Peržiūrėti šaltinį Matematika/Pasikliautiniai intervalai dispersijose

Sudarysime pasikliautinį intervalą pagal normalųjį dėsnį pasiskirsčiusio dydžio <math>X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)</math> dispersijai <math>\mathbf{D}[X] = \sigma^2</math>. Jeigu atsitiktinio dydžio vidurkis yra žinomas, o <math> \langle N_1, N_2, \dots, N_n \rangle</math> atsitiktinė imtis, tai dispersijos taškiniam įverčiui galime naudoti statistiką 

<center><math> S_0^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 </math>.</center>


Šis įvertis yra nepaslinktas, t.y. <math> \mathbf{E} [S_0^2] = \sigma^2 </math>. Jeigu padalytume iš dispersijos, gautume 

<center><math> \frac {S_0^2}{\sigma^2} = \frac{1}{n\sigma^2} \sum_{i=1}^n(X_i - \mu)^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left (\frac{X_i - \mu}{\sigma} \right )^2</math>, &nbsp; <math>\frac{n S_0^2}{\sigma^2} = \sum_{i=1}^n \left (\frac{X_i - \mu}{\sigma} \right )^2</math>.</center> 

Panagrinėkime dydžius <math>Y_i = \left ( X_i - \mu \right ) / \sigma</math>. Jie yra nepriklausomi, normalieji. Dar daugiau, kadangi <math>\mathbf{E}[Y_i] = 0</math>, <math>\mathbf{D}[Y_i] = 1</math>, tai dydžiai yra standartiniai normalieji, <math>Y_i \sim \mathcal{N}(0,1)</math>. Tačiau tada 

<center><math>\frac{n S_0^2}{\sigma^2} = \sum_{i=1}^n Y_i \sim \mathcal{X}^2(n),</math></center>

taigi žinome koks yra statistikos <math>n S_0^2/\sigma^2</math> pasiskirstymo dėsnis. Toliau sudaryti pasikliautinį intervalą galime panašiai kaip vidurkio atveju. Po dydžio <math>\mathcal{X}_n^2 \sim \mathcal{X}^2(n)</math> tankiu tiesėmis <math>x = u</math>, <math>x = v</math>, <math>y = 0</math> apribokime ploto <math>\mathrm{Q} \,\!</math> figūrą. Čia <math>0 < \mathrm{Q} < 1 \,\!</math> yra pasikliovimo lygmuo. Tada

<center><math>P \left ( u < \frac {n S_0^2}{\sigma^2}< v \right) = Q</math>, &nbsp; arba <math> P \left ( \frac {nS_0^2}{v} < \sigma^2 < \frac {n S_0^2}{u} \right ) = Q </math></center>

Kaip parinkti skaičius <math>u</math>, <math>v</math>? Geriausia juos parinkti taip, kad plotai po tankio grafiku į kairę nuo tiesės <math>x = u</math> ir į dešinę nuo tiesės <math>x = v</math> būtų lygūs <math>(1 - \mathrm{Q})/2 \,\!</math>. Tada šie skaičiai būtų lygūs dydžio <math>\mathcal{X}_n^2</math> atitinkamai <math>(1 - Q)/2 \,\!</math> ir <math>(1 + Q)/2 \,\!</math> lygmens kvantiliai, t.y. lygčių 

<center><math>\mathrm{F}_{\mathcal{X}_n^2}(u) = \frac{1 - \mathrm{Q}}{2}</math>, &nbsp; <math>\mathrm{F}_{\mathcal{X}_n^2}(v) = \frac{1 + \mathrm{Q}}{2}</math>,</center>

sprendiniai. Juos galime rasti iš lentelių arba apskaičiuoti kompiuteriu.

[[Category:Matematika]]