Peržiūrėti šaltinį Matematika/Paprasčiausios algebrinės lygtys

Čia aprašomos paprasčiausios algebrinės lygtys ir jų sprendimai. Aiškinama sunkėjimo tvarka.

Naudosime tokį žymėjimą: ''x'', ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub> ir t.t. žymės nežinomuosius, o ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' ir t.t.  – konkrečius duotus skaičius.

== Pagrindinė algebros teorema ==

<math>n</math>-tojo laipsnio polinomas (taigi, ir lygtis) turi lygiai ''n'' kompleksinių šaknų (sprendinių).

== Tiesinė lygtis ==

Bendra forma:

<math>a\cdot x = b</math>

Sprendinys:

<math>x=\frac{b}{a}</math>


Bendra forma:

<math>ax^2=b\,</math>

Sprendimas:

<math>\begin{align}

x^2 & =\frac{b}{a}\\
x_{1,2} & =\pm\sqrt\frac{a}{b}
\end{align}</math>

== Vijeto teorema ==

Vijeto formulės kvadratiniam polinomui <math>p(X)=ax^2 + bx + c\,</math> ir jo šaknims <math>x_1, x_2\,</math> [[kvadratinė lygtis|kvadratinėje lygtyje]] <math>p(x)=0\,</math> yra
:<math> x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}</math>
/lm;
Pavyzdžiui, jei turime kvadratinę lygtį 
:<math>x^2 - x - 6 = 0,\,</math>
ją išspręsti galime pasinaudoję Vijeto teorema ir sudarę [[lygčių sistema|lygčių sistemą]]
:<math>
\begin{cases}
x_1 + x_2 = -\frac{-1}{1}\\
x_1 \cdot x_2 = \frac{-6}{1}
\end{cases}</math>
Jei šią sistemą bandytume spręsti formaliai (pvz., išsireikšdami vieną iš kintamųjų), vėl gautume tą pačią lygtį. Praktikoje, naudojant Vijeto teoremą lygčių sprendimui, sprendinius x<sub>1</sub> ir x<sub>2</sub> bandoma „atspėti“ - sugalvoti tokius x<sub>1</sub> ir x<sub>2</sub>, kad jie tenkintų lygčių sistemą. Šiuo atveju sprendiniai yra -2 ir 3.

Vijeto formulės kubiniam polinomui <math>p(X)=aX^3 + bX^2 + cX + d\,</math> ir jo šaknims <math>x_1, x_2, x_3\,</math> lygtyje <math>p(X)=0\,</math> yra 
:<math> x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}, \quad x_1 x_2 x_3 = - \frac{d}{a}</math>

== Pilnoji kvadratinė lygtis ==

Bendra forma:

<math>ax^2+bx+c=0\,</math>

Sprendimas:

randame pagalbinį skaičių – diskriminantą D:

<math>D=b^2-4ac\,</math>

Tada jei <math>D<0</math>, tai realiųjų skaičių aibėje sprendinių nėra. Priešingu atveju realiuosius sprendinius rasime taip:

<math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}</math>

*Pavyzdžiui, reikia surasti kuriuose taškuose kertasi parabolė su ''Ox'' ašimi.
:<math>3x^2+8x+4=0,</math>
:<math>D=b^2-4ac=8^2-4\cdot 3\cdot 4=64-48=16,</math>
:<math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-8\pm\sqrt{16}}{2\cdot 3}=\frac{-8\pm 4}{6}=-\frac{2}{3}; \; -2.</math>
:Patikriname:
:<math>3\cdot(-\frac{2}{3})^2+8\cdot (-\frac{2}{3})+4=3\cdot\frac{4}{9}-\frac{16}{3}+4=\frac{4}{3}-\frac{16}{3}+4=\frac{4-16}{3}+4=\frac{-12}{3}+4=-4+4=0;</math>
:<math>3\cdot (-2)^2+8\cdot (-2)+4=3\cdot 4-16+4=12-16+4=0.</math>

== <math>c=0</math>==

Bendra forma:

<math>ax^2+bx=0\,</math>

Sprendimas:

iškeliame ''x'' prieš skliaustus:

<math>x(ax+b)=0\,</math>

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

<math>\begin{align}
x=0\qquad\operatorname{arba}\qquad ax &=-b\\
x &=-\frac{b}{a}
\end{align}</math>

== Kvadratinė lygtis, kurios <math>a=1</math>==

Duota kvadratinė lygtis:
:<math>x^2+bx+c=0,</math>
kurią perrašome taip:
:<math>\left(x+\frac{b}{2}\right)^2+\left(c-\frac{b^2}{4}\right)=0.</math>
:Čia <math>\left(x+\frac{b}{2}\right)^2=x^2+bx+\frac{b^2}{4}.</math>
:Todėl:
:<math>\left(x+\frac{b}{2}\right)^2=-\left(c-\frac{b^2}{4}\right),</math>
:<math>\left(x+\frac{b}{2}\right)^2=\frac{b^2}{4}-c,</math>
:<math>x+\frac{b}{2}=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-c},</math>
:<math>x=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-c},</math>
:<math>x=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}\cdot (b^2-4c)},</math>
:<math>x=-\frac{b}{2}\pm\frac{1}{2}\cdot \sqrt{b^2-4c},</math>
:<math>x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4c}}{2}.</math>
:<math>x_{1}=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4c}}{2}; \quad x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^2-4c}}{2}.</math>

== Kvadratinė lygtis, kurios ''a'' yra bet koks==

Duota kvadratinė lygtis:
:<math>a x^2+bx+c=0,</math>
:<math>x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\frac{c}{a}=0,</math>
kurią perrašome taip:
:<math>\left(x+\frac{b}{2 \cdot a}\right)^2+\left(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4\cdot a^2}\right)=0.</math>
:Čia <math>\left(x+\frac{b}{2 \cdot a}\right)^2=x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\frac{b^2}{4\cdot a^2}.</math>
:Todėl:
:<math>\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2=-\left(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4 a^2}\right),</math>
:<math>\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2=\frac{b^2}{4 a^2}-\frac{c}{a},</math>
:<math>x+\frac{b}{2 a}=\pm\sqrt{\frac{b^2}{4 a^2}-\frac{c}{a}},</math>
:<math>x=-\frac{b}{2 a}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4 a^2}-\frac{c}{a}},</math>
:<math>x=-\frac{b}{2 a}\pm\sqrt{\frac{1}{4 a^2}\cdot (b^2-4 a c)},</math>
:<math>x=-\frac{b}{2 a}\pm\frac{1}{2 a}\cdot \sqrt{b^2-4 a c},</math>
:<math>x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2a}.</math>
:<math>x_{1}=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4 a c}}{2a}; \quad x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2a}.</math>

== Bikvadratinė lygtis ==

Bendra forma:

<math>ax^4+bx^2+c=0\,</math>

Sprendimas:

pažymime <math>x^2=y\,</math>, tada <math>x^4=y^2\,</math>. 

<math>ay^2+by+c=0\,</math>,

o tai pilnoji kvadratinė lygtis, kuri jau išspręsta anksčiau. Jos sprendiniai yra <math>y_1</math> ir <math>y_2</math>.

Grįžtame prie pažymėjimo:

<math>y_1=x^2\qquad\operatorname{ir}\qquad y_2=x^2</math>,

o tai kvadratinės lygtys, kurios jau išspręstos anksčiau. Iš jų rasime sprendinius <math>x_1, x_2, x_3, x_4</math>.

== Kubinė lygtis, kurios <math>d=0</math> ==

Bendra forma:

Sprendimas:

iškeliame ''x'' prieš skliaustus:

<math>x(ax^2+bx+c)=0\,</math>

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

<math>x=0\qquad\operatorname{arba}\qquad ax^2+bx+c=0</math>

Išsprendę kvadratinę lygtį, būsime radę visus tris lygties sprendinius <math>x_1,x_2, x_3</math>.

== Pilnoji kubinė lygtis ==

Bendra forma:

<math>ax^3+bx^2+cx+d=0\,</math>

Sprendimas:

Lygtį padalijame iš a ir keitiniu <math>x=y-\frac{b}{3}</math>,
pertvarkome lygtį į paprastesnį pavidalą

<math>x^3+px+q=0\,</math>.

Randame pagalbinį skaičių – diskriminantą:

<math>D=(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3</math>

Kubinės lygties su realiaisiais koeficientais diskriminantas apibrėžia, kokias šaknis turi lygtis:
  
1. Jei D > 0, viena šaknis yra realioji ir dvi kompleksinės.

2. Jei D = 0, visos šaknys yra realiosios ir bent dvi iš jų yra vienodos. 

3. Jei D < 0, visos trys šaknys yra realiosios ir skirtingos.

Pagal Kardano formulę, viena lygties šaknis

<math>x_1=\sqrt[3]{-\frac{p}{2}+\sqrt{D}}+\sqrt[3]{-\frac{p}{2}-\sqrt{D}}</math>

Kai D > 0, ši šaknis vienintelė

Kai D ≤ 0, tai lygtį <math>ax^3+bx^2+cx+d=0\,</math> padaliję iš reiškinio <math>x-x_1\,</math>, gausime kvadratinę lygtį, kurios sprendimas nurodytas aukščiau.


[[kategorija: Matematika]]