Peržiūrėti šaltinį Matematika/Pirmos eilės tiesinės diferencialinės lygtys

Šis straipsnis yra apie ''Pirmos eilės tiesines diferencialines lygtis''.

*<math>y'+P(x)y=Q(x),</math>
:<math>{dy\over dx}+P(x)y=Q(x),</math>
:<math>y=uv</math>, <math>y'=u'v+uv'.</math>
:<math>u'v+uv'+P(x)uv=Q(x),</math>
:<math>v(u'+P(x)u)+uv'=Q(x);</math>
:<math>u'+P(x)u=0,</math>
:<math>{du\over u}=-P(x)dx,</math>
:<math>u=C_1 e^{-\int P(x)dx};</math>
:<math>C_1 e^{-\int P(x)dx}v'=Q(x),</math>
:<math>v'={1\over C_1}Q(x)e^{\int P(x)dx},</math>
:<math>v=\int {1\over C_1}Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C_2;</math>
:<math>y=uv=C_1 e^{-\int P(x)dx}(\int {1\over C_1}Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C_2)=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C_1 C_2)=</math>
<math>=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C).</math>


*<math>y'={2y\over x}+x^2 e^x-1,</math>
:<math>y'-{2\over x}\cdot y=x^2 e^x-1,</math>
:<math>y=uv,</math> <math>y'=u'v+uv',</math>
:<math>u'v+uv'-{2\over x}uv=x^2 e^x-1,</math>
:<math>v(u'-{2\over x}u)+uv'=x^2 e^x-1;</math>
:<math>u'-{2\over x}u=0,</math>
:<math>{du\over u}={2\over x}dx,</math>
:<math>\ln|u|=2\ln|x|,</math>
:<math>u=x^2;</math>
:<math>x^2 v'=x^2 e^x-1,</math>
:<math>dv=(e^x-{1\over x^2})dx,</math>
:<math>v=e^x+{1\over x}+C;</math>
:<math>y=uv=x^2(e^x+{1\over x}+C)=Cx^2+x^2 e^x+x.</math>


*<math>y'-ay=e^{bx},</math>
:<math>y=uv,</math> <math>y'=u'v+uv',</math>
:<math>u'v+uv'-auv=e^{bx},</math>
:<math>v(u'-au)+uv'=e^{bx};</math>
:<math>u'-au=0,</math>
:<math>{du\over dx}=au,</math>
:<math>{du\over u}=a\;dx,</math>
:<math>\ln|u|=ax,</math>
:<math>u=e^{ax};</math>
:<math>e^{ax}v'=e^{bx},</math>
:<math>{dv\over dx}=e^{bx-ax},</math>
:<math>\int dv=\int e^{(b-a)x}dx,</math>
:<math>v={1\over b-a}e^{(b-a)x}+C,</math> jei <math>a\neq b</math> ir <math>v=x+C,</math> jei <math>a=b,</math> nes <math>e^0=1;</math>
:<math>y=uv=e^{ax}({e^{(b-a)x}\over b-a}+C)={e^{bx}\over b-a}+Ce^{ax},</math> jei <math>a\neq b</math> ir <math>y=e^{ax}(x+C),</math> jei <math>a=b.</math> 


*<math>x_y'+P(y)x=Q(y),</math>
:<math>{dx\over dy}+P(y)x=Q(y),</math>
:<math>x=uv,</math> <math>u=u(y),</math> <math>v=v(y).</math>


*<math>y'={1\over \cos^2 y-x\tan y},</math>
:<math>{1\over y_x'}=x_y',</math>
:<math>{1\over x_y'}={1\over \cos^2 y-x\tan y},</math>
:<math>x_y'=\cos^2 y-x\tan y,</math>
:<math>x_y'+x\tan y=\cos^2 y,</math>
:<math>x=x(y),</math> <math>x=uv,</math> <math>x_y'=u'v+uv'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x),</math>
:<math>u'v+uv'+uv\tan y=\cos^2 y,</math>
:<math>v(u'+u\tan y)+uv'=\cos^2 y;</math>
:<math>u'+u\tan y=0,</math>
:<math>{du\over u}=-\tan y dy,</math>
:<math>\ln|u|=\ln|\cos y|;</math>
:<math>v'\cos y=\cos^2 y,</math>
:<math>v'=\cos y,</math>
:<math>v=\sin y+C;</math>
:<math>x=uv=\cos y(\sin y+C)=\sin y\cos y+C\cos y.</math> 


====Konstantos variacijos metodas (Lagranžo metodas)====

*<math>y'+P(x)y=Q(x);</math>
:<math>y'+P(x)y=0,</math>
:<math>\frac{y'}{y}=-P(x),</math>
:<math>\ln y+\ln C=-\int P(x) dx,</math>
:<math>y=Ce^{-\int P(x)dx};</math>
:<math>y=C(x)e^{-\int P(x)dx};</math>
:<math>y'+P(x)y=C'(x)e^{-\int P(x)dx}+C(x)e^{-\int P(x)dx}\cdot (-P(x))+P(x)C(x)e^{-\int P(x)dx}=Q(x),</math>
:<math>C'(x)e^{-\int P(x)dx}=Q(x),</math>
:<math>C'(x)=Q(x)e^{\int P(x)dx},</math>
:<math>C(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C.</math>


*<math>y'-{2xy\over 1+x^2}=1+x^2,</math> <math>y|_{x=2}=5;</math>
:<math>y'-{2xy\over 1+x^2}=0,</math>
:<math>{dy\over dx}={2xy\over 1+x^2},</math>
:<math>\int {dy\over y}=\int{2x\over 1+x^2}dx,</math>
:<math>\int {dy\over y}=\int{d(1+x^2)\over 1+x^2},</math>
:<math>\ln|y|=\ln|1+x^2|+\ln|C|,</math>
:<math>y=C(1+x^2);</math>
:<math>y=C(x)(1+x^2),</math> <math>y'=C'(x)\cdot (1+x^2)+C(x)2x;</math>
:<math>y'-{2xy\over 1+x^2}=C'(x)(1+x^2)+C(x)\cdot 2x-{2xC(x)(1+x^2)\over 1+x^2}=1+x^2,</math>
:<math>C'(x)\cdot(1+x^2)=1+x^2,</math> 
:<math>C'(x)=1,\; C(x)=x+C;</math>
:<math>y=(x+C)(1+x^2);</math>
:<math>5=(2+C)(1+2^2),</math>
:<math>1=2+C,</math>
:<math>C=-1;</math>
:<math>y=(x-1)(1+x^2).</math>


*<math>{dz\over dx}+{3\over x}z=0,</math>
:<math>\int{dz\over z}=-3\int{dx\over x},</math>
:<math>\ln|z|=-3\ln|x|+\ln|C|=\ln|Cx^{-3}|,</math>
:<math>z={C\over x^3};</math>
:<math>C=C(x),</math> <math>z=C(x)x^{-3},</math> <math>{dz\over dx}={dC(x)\over dx}{1\over x^3}-{3C(x)\over x^4},</math>
:<math>{dz\over dx}+{3\over x}z={dC(x)\over dx}{1\over x^3}-{3C(x)\over x^4}+{3\over x}{C(x)\over x^3}=x^3,</math>
:<math>{dC(x)\over dx}{1\over x^3}=x^3,</math>
:<math>{dC(x)\over dx}=x^6,</math>
:<math>\int dC(x)=\int x^6 dx,</math>
:<math>C(x)={x^7\over 7}+C_1;</math>
:<math>z={C(x)\over x^3}={{x^7\over 7}+C_1\over x^3}={x^4\over 7}+{C_1\over x^3}.</math>

[[Kategorija:Matematika]]