Matematika/Normalioji diferencialinių lygčių sistema

Tarkime, kad $y_1=y_1(x),y_2=y_2(x),y_3=y_3(x),...,y_n=y_n(x)$ - kintamojo x funkcijos.

Apibrėžimas. Sistemą, kurią sudaro diferencialinės lygtys, siejančios kintamąjį x, funkcijas $y_1,y_2,y_3,...,y_n$ bei jų išvestines, vadinama diferencialinių lygčių sistema.

Toliau nagrinėsime tam tikros išraiškos sistemą

$\{\begin{array}{cc}\frac{d{y}_1}{dx}=f_1(x,y_1,y_2,...,y_n),& \\ \frac{d{y}_2}{dx}=f_2(x,y_1,y_2,...,y_n),& \\ .....................................,(62)& \\ \frac{d{y}_n}{dx}=f_n(x,y_1,y_2,...,y_n),& \end{array}$

kuri vadinama normaliąja diferencialinių lygčių sistema; čia $f_i(x,y_1,y_2,...,y_n)$ - (n-1) kartą diferencijuojamos funkcijos ($1\le i\le n$). Jos sprendiniu tam tikrame intervale vadinsime visumą tame intervale apibrėžtų ir tolydžiai diferencijuojamų funkcijų $y_1={\psi }_1(x),y_2={\psi }_2(x),...,y_n={\psi }_n(x),$ tenkinančių tos sistemos lygtis.

(62) sistemą sprendžaime taip. Pirmąją jos lygtį (galima imti ir kurią nors kitą) išdiferencijuojame kintamojo x atžvilgiu:

$\frac{d^2{y}_1}{d{x}^2}=\frac{\partial f_1}{\partial x}+\frac{\partial f_1}{d{y}_1}\frac{d{y}_1}{dx}+\frac{\partial f_1}{d{y}_2}\frac{d{y}_2}{dx}+\frac{\partial f_1}{d{y}_3}\frac{d{y}_3}{dx}+...+\frac{\partial f_1}{d{y}_n}\frac{d{y}_n}{dx}.(63)$

Į (63) lygtį įrašę išvestinių $\frac{d{y}_1}{dx},...,\frac{d{y}_n}{dx}$ išraiškas, nusakomas (62) lygtimis, gauname lygtį, kurios dešinioji pusė priklauso nuo $x,y_1,y_2,y_3,...,y_n:$

$\frac{d^2{y}_1}{d{x}^2}=\frac{\partial f_1}{\partial x}+\frac{\partial f_1}{d{y}_1}{f}_1(x,y_1,y_2,...,y_n)+\frac{\partial f_1}{d{y}_2}{f}_2(x,y_1,y_2,...,y_n)+\frac{\partial f_1}{d{y}_3}{f}_3(x,y_1,y_2,...,y_n)+...+\frac{\partial f_1}{d{y}_n}{f}_n(x,y_1,y_2,...,y_n),$

$\frac{d^2{y}_1}{d{x}^2}={\varphi }_2(x,y_1,y_2,...,y_n).$

Šią lygtį dar kartą diferencijuojame x atžvilgiu ir vietoj išvestinių $\frac{d{y}_1}{dx},...,\frac{d{y}_n}{dx}$ vėl įrašome jų išraiškas iš (62) sistemos. Gauname lygtį

$\frac{d^3{y}_1}{d{x}^3}={\varphi }_3(x,y_1,y_2,...,y_n).$

Pratęsę šį procesą, pagaliau turime lygtį

$\frac{d^n{y}_1}{d{x}^n}={\varphi }_n(x,y_1,y_2,...,y_n).$

Taigi gauname sistemą

$\{\begin{array}{cc}\frac{d{y}_1}{dx}=f_1(x,y_1,y_2,...,y_n),& \\ \frac{d^2{y}_1}{d{x}^2}={\varphi }_2(x,y_1,y_2,...,y_n),& \\ \frac{d^3{y}_1}{d{x}^3}={\varphi }_3(x,y_1,y_2,...,y_n),(64)& \\ .....................................,& \\ \frac{d^n{y}_1}{d{x}^n}={\varphi }_n(x,y_1,y_2,...,y_n).& \end{array}$

Iš jos, eliminavę funkcijas $y_2,y_3,...,y_n,$ gauname lygtį, siejančią $x,y_1,\frac{d{y}_1}{dx},\frac{d^2{y}_1}{d{x}^2},\frac{d^3{y}_1}{d{x}^3},...,\frac{d^n{y}_1}{d{x}^n},$ taigi gauname n-tosios eilės diferencialinę lygtį.

Išsprendę ją, randame

$y_1=\mathrm{\Phi }(x,C_1,C_2,...,C_n).$

Žinodami $y_1,$ funkcijas $y_2,y_3,...,y_n,$ randame iš (64) sistemos.

Pavyzdžiai

• Rasime sistemos

$\{\begin{array}{cc}\frac{dy}{dx}=2y+3z+e^x,& \\ \frac{dz}{dx}=3y+2z+\sin x.& \end{array}$

atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlygas

$y{|}_{x=0}=\frac{3}{13},z{|}_{x=0}=\frac{19}{26}.$

Sprendimas. Pirmąją sistemos lygtį išdiferencijuojame kintamojo x atžvilgiu:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=2\frac{dy}{dx}+3\frac{dz}{dx}+e^x.$

Į šią lygtį įrašome $\frac{dy}{dx}$ ir $\frac{dz}{dx}$ išraiškas iš duotosios sistemos:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=2(2y+3z+e^x)+3(3y+2z+\sin x)+e^x,$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=13y+12z+3e^x+3\sin x.$

Sudarome sistemą

$\{\begin{array}{cc}\frac{dy}{dx}=2y+3z+e^x,& \\ \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=13y+12z+3e^x+3\sin x.& \end{array}$

ir iš jos eliminuojame funkciją z. Galima daryti taip: pirmąją sistemos lygtį padauginti iš $-4$ ir sudėti su antrąja sistemos lygtimi. Tuomte gausime lygtį

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-4\frac{dy}{dx}=13y+12z+3e^x+3\sin x-4(2y+3z+e^x),$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-4\frac{dy}{dx}=5y-e^x+3\sin x,$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-4\frac{dy}{dx}-5y=3\sin x-e^x.(65)$

Ji ir yra antrosios eilės tiesinė nehomogeninė diferencialinė lygtis. Kadangi jos charakteringoji lygtis $k^2-4k-5=0$ turi šaknis $k_1=-1,k_2=5,$ tai homoheninės lygties ($\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-4\frac{dy}{dx}-5y=0$) bendrasis sprendinys

$\overline{y}=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{5x}.$

Toliau parenkame atskirąjį nehomogeninės lygties sprendinį

$\tilde{y}=M\cos (x)+N\sin (x)+a{e}^x.$

Suradę ${\overline{y}}^{\prime }$ ir ${\overline{y}}^{″}$ bei jų išraiškas į (65) lygtį, gauname:

${\tilde{y}}^{\prime }=(M\cos (x)+N\sin (x)+a{e}^x{)}^{\prime }=-M\sin (x)+N\cos (x)+a{e}^x;$

${\tilde{y}}^{″}=(-M\sin (x)+N\cos (x)+a{e}^x{)}^{\prime }=-M\cos (x)-N\sin (x)+a{e}^x;$

${\tilde{y}}^{″}-4{\tilde{y}}^{\prime }-5\tilde{y}=3\sin x-e^x;$

$-M\cos (x)-N\sin (x)+a{e}^x-4(-M\sin (x)+N\cos (x)+a{e}^x)-5(M\cos (x)+N\sin (x)+a{e}^x)=3\sin (x)-e^x;$

$-M\cos (x)-N\sin (x)+a{e}^x+4M\sin (x)-4N\cos (x)-4a{e}^x-5M\cos (x)-5N\sin (x)-5a{e}^x=3\sin (x)-e^x;$

$-M\cos (x)-N\sin (x)+4M\sin (x)-4N\cos (x)-5M\cos (x)-5N\sin (x)-8a{e}^x=3\sin (x)-e^x;$

$(-6M-4N)\cos (x)+(4M-6N)\sin (x)-8a{e}^x=3\sin (x)-e^x.$

Iš čia

$a=\frac{1}{8}.$

Reikšmes M ir N surasime išsprendę lygčių sistemą:

$\{\begin{array}{cc}-6M-4N=0,& \\ 4M-6N=3.& \end{array}$

Antrąją sistemos lygtį padauginę iš $\frac{3}{2}$ ir pridėję prie pirmosios, gauname:

$(-6M-4N)+\frac{3}{2}(4M-6N)=0+\frac{3}{2}\cdot 3,$

$-6M-4N+6M-9N=\frac{9}{2},$

$-13N=\frac{9}{2},$

$N=-\frac{9}{26}.$

Toliau įstatę surastą N į kurią nors vieną iš lygčių (-6M-4N=0 arba 4M-6N=3) rasime M:

$-6M-4N=0,$

$-6M-4\cdot (-\frac{9}{26})=0,$

$-6M+\frac{18}{13}=0,$

$-M+\frac{3}{13}=0,$

$-M=-\frac{3}{13},$

$M=\frac{3}{13}.$

Taigi

$\tilde{y}=M\cos (x)+N\sin (x)+a{e}^x=\frac{3}{13}\cos (x)-\frac{9}{26}\sin (x)+\frac{1}{8}{e}^x;$

$y=\overline{y}+\tilde{y}=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{5x}+\frac{3}{13}\cos (x)-\frac{9}{26}\sin (x)+\frac{1}{8}{e}^x.$

Iš pirmosios sistemos lygties turime

$\frac{dy}{dx}=2y+3z+e^x,$

$\frac{dy}{dx}-2y-e^x=3z,$

$z=\frac{1}{3}(\frac{dy}{dx}-2y-e^x).$

Kadangi

$\frac{dy}{dx}=(C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{5x}+\frac{3}{13}\cos (x)-\frac{9}{26}\sin (x)+\frac{1}{8}{e}^x{)}^{\prime }=-C_1{e}^{-x}+5C_2{e}^{5x}-\frac{3}{13}\sin (x)-\frac{9}{26}\cos (x)+\frac{1}{8}{e}^x,$

tai

$z=\frac{1}{3}(-C_1{e}^{-x}+5C_2{e}^{5x}-\frac{3}{13}\sin (x)-\frac{9}{26}\cos (x)+\frac{1}{8}{e}^x-2y-e^x)=$

$=\frac{1}{3}(-C_1{e}^{-x}+5C_2{e}^{5x}-\frac{3}{13}\sin (x)-\frac{9}{26}\cos (x)+\frac{e^x-8e^x}{8}-2y)=$

$=\frac{1}{3}(-C_1{e}^{-x}+5C_2{e}^{5x}-\frac{3}{13}\sin (x)-\frac{9}{26}\cos (x)-\frac{7}{8}{e}^x-2y)=$

$=-\frac{1}{3}{C}_1{e}^{-x}+\frac{5}{3}{C}_2{e}^{5x}-\frac{1}{13}\sin (x)-\frac{3}{26}\cos (x)-\frac{7}{24}{e}^x-\frac{2}{3}y.$

Gavome tokį sistemos sprendinį

$y=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{5x}+\frac{3}{13}\cos (x)-\frac{9}{26}\sin (x)+\frac{1}{8}{e}^x,$

$z=-\frac{1}{3}{C}_1{e}^{-x}+\frac{5}{3}{C}_2{e}^{5x}-\frac{1}{13}\sin (x)-\frac{3}{26}\cos (x)-\frac{7}{24}{e}^x-\frac{2}{3}y.$

($z=-\frac{1}{3}{C}_1{e}^{-x}+\frac{5}{3}{C}_2{e}^{5x}-\frac{1}{13}\sin (x)-\frac{3}{26}\cos (x)-\frac{7}{24}{e}^x-\frac{2}{3}(C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{5x}+\frac{3}{13}\cos (x)-\frac{9}{26}\sin (x)+\frac{1}{8}{e}^x),$

$z=-\frac{1}{3}{C}_1{e}^{-x}+\frac{5}{3}{C}_2{e}^{5x}-\frac{1}{13}\sin (x)-\frac{3}{26}\cos (x)-\frac{7}{24}{e}^x-\frac{2}{3}{C}_1{e}^{-x}-\frac{2}{3}{C}_2{e}^{5x}-\frac{2}{13}\cos (x)+\frac{6}{26}\sin (x)-\frac{2}{24}{e}^x,$

$z=-C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{5x}+\frac{2}{13}\sin (x)-\frac{7}{26}\cos (x)-\frac{3}{8}{e}^x$).

Norėdami rasti konstantų $C_1$ ir $C_2$ reikšmes, tenkinančias duotas pradines sąlygas, į bendrąjį sprendinį įrašome $x=0,y=\frac{3}{13}$ ir $z=\frac{19}{26}.$ Gauname sistemą

$\{\begin{array}{cc}y=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{5x}+\frac{3}{13}\cos (x)-\frac{9}{26}\sin (x)+\frac{1}{8}{e}^x,& \\ z=-C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{5x}+\frac{2}{13}\sin (x)-\frac{7}{26}\cos (x)-\frac{3}{8}{e}^x;& \end{array}$

$\{\begin{array}{cc}\frac{3}{13}=C_1{e}^{-0}+C_2{e}^{5\cdot 0}+\frac{3}{13}\cos (0)-\frac{9}{26}\sin (0)+\frac{1}{8}{e}^0,& \\ \frac{19}{26}=-C_1{e}^{-0}+C_2{e}^{5\cdot 0}+\frac{2}{13}\sin (0)-\frac{7}{26}\cos (0)-\frac{3}{8}{e}^0;& \end{array}$

$\{\begin{array}{cc}\frac{3}{13}=C_1+C_2+\frac{3}{13}\cdot 1-\frac{9}{26}\cdot 0+\frac{1}{8},& \\ \frac{19}{26}=-C_1+C_2+\frac{2}{13}\cdot 0-\frac{7}{26}\cdot 1-\frac{3}{8};& \end{array}$

$\{\begin{array}{cc}-\frac{1}{8}=C_1+C_2,& \\ \frac{19}{26}+\frac{7}{26}+\frac{3}{8}=-C_1+C_2;& \end{array}$

$\{\begin{array}{cc}{C}_1+C_2=-\frac{1}{8},& \\ -C_1+C_2=1+\frac{3}{8};& \end{array}$

$\{\begin{array}{cc}{C}_1+C_2=-\frac{1}{8},& \\ -C_1+C_2=\frac{11}{8}.& \end{array}$

Sudeties budu išsprendžiame sistemą:

$(C_1+C_2)+(-C_1+C_2)=-\frac{1}{8}+\frac{11}{8},$

$2C_2=\frac{10}{8},$

$C_2=\frac{5}{8};$

$C_1+\frac{5}{8}=-\frac{1}{8},$

$C_1=-\frac{5}{8}-\frac{1}{8},$

$C_1=-\frac{3}{4}.$

Iš čia $C_1=-\frac{3}{4},C_2=\frac{5}{8}.$ Taigi atskirasis sistemos sprendinys yra toks:

$y=-\frac{3}{4}{e}^{-x}+\frac{5}{8}{e}^{5x}+\frac{3}{13}\cos (x)-\frac{9}{26}\sin (x)+\frac{1}{8}{e}^x,$

$z=\frac{3}{4}{e}^{-x}+\frac{5}{8}{e}^{5x}+\frac{2}{13}\sin (x)-\frac{7}{26}\cos (x)-\frac{3}{8}{e}^x.$

Normaliosios diferencialinių lygčių sistemos sudaro vieną sistemų klasę. Tačiau yra įvairių sistemų, kurių išraiška neatitinka (62) sistemos lygčių išraiškos. Kai kurias jų galima išspręsti įvairiais dirbtiniais būdais.

• Išspręskime sistemą

$\frac{d^{4}y}{d{x}^4}=z,\frac{d^{2}z}{d{x}^2}=y.$

Sprendimas. Pirmąją lygtį išdiferencijavę du kartus paeiliui x atžvilgiu, gauname lygtį

$\frac{d^{6}y}{d{x}^6}=\frac{d^{2}z}{d{x}^2}.$

Tačiau $\frac{d^{2}z}{d{x}^2}=y,$ todėl turime lygtį

$\frac{d^{6}y}{d{x}^6}=y$ arba $\frac{d^{6}y}{d{x}^6}-y=0.$

(Parinkus $y=e^{kx},$ gauname:

$(e^{kx}{)}^{(6)}-e^{kx}=0,$

$k^6{e}^{kx}-e^{kx}=0,$

$k^6-1=0.$)

Charakteringąją jos lygtį $k^6-1=0$ galima pertvarkyti taip:

$(k^3-1)(k^3+1)=0,$

$(k-1)(k+1)(k^2+k+1)(k^2-k+1)=0.$

Iš čia randame jos šaknis

$k_1=-1,k_2=1,k_{3,4}=-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2},k_{5,6}=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Vadinasi, bendrasis lygties $y^{(6)}-y=0$ sprendinys yra

$y=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^x+e^{-\frac{1}{2}x}(C_3\cos \frac{x\sqrt{3}}{2}+C_4\sin \frac{x\sqrt{3}}{2})+e^{\frac{x}{2}}(C_3\cos \frac{x\sqrt{3}}{2}+C_4\sin \frac{x\sqrt{3}}{2}).$

Funkciją z rasime išdiferencijavę gautąją y išraišką keturis kartus. Tai padaryti siūlome skaitytojui.