z}{dx^2}=y,</math> todėl turime lygtį
:<math>\frac{d^6 y}{dx^6}=y</math> arba <math>\frac{d^6 y}{dx^6}-y=0.</math>
:(Parinkus <math>y=e^{k x},</math> gauname:
:<math>(e^{kx})^{(6)}-e^{k x}=0,</math> 
:<math>k^6 e^{kx}-e^{k x}=0,</math> 
:<math>k^6 -1=0.</math>) 
:Charakteringąją jos lygtį <math>k^6 -1=0</math> galima pertvarkyti taip:
:<math>(k^3-1)(k^3+1)=0,</math>
:<math>(k-1)(k+1)(k^2+k+1)(k^2-k+1)=0.</math>
:Iš čia randame jos šaknis
:<math>k_1=-1,  k_2=1, k_{3, 4}=-\frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2},  k_{5, 6}=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}.</math>
:Vadinasi, bendrasis lygties <math>y^{(6)}-y=0</math> sprendinys yra
:<math>y=C_1 e^{-x}+C_2 e^x+ e^{-{1\over 2}x}\left(C_3\cos\frac{x\sqrt{3}}{2}+C_4\sin\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)+e^{x\over 2}\left(C_3\cos\frac{x\sqrt{3}}{2}+C_4\sin\frac{x\sqrt{3}}{2}\right).</math>
:Funkciją ''z'' rasime išdiferencijavę gautąją ''y'' išraišką keturis kartus. Tai padaryti siūlome skaitytojui.