Peržiūrėti šaltinį Paviršinis integralas antrojo tipo

:<math>\iint_S P dy dz+ Qdz dx+R dx dy=\iint_{\sigma}(-p P-q Q+R) dx dy,</math>
:kur <math>p=\frac{\partial z}{\partial x}, \quad q=\frac{\partial z}{\partial y}.</math>

==Pavyzdžiai==

[[Vaizdas:Ris424ir425.jpg|thumb|425.]]
*Apskaičiuoti integralą <math>\iint_S x dy dz+ y dz dx+ z dx dy</math> palei viršutinę dalį plokštumos <math>x+2z=2,</math> gulinčios pirmame oktante, ir atkertamos plokštuma <math>y=4</math> (pav. 425).
:Pagal apibrėžimą
:<math>\iint_S x dy dz+ y dz dx+ z dx dy=\iint_S x dy dz+\iint_S y dz dx+\iint_S z dx dy.</math>
:Todėl
:<math>\iint_S x dy dz=\iint_{\sigma_1}(2-2z)dy dz=2\int_0^4 dy\int_0^1(1-z)dz=2\int_0^4 dy (z-\frac{z^2}{2})|_0^1=2\int_0^4 (1-\frac{1^2}{2})dy=</math>
:<math>=2\cdot (y-\frac{y}{2})|_0^4=2(4-\frac{4}{2})=2(4-2)=4.</math>
:Pagal formulę  <math>\iint_S P(x; y; x)dy dz=\iint_{\sigma} P(f(y;z); y; z) dy dz,</math> gauname
:<math>\iint_S y dz dx=0,</math>
:nes plokštuma ''S'' lygiagreti ašiai ''Oy'',
:<math>\iint_S z dx dy=\iint_{\sigma_2}\left(1-\frac{x}{2}\right)dx dy=\int_0^4 dy\int_0^2\left(1-\frac{x}{2}\right)dx=\int_0^4 dy\left(x-\frac{x^2}{4}\right)|_0^2=\int_0^4 \left(2-\frac{2^2}{4}\right)dy=</math>
:<math>=\int_0^4 \left(2-1\right)dy=y|_0^4=4</math>
:pagal formulę <math>\iint_S R(x; y; x)dx dy=\iint_{\sigma} R(x; y; f(x; y)) dx dy.</math>
:Todėl,
:<math>\iint_S x dy dz+ y dz dx+ z dx dy=4+0+4=8.</math>

[[Vaizdas:pavirsinisintris427.jpg|thumb|427.]]
*Apskaičiuoti integralą <math>\iint_S -x dy dz+z dz dx+ 5dx dy</math> palei viršutinę pusę gulinčią pirmame oktantę dalies plokštumos <math>2x+3y+z=6</math> (pav. 427).
:Paviršiui ''S''
:<math> z=6-2x-3y,</math> <math> p=-2,</math> <math>q=-3</math>,
:tai pagal formulę <math>\iint_S P dy dz+ Qdz dx+R dx dy=\iint_{\sigma}(-p P-q Q+R) dx dy</math> gauname:
:<math>\iint_S -x dy dz+z dz dx+ 5dx dy=\iint_{\sigma}[2x-3(6-2x-3y)+5]dx dy=\iint_{\sigma}(2x+6x+9y-18+5)dx dy=\iint_{\sigma}(8x+9y-13)dx dy,</math>
:kur <math>\sigma</math>  - projekcija ''S'' į plokštumą ''xOy''.
:Apskaičiuodami dvilypį integralą, randame:
:<math>\iint_S -x dy dz+z dz dx+ 5dx dy=\int_0^3 dx \int_0^{6-2x\over 3}(8x+9y-13) dy=\int_0^3 dx (8xy+\frac{9y^2}{2}-13y)|_0^{6-2x\over 3}=</math>
:<math>=\int_0^3 (8x\cdot {6-2x\over 3}+\frac{9({6-2x\over 3})^2}{2}-13\cdot {6-2x\over 3})dx =\int_0^3 ( {48x-16x^2\over 3}+\frac{(6-2x)^2}{2}- {78-26x\over 3})dx =</math>
:<math> =\int_0^3 (16x- {16x^2\over 3}+\frac{36-24x+4x^2}{2}- 26+{26x\over 3})dx =\int_0^3 (16x- {16x^2\over 3}+18-12x+2x^2- 26+{26x\over 3})dx =</math>
:<math>=\int_0^3 (4x- {16x^2\over 3}+2x^2- 8+{26x\over 3})dx = (\frac{4x^2}{2}- {16x^3\over 9}+\frac{2x^3}{3}- 8x+{26x^2\over 6})|_0^3 =</math>
:<math>=(2x^2- {16x^3\over 9}+\frac{2x^3}{3}- 8x+{13x^2\over 3})|_0^3  =(2\cdot 3^2- {16\cdot 3^3\over 9}+\frac{2\cdot 3^3}{3}- 8\cdot 3+{13\cdot 3^2\over 3})-0  =2\cdot 9- {16\cdot 27\over 9}+\frac{2\cdot 27}{3}- 24+{13\cdot 9\over 3} =</math>
:<math> =18- 16\cdot 3+2\cdot 9- 24+13\cdot 3  =18-48+18-24+39=36+39-72=39-36=3.</math>
:Ši plotą galima surasti ir klasikiniu budu. Ieškomas plotas yra trikampis ''ABC'', kurio taškai yra A(3; 0; 0), B(0; 2; 0) ir C(0; 0; 6). Pavadiname atkarpas AB=a, BC=b, CA=c; OA=d=3, OB=e=2, OC=f=6. Koordinačių pradžios taškas yra O(0; 0; 0). Randame trikampio ABC kraštinių ilgius:
:<math>a=\sqrt{d^2+e^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}=3,605551275;</math>
:<math>b=\sqrt{e^2+f^2}=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}=6,32455532;</math>
:<math>c=\sqrt{d^2+f^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}=6,708203933.</math>
:Toliau randame trikampio ''ABC'' pusperimetrį <math>p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{40}+\sqrt{45}}{2}=8,319155264</math> ir plotą:
:<math>S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{8,319155264(8,319155264-\sqrt{13})(8,319155264-\sqrt{40})(8,319155264-\sqrt{45})}=</math>
:<math>=\sqrt{8.319155264\cdot 4.713603989\cdot 1.994599944\cdot 1.610951332}=\sqrt{126}=11.22497216.</math>
:Vadinasi šiame pavyzdyje ieškomas buvo ne trikampio plotas.

==Taip pat skaitykite==
*[[Antrojo tipo kreivinis integralas]]
*[[Matematika/Gauso formulė|Gauso formulė]]
*[[Matematika/Dvilypiai integralai|Dvilypiai integralai]]