Matematika/Pasikliautiniai intervalai dispersijose

Sudarysime pasikliautinį intervalą pagal normalųjį dėsnį pasiskirsčiusio dydžio $X\sim 𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$ dispersijai $𝐃[X]={\sigma }^2$. Jeigu atsitiktinio dydžio vidurkis yra žinomas, o $⟨N_1,N_2,\dots ,N_n⟩$ atsitiktinė imtis, tai dispersijos taškiniam įverčiui galime naudoti statistiką

$S_0^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$.

Šis įvertis yra nepaslinktas, t.y. $𝐄[S_0^2]={\sigma }^2$. Jeigu padalytume iš dispersijos, gautume

$\frac{S_0^2}{{\sigma }^2}=\frac{1}{n{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2$,   $\frac{n{S}_0^2}{{\sigma }^2}=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2$.

Panagrinėkime dydžius $Y_i=(X_i-\mu )/\sigma$. Jie yra nepriklausomi, normalieji. Dar daugiau, kadangi $𝐄[Y_i]=0$, $𝐃[Y_i]=1$, tai dydžiai yra standartiniai normalieji, $Y_i\sim 𝒩(0,1)$. Tačiau tada

$\frac{n{S}_0^2}{{\sigma }^2}=\sum _{i=1}^n{Y}_i\sim {𝒳}^2(n),$

taigi žinome koks yra statistikos $n{S}_0^2/{\sigma }^2$ pasiskirstymo dėsnis. Toliau sudaryti pasikliautinį intervalą galime panašiai kaip vidurkio atveju. Po dydžio ${𝒳}_n^2\sim {𝒳}^2(n)$ tankiu tiesėmis $x=u$, $x=v$, $y=0$ apribokime ploto $\mathrm{Q}$ figūrą. Čia $0<\mathrm{Q}<1$ yra pasikliovimo lygmuo. Tada

$P(u<\frac{n{S}_0^2}{{\sigma }^2}<v)=Q$,   arba $P(\frac{n{S}_0^2}{v}<{\sigma }^2<\frac{n{S}_0^2}{u})=Q$

Kaip parinkti skaičius $u$, $v$? Geriausia juos parinkti taip, kad plotai po tankio grafiku į kairę nuo tiesės $x=u$ ir į dešinę nuo tiesės $x=v$ būtų lygūs $(1-\mathrm{Q})/2$. Tada šie skaičiai būtų lygūs dydžio ${𝒳}_n^2$ atitinkamai $(1-Q)/2$ ir $(1+Q)/2$ lygmens kvantiliai, t.y. lygčių

${\mathrm{F}}_{{𝒳}_n^2}(u)=\frac{1-\mathrm{Q}}{2}$,   ${\mathrm{F}}_{{𝒳}_n^2}(v)=\frac{1+\mathrm{Q}}{2}$,

sprendiniai. Juos galime rasti iš lentelių arba apskaičiuoti kompiuteriu.