Peržiūrėti šaltinį Matematika/Piramidė

:Piramidės pagrindas gali būti bet kokia plokščia figūra, o piramidės aukštis yra aukštinės, kuri statmena pagrindui, ilgis.

==Piramidės tūris==

Piramidės, kurios pagrindas yra ''S'', o aukštinė ''h'', tūris yra:
:<math>V=\frac{S\cdot h}{3}.</math>

==Nupjautinės piramidės tūris==
:Nupjautinės piramidės, kurios aukštinė lygi ''h'', o pagrindų plotai ''S'' ir <math>S_1</math>, tūrio formulė yra:
:<math>V=\frac{1}{3}h(S+S_1+\sqrt{S\cdot S_1})=\frac{1}{3}\cdot h\cdot (\pi r^2 +\pi r_1^2+\sqrt{\pi r^2\cdot \pi r_1^2})=\frac{1}{3}\cdot h\cdot \pi( r^2 + r_1^2+ r\cdot r_1).</math>

:Jei daugiakampės nupjautinės piramidės pagrindų atitinkamos kraštinės yra ''A'' ir ''a''; ''S'' - dydžiojo pagrindo plotas; <math>S_1</math> - mažojo pagrindo plotas, tai piramidės tūris yra:
:<math>V=\frac{1}{3}h(S+S_1+\sqrt{S\cdot S_1})=\frac{1}{3}h S\left[1+\frac{a}{A}+\left(\frac{a}{A}\right)^2 \right].</math>

*Pavyzdžiui, nupjautinio kūgio, kurio <math>r=8</math>, <math>r_1=3</math>, <math>h=5</math>, tūris yra:
:<math>V=\frac{1}{3}h(S+S_1+\sqrt{S\cdot S_1})=\frac{1}{3}\cdot 5\cdot (\pi\cdot  8^2 +\pi\cdot  3^2+\sqrt{\pi\cdot  8^2\cdot \pi\cdot 3^2})=\frac{1}{3}\cdot 5\pi (64+9+8\cdot 3)= \frac{1}{3}\cdot 5\pi \cdot 97=\frac{485\pi}{3}=507.8908123.</math>
:Kai apotema su kūgio pagrindu sudaro 45 laipsnių kampą kaip šiame pavyzdyje, tai nupjautinio kūgio tūris gali būtis apskaičiuotas taikant sukimo paviršiaus tūrio skaičiavimą integravimo metodu:
:<math>V=\pi\int_3^8 r^2 dr=\pi\int_3^8 x^2 dx=\pi\cdot \frac{x^3}{3}|_3^8=\pi(\frac{8^3}{3}-\frac{3^3}{3})=\pi(\frac{512}{3}-\frac{27}{3})=\pi(\frac{512}{3}-9)=161.666667\pi=507.8908123.</math>

*'''Pavyzdis'''. Nupjautinės piramidės, kurios pagrindai kvadratai su kraštinėmis <math>A=5</math>, <math>a=3</math>, aukštine <math>h=4</math>, tūris yra:
:<math>V=\frac{1}{3}h(S+S_1+\sqrt{S\cdot S_1})=\frac{1}{3}h(A^2+a^2+\sqrt{A^2\cdot a^2})=\frac{4}{3}(5^2+3^2+5 \cdot 3)=\frac{4}{3}(25+9+15)=\frac{4}{3}\cdot 49=\frac{196}{3}=65,3(3).</math>
:<math>V=\frac{1}{3}h S\left[1+\frac{a}{A}+\left(\frac{a}{A}\right)^2 \right]=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot 5^2 \left[1+\frac{3}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^2 \right]=\frac{100}{3}\cdot 1,96=65,33333333.</math>

*'''Pavyzdis'''. Nupjautinės piramidės, kurios pagrindai stačiakampiai su didžiojo pagrindo kraštinėmis <math>A=5</math>, <math>B=7</math> ir mažojo pagrindo kraštinėmis <math>a=3</math>, <math>b=4.2</math>, aukštine <math>h=4</math>, tūris yra:
:<math>V=\frac{1}{3}h(S+S_1+\sqrt{S\cdot S_1})=\frac{1}{3}h(A\cdot B+a\cdot b+\sqrt{A\cdot B\cdot a\cdot b})=\frac{4}{3}(5\cdot 7+3\cdot 4.2+\sqrt{5\cdot 7\cdot 3\cdot 4.2})=\frac{4}{3}(35+12.6+\sqrt{441})=</math>
:<math>=\frac{4}{3}(47.6+21)=\frac{4}{3}\cdot 68.6=\frac{274.4}{3}=91.46666667.</math>
:<math>V=\frac{1}{3}h S\left[1+\frac{a}{A}+\left(\frac{a}{A}\right)^2 \right]=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot 5\cdot 7 \left[1+\frac{3}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^2 \right]=\frac{140}{3}\cdot 1.96=91.466666667.</math>
:Kraštinių santykis vienodas, 7/5=1.4 ir 4.2/3=1.4.

==Nupjautinės piramidės tūrio formulės įrodymas==

:Nupjautinės piramidės, kurios aukštinė ''H'', o pagrindų plotai ''S'' ir ''s'', tūris lygus <math>\frac{1}{3}H(S+s+\sqrt{Ss}).</math> Įrodykime.
:Sakykime, piramidės viršūnė yra taškas ''O''. Per tašką ''O'' mubrėžkime ''Ox'' ašį, statmeną piramidės pagrindui. Tarkime, kad nupjautinės piramidės pagrindai kerta ''Ox'' ašį taškuose ''a'' ir ''b'' (''a''<''b''). Kiekviena ''Ox'' ašiai statmena plokštuma, kertanti tos ašies atkarpą [''a''; ''b''] taške ''x'', išpjauna iš piramidės daugiakampį, panašų į piramidės pagrindą. Todėl to pjūvio plotas ''S(x)'' lygus <math>k x^2;</math> čia <math>k = \frac{S}{b^2}.</math> Be to,
:<math>s=S(a)=ka^2 \; </math> ir <math>\; S=S(b)=kb^2 . </math>
:Nupjautinės piramidės tūrį skaičiuojame pagal formulę:
:<math>V=\int_a^b S(x) dx=\int_a^b kx^2 dx=\frac{k}{3} x^3 |_a^b=\frac{k}{3}(b^3-a^3)=</math>
:<math>=\frac{b-a}{3}(kb^2 +kab+ ka^2)=\frac{H}{3}(S+\sqrt{Ss}+s).</math>
:Taikydami šią formulę piramidei, tariame, kad <math>s=0.</math> Gauname
:<math>V=\frac{1}{3}HS.</math>



[[Kategorija:Matematika]]