Paviršinis integralas antrojo tipo

${\iint }_{S}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_{\sigma }(-pP-qQ+R)dxdy,$

kur $p=\frac{\partial z}{\partial x},q=\frac{\partial z}{\partial y}.$

Pavyzdžiai

Vaizdas:Ris424ir425.jpg

425.

• Apskaičiuoti integralą ${\iint }_{S}xdydz+ydzdx+zdxdy$ palei viršutinę dalį plokštumos $x+2z=2,$ gulinčios pirmame oktante, ir atkertamos plokštuma $y=4$ (pav. 425).

Pagal apibrėžimą

${\iint }_{S}xdydz+ydzdx+zdxdy={\iint }_{S}xdydz+{\iint }_{S}ydzdx+{\iint }_{S}zdxdy.$

Todėl

${\iint }_{S}xdydz={\iint }_{{\sigma }_1}(2-2z)dydz=2{\int }_0^{4}dy{\int }_0^1(1-z)dz=2{\int }_0^{4}dy(z-\frac{z^2}{2}){|}_0^1=2{\int }_0^4(1-\frac{1^2}{2})dy=$

$=2\cdot (y-\frac{y}{2}){|}_0^4=2(4-\frac{4}{2})=2(4-2)=4.$

Pagal formulę ${\iint }_{S}P(x;y;x)dydz={\iint }_{\sigma }P(f(y;z);y;z)dydz,$ gauname

${\iint }_{S}ydzdx=0,$

nes plokštuma S lygiagreti ašiai Oy,

${\iint }_{S}zdxdy={\iint }_{{\sigma }_2}(1-\frac{x}{2})dxdy={\int }_0^{4}dy{\int }_0^2(1-\frac{x}{2})dx={\int }_0^{4}dy(x-\frac{x^2}{4}){|}_0^2={\int }_0^4(2-\frac{2^2}{4})dy=$

$={\int }_0^4(2-1)dy=y{|}_0^4=4$

pagal formulę ${\iint }_{S}R(x;y;x)dxdy={\iint }_{\sigma }R(x;y;f(x;y))dxdy.$

Todėl,

${\iint }_{S}xdydz+ydzdx+zdxdy=4+0+4=8.$

Vaizdas:Pavirsinisintris427.jpg

427.

• Apskaičiuoti integralą ${\iint }_S-xdydz+zdzdx+5dxdy$ palei viršutinę pusę gulinčią pirmame oktantę dalies plokštumos $2x+3y+z=6$ (pav. 427).

Paviršiui S

$z=6-2x-3y,$ $p=-2,$ $q=-3$,

tai pagal formulę ${\iint }_{S}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_{\sigma }(-pP-qQ+R)dxdy$ gauname:

${\iint }_S-xdydz+zdzdx+5dxdy={\iint }_{\sigma }[2x-3(6-2x-3y)+5]dxdy={\iint }_{\sigma }(2x+6x+9y-18+5)dxdy={\iint }_{\sigma }(8x+9y-13)dxdy,$

kur $\sigma$ - projekcija S į plokštumą xOy.

Apskaičiuodami dvilypį integralą, randame:

${\iint }_S-xdydz+zdzdx+5dxdy={\int }_0^{3}dx{\int }_0^{\frac{6-2x}{3}}(8x+9y-13)dy={\int }_0^{3}dx(8xy+\frac{9y^2}{2}-13y){|}_0^{\frac{6-2x}{3}}=$

$={\int }_0^3(8x\cdot \frac{6-2x}{3}+\frac{9(\frac{6-2x}{3}{)}^2}{2}-13\cdot \frac{6-2x}{3})dx={\int }_0^3(\frac{48x-16x^2}{3}+\frac{(6-2x{)}^2}{2}-\frac{78-26x}{3})dx=$

$={\int }_0^3(16x-\frac{16x^2}{3}+\frac{36-24x+4x^2}{2}-26+\frac{26x}{3})dx={\int }_0^3(16x-\frac{16x^2}{3}+18-12x+2x^2-26+\frac{26x}{3})dx=$

$={\int }_0^3(4x-\frac{16x^2}{3}+2x^2-8+\frac{26x}{3})dx=(\frac{4x^2}{2}-\frac{16x^3}{9}+\frac{2x^3}{3}-8x+\frac{26x^2}{6}){|}_0^3=$

$=(2x^2-\frac{16x^3}{9}+\frac{2x^3}{3}-8x+\frac{13x^2}{3}){|}_0^3=(2\cdot 3^2-\frac{16\cdot 3^3}{9}+\frac{2\cdot 3^3}{3}-8\cdot 3+\frac{13\cdot 3^2}{3})-0=2\cdot 9-\frac{16\cdot 27}{9}+\frac{2\cdot 27}{3}-24+\frac{13\cdot 9}{3}=$

$=18-16\cdot 3+2\cdot 9-24+13\cdot 3=18-48+18-24+39=36+39-72=39-36=3.$

Ši plotą galima surasti ir klasikiniu budu. Ieškomas plotas yra trikampis ABC, kurio taškai yra A(3; 0; 0), B(0; 2; 0) ir C(0; 0; 6). Pavadiname atkarpas AB=a, BC=b, CA=c; OA=d=3, OB=e=2, OC=f=6. Koordinačių pradžios taškas yra O(0; 0; 0). Randame trikampio ABC kraštinių ilgius:

$a=\sqrt{d^2+e^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}=3,605551275;$

$b=\sqrt{e^2+f^2}=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}=6,32455532;$

$c=\sqrt{d^2+f^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}=6,708203933.$

Toliau randame trikampio ABC pusperimetrį $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{40}+\sqrt{45}}{2}=8,319155264$ ir plotą:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{8,319155264(8,319155264-\sqrt{13})(8,319155264-\sqrt{40})(8,319155264-\sqrt{45})}=$

$=\sqrt{8.319155264\cdot 4.713603989\cdot 1.994599944\cdot 1.610951332}=\sqrt{126}=\mathrm{11.22497216.}$

Vadinasi šiame pavyzdyje ieškomas buvo ne trikampio plotas.

Taip pat skaitykite

• Antrojo tipo kreivinis integralas
• Gauso formulė
• Dvilypiai integralai