Matematika/Sekos riba

Skaičių sekos riba vadinama vertė, prie kurios artėja sekos narių vertės, tolstant į begalybę. Pavyzdžiui, turime seką:

$\{\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\dots ,\frac{1}{n},\dots \}$

Jokio sekos nario vertė nėra lygi nuliui, tačiau, kuo narys tolimesnis sekoje, tuo jo vertė artimesnė nuliui. Intuityviai suvokiame, kad sekos nariai artėja į nulį.

Tačiau toks apibrėžimas nėra tikslus ir netinkamas naudoti matematikoje. Griežtesnis apibrėžimas yra toks:

Jei $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N(\epsilon )\in \mathbb{N}:n>N\Rightarrow |a_n-a|<\epsilon$, tai skaičių $a$ vadiname sekos riba. Jei tokio skaičiaus nėra – seka ribos neturi.

Kitaip tariant, jeigu egzistuoja toks sekos narys $a_N$, nuo kurio pradedant, skirtumas tarp visų tolimesnių narių ir kažkokio skaičiaus $a$ yra mažesnis, nei kažkoks iš anksto nustatytas skaičius (jis gali būti kiek norima mažas), tai sakome, kad $a$ yra šios sekos riba. Iš esmės šis apibrėžimas atitinka mūsų natūralų suvokimą apie sekos ribą.

Jei seka turi ribą, tai sakome, kad seka konverguoja, kitu atveju – diverguoja.

Sekos ribą žymime:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=L$

Čia $\lim$ reiškia ribą, $n\to \mathrm{\infty }$ yra simbolinis žymėjimas, kad eilės numeris $n$ tolsta į begalybę, o $a_n$ yra n - tasis, t. y. bendrasis sekos narys.

Dalinės ribos

Jei seka {$x_n$} turi konverguojantį posekį {$x_{n}k$}, šio posekio riba vadinama daline riba. Didžiausia sekos {$x_n$} dalinė riba vadinama sekos viršutiniąja riba (žymima $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{x}_n$). Mažiausia sekos dalinė riba – apatinioji riba $(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}_n)$.

Pavyzdžiui, seka $x_n=\{(-1{)}^n\}$ neturi ribos, tačiau turi du konverguojančius posekius:

• $x_{2n}=\{(-1{)}^{2n}\}\to 1$ ir
• $x_{2n+1}=\{(-1{)}^{2n+1}\}\to -1$

Koši kriterijus

Augustinas Koši suformulavo kriterijų, kurį tenkinančios sekos vadinamos Koši sekomis:

Seka $\{x_n\}$ yra Koši seka, jei $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ konverguoja tada ir tik tada kai $\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }N\in 𝑵,\mathrm{\forall }n>m>N:|\sum _{k=m+1}^n{a}_k|<\epsilon$.

Koši kriterijus yra būtina ir pakankama sekos konvergavimo sąlyga – visos konverguojančios sekos yra Koši sekos ir atvirkščiai.

Ribų savybės

Tegul $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=L_1$ ir $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=L_2$, tada galime atlikti tokius veiksmus:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(x_n+y_n)=L_1+L_2$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(x_n{y}_n)=L_1{L}_2$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\frac{L_1}{L_2}$ (Jei $L_2\ne 0$)

arba

• $\underset{x\to a}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=\underset{x\to a}{\lim }f(x)\pm \underset{x\to a}{\lim }g(x)$
• $\underset{x\to a}{\lim }[f(x)\cdot g(x)]=\underset{x\to a}{\lim }f(x)\cdot \underset{x\to a}{\lim }g(x)$
• $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to a}{\lim }f(x)}{\underset{x\to a}{\lim }g(x)}$

Skaičiavimas

Skaičiuodami ribas pasiremiame jų savybėmis ir keliomis elementariausiomis ribomis:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n=\mathrm{\infty }$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}=0$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^n=\mathrm{\infty }$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{\frac{1}{n}}=1$
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{n}^{\frac{1}{n}}=1$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1,$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (kx)}{x}=k,$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x})=1,$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arcsin x}{x}=1,$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arctan x}{x}=1,$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }[\ln (1+x{)}^{\frac{1}{x}}]=\ln [\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}]=\ln e=1,$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1.$

ir t. t. Dažnai ribos ženklas nerašomas, o rašoma tiesiog, pvz.: $\frac{1}{\mathrm{\infty }}=0$. Toks užrašas suprantamas ne kaip lygybė, o kaip riba.

Ieškodami ribų galime tiesiog įrašyti begalybę vietoj $n$, tačiau dažniausiai gauname neapibrėžtumą, kurį ir reikia pašalinti, pvz.:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2n-1}{n}=\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2-\frac{1}{n}}{1}=2-\frac{1}{\mathrm{\infty }}=2.$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{\sin 7x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sin 3x}{3x}\cdot 3x}{\frac{\sin 7x}{7x}\cdot 7x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x}{7x}=\frac{3}{7}.$

Skaičius e

Nepaprastai svarbi matematikoje yra tokia riba:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n\equiv 𝖾.$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=𝖾.$

$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e.$

Ši vertė, vadinama skaičiumi $e=2.71828183$, yra viena svarbiausių matematinių konstantų.

Pavyzdžiai

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n(n+2)})}^n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n(n+2)})}^{n(n+2)\left(\frac{n}{n(n+2)}\right)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{𝖾}^{\frac{n}{n(n+2)}}={𝖾}^{\frac{1}{\mathrm{\infty }}}=1.$

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^2+4n-5}{n^2-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^2(1+\frac{4}{n}-\frac{5}{n^2})}{n^2(1-\frac{1}{n^2})}=\frac{1+\frac{4}{\mathrm{\infty }}-\frac{5}{\mathrm{\infty }}}{1-\frac{1}{\mathrm{\infty }}}=1.$

• Seka $\{-1,1,-1,1,\dots ,(-1{)}^n,\dots \}$ diverguoja, t. y. ribos neturi.

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^3-4x^2+7x-3}{x^2+2x-11}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{x^3-4x^2+7x-3}{x^3}}{\frac{x^2+2x-11}{x^3}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1-\frac{4}{x}+\frac{7}{x^2}-\frac{3}{x^3}}{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}-\frac{11}{x^3}}=\mathrm{\infty }.$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x^2-2x}{2x^2-5x}=(\frac{0}{0})=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x(3x-2)}{x(2x-5)}=\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}.$

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3x^2-1}{5x^2+2x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3-1/x^2}{5+2/x}=\frac{3-0}{5+0}=\frac{3}{5}.$

• $\underset{x\to -\frac{3}{2}}{\lim }\frac{4x^2-9}{2x+3}=\underset{x\to -\frac{3}{2}}{\lim }\frac{(2x-3)(2x+3)}{2x+3}=\underset{x\to -\frac{3}{2}}{\lim }(2x-3)=-2\frac{3}{2}-3=-6.$

• $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{1-x^2}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{(1-x)(1+x)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{-(x-1)(1+x)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{-(1+x)}=-\frac{1}{2}.$

• $\underset{x\to 2}{\lim }(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4})=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x+2-4}{x^2-4}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}.$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1-\sqrt{1-x^2})(1+\sqrt{1-x^2})}{x(1+\sqrt{1-x^2})}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-(1-x^2)}{x(1+\sqrt{1-x^2})}=$

$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}=\frac{0}{2}=0.$

• $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2x^2-8}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{2(x-2)(x+2)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(2x+4)=8.$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+\sin 3x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x}{3x}\cdot (\frac{x}{x}+\frac{\sin 3x}{x})=\underset{x\to 0}{\lim }(1+\frac{3x\sin 3x}{3x\cdot x})=\underset{x\to 0}{\lim }(1+\frac{3x}{x})=4.$

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{x+1}{x}{)}^{\frac{x}{3}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }((1+\frac{1}{x}{)}^x{)}^{\frac{1}{3}}=e^{\frac{1}{3}}.$

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{2x+1}{2x+3}{)}^{\frac{3x-2}{5}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{2x+3-2}{2x+3}{)}^{\frac{3x-2}{5}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }((1+\frac{-2}{2x+3}{)}^{\frac{2x+3}{-2}}{)}^{\frac{-2}{2x+3}\cdot \frac{3x-2}{5}}=$

$=e^{-\frac{2}{5}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3x-2}{2x+3}}=e^{-\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{2}}=e^{-\frac{3}{5}}.$

• $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{\sqrt{x+1}-2}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-3)(x+3)(\sqrt{x+1}+2)}{(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-3)(x+3)(\sqrt{x+1}+2)}{x+1-4}=$

$=\underset{x\to 3}{\lim }[(x+3)(\sqrt{x+1}+2)]=6\cdot 4=24.$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{3}}-1}{\sqrt{x+1}-1}=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{z^{\frac{6}{3}}-1}{\sqrt{z^6}-1}=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{(z-1)(z+1)}{(z-1)(z^2+z+1)}=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{z+1}{z^2+z+1}=\frac{2}{3},$

kur keičiame kintamąjį: $1+x=z^6.$ Kadangi $x\to 0,$ tai $z\to 1.$

• $\underset{x\to \pi }{\lim }\frac{{\sin }^{2}x}{1+{\cos }^{3}x}=\underset{x\to \pi }{\lim }\frac{1-{\cos }^{2}x}{(1+\cos x)(1-\cos x+{\cos }^{2}x)}=\underset{x\to \pi }{\lim }\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{(1+\cos x)(1-\cos x+{\cos }^{2}x)}=$

$=\underset{x\to \pi }{\lim }\frac{1-\cos x}{1-\cos x+{\cos }^{2}x}=\frac{1-(-1)}{1-(-1)+(-1{)}^2}=\frac{2}{3}.$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{1-\cos x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{2{\sin }^2(x/2)}=2\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{x/2}{\sin (x/2)}{)}^2=2.$

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{x^2}{)}^x=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }[(1+\frac{1}{x^2}{)}^{x^2}{]}^{\frac{1}{x}}=e^0=1.$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(1+x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }[{\log }_a(1+x{)}^{\frac{1}{x}}]={\log }_{a}e.$

• $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^3-8}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(x^2+2x+4)=12.$

• $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2+x-12}{2x^2-9x+9}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-3)(x+4)}{2(x-3)(x-1.5)}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x+4}{2x-3}=\frac{7}{3}.$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1-\cos x}{x^2\cdot \cos x})=$

$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}\cdot \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos x}\cdot \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}{)}^2=\frac{1}{2}.$

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{x^3}{3x^2-4}-\frac{x^2}{3x+2})=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^3(3x+2)-x^2(3x^2-4)}{(3x^2-4)(3x+2)}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2x^3+4x^2}{9x^3+6x^2-12x-8}=$

$=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2+\frac{4}{x}}{9+\frac{6}{x}-\frac{12}{x^2}-\frac{8}{x^3}}=\frac{2}{9}.$

• $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-2}{(26+x{)}^{\frac{1}{3}}-3}=\underset{t\to 3}{\lim }\frac{2(t^3-27)}{t-3}=\underset{t\to 3}{\lim }\frac{2(t-3)(t^2+3t+9)}{t-3}=2\underset{t\to 3}{\lim }(t^2+3t+9)=54,$

kur $26+x=t^3;$ $x=t^3-26;$ $t\to 3,$ kai $x\to 1.$

• Rasime ribą $\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }\frac{8x^3-1}{6x^2+3x-3}=(\frac{0}{0})$

Skaitiklis išskaidomas pagal formulę $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=8x^3-1=(2x-1)(4x^2+2x+1)$

Vardiklis gali būti išskaidomas surandant jo sprendinius $x_1$ ir $x_2$:

$6x^2+3x-3=0$

$D=b^2-4ac=3^2-4\cdot 6\cdot (-3)=9+72=81$

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-3\pm \sqrt{81}}{2\cdot 6}=\frac{-3\pm 9}{12}=-1;\frac{1}{2}.$

Kvadratinė lygtis yra išskaidoma $a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)=6x^2+3x-3=6(x-(-1))(x-\frac{1}{2}).$

$\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }\frac{(2x-1)(4x^2+2x+1)}{6(x+1)(x-\frac{1}{2})}=\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }\frac{(2x-1)(4x^2+2x+1)}{3(x+1)(2x-1)}=\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }\frac{4x^2+2x+1}{3x+3}=\frac{3}{4.5}=\frac{2}{3}.$

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1-\frac{1}{x}{)}^x=\underset{z\to -\mathrm{\infty }}{\lim }[(1+\frac{1}{z}{)}^z{]}^{-1}=e^{-1}=\frac{1}{e}.$

• $\underset{x\to 6}{\lim }\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}=\underset{x\to 6}{\lim }\frac{x+3-9}{(x-6)(\sqrt{x+3}+3)}=\underset{x\to 6}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+3}+3}=\frac{1}{6}.$

• $\underset{x\to 8}{\lim }\frac{x-8}{x^{\frac{1}{3}}-2}=\underset{x\to 8}{\lim }\frac{(x^{\frac{1}{3}}-2)(x^{\frac{2}{3}}+2x^{\frac{1}{3}}+2^2)}{x^{\frac{1}{3}}-2}=\underset{x\to 8}{\lim }(x^{\frac{2}{3}}+2x^{\frac{1}{3}}+4)=12.$

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{x-1}{x}{)}^{5x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1-\frac{1}{x}{)}^{5x}=\underset{z\to -\mathrm{\infty }}{\lim }((1+\frac{1}{z}{)}^z{)}^{-5}=e^{-5}.$

• $\underset{x\to 0}{\lim }(1+\tan x{)}^{\frac{1}{\sin x}}=\underset{x\to 0}{\lim }((1+\tan x{)}^{\frac{\cos x}{\sin x}}{)}^{\frac{1}{\cos x}}=e.$

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{x^2+5}{3x^2+1}{)}^{x^2}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1+\frac{5}{x^2}}{3+\frac{1}{x^2}}{)}^{x^2}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{3}{)}^{x^2}=0.$

• $\underset{x\to 0}{\lim }\cos \frac{\pi \cdot x}{\sin x}=\underset{x\to 0}{\lim }\cos \frac{\pi \cdot x}{x\frac{\sin x}{x}}=\underset{x\to 0}{\lim }\cos \frac{\pi }{\frac{\sin x}{x}}=\underset{x\to 0}{\lim }\cos \pi =-1.$