Matematika/Paviršių liečianti plokštuma

Liečianti plokštuma ir normalė paviršiui, apibūdintam lygtimi $z=f(x;y).$ Geometrinė prasmė pilno diferencialo funkcijoms dviejų kintamųjų.

Egzistuoja keletas ekvivalenčių tarpusavyje apibūdinimų paviršiaus liečiamosios plokštumos. Siūlomas žemiau apibūdinimas yra naturalus apibendrinimas liestinės (tiesės) kreivei.

Tegu $N_0$ - taškas duoto paviršiaus. Parinkime ant paviršiaus kitą, kintantį, tašką N ir pravesime kertančią tiesę $N_{0}N.$

Plokštuma, praeinanti per tašką $N_0$, vadinasi liečiamaja plokštuma paviršiaus taške $N_0$, jeigu kampas tarp kirstinės $N_{0}N$ ir šitos plokštumos artėja į nulį, kai atstumas $N_{0}N$ artėja į nulį, nepriklausant kokiu budu taškas N ant paviršiaus artės prie taško $N_0$ (žiūrėti pav. 303).

Vaizdas:Ris303.jpg

303 pav.

Normalė paviršiaus taške $N_0$ vadinama tiesė, praeinanti per tašką $N_0$ statmenai liečiančios plokštumos paviršiaus šitame taške.

Iš apibūdinimo seka, kad arba paviršius duotame taške turi tiktai vieną liečiančią plokštumą, arba jos neturi visai.

Pavyzdžiui, paviršius, apibūdinamas lygtimi $z=\sqrt{x^2+y^2}$ (kūginis paviršius), taške O(0; 0; 0) liečiamosios plokštumos neturi.

Parodysime, kad pas paviršių užduotą lygtimį $z=f(x;y)$, kur $f(x;y)$ - funkcija, diferencijuojama taške $M_0(x_0;y_0$, liečiamoji plokštuma taške $N_0(x_0;y_0;f(x_0;y_0))$ egzistuoja ir turi lygtį

$z-f(x_0;y_0)={f_x}^{\prime }(x_0;y_0)(x-x_0)+{f_y}^{\prime }(x_0;y_0)(y-y_0).(1)$

Tegu $N(x_0+\mathrm{\Delta }x;y_0+\mathrm{\Delta }y;z_0+\mathrm{\Delta }z)$ - dabartinis taškas paviršiaus. Pažymėsime per $\varphi$ kampą tarp kirstinės $N_{0}N$ ir plokštumos (1). Parodysime, kad artėjant taškui N į tašką $N_0$ kampas $\varphi$, arba, kas tapatu, $\sin \varphi$ artėja prie nulio. Šituo ir bus įrodyta, kad plokštuma (1) yra liečiamoji plokštuma duotajam paviršiui taške $N_0$.

Nuleisime iš taško N statmenį NK į plokštumą (1) ir statmenį NM į plokštumą xOy. $N(x_0+\mathrm{\Delta }x;y_0+\mathrm{\Delta }y;z)$ - taškas susikirtimo statmens NM su plokštuma (1) (pav. 304). Tada $\mathrm{\angle }\varphi =\mathrm{\angle }K{N}_{0}N,|\sin \varphi |=\frac{NK}{N_{0}N}<\frac{N{N}_1}{M_{0}M}.$ Priedo

$M_{0}M=\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}=\rho ,$

$N{N}_1=|f(x_0+\mathrm{\Delta }x;y_0+\mathrm{\Delta }y)-z_{N_1}|=|f(x_0+\mathrm{\Delta }x;y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0;y_0)-{f_x}^{\prime }(x_0;y_0)\mathrm{\Delta }x-{f_y}^{\prime }(x_0;y_0)\mathrm{\Delta }y|=$

$=|\mathrm{\Delta }z-{f_x}^{\prime }(x_0;y_0)\mathrm{\Delta }x-{f_y}^{\prime }(x_0;y_0)\mathrm{\Delta }y|=|\mathrm{\Delta }z-\frac{\partial z}{\partial x}dx-\frac{\partial z}{\partial y}dy|=|\mathrm{\Delta }z-dz|.$

Vaizdas:Ris304good.jpg

304 pav.

304 pav. suprantamiau pavaizduota.

Jeigu taškas N artėja prie taško $N_0$, tada $\mathrm{\Delta }x$ ir $\mathrm{\Delta }y$ artėja prie nulio ir reiškia $\rho$ artėja prie nulio.

Kadangi funkcija f(x; y) diferencijuojama taške $(x_0;y_0)$, dydis $N{N}_1$ bus begalo mažas didesnės eilės, negu $\rho$, t. y. santykis $\frac{N{N}_1}{M_{0}M}$ kai $N\to N_0$ artės prie nulio. Iš čia seka, kad $\sin \varphi$ ir pats kampas $\varphi$ artėja prie nulio, kai $N\to N_0.$

Tokiu budu, mes įrodėme, kad jeigu funkcija $z=f(x;y)$ taške $(x_0;y_0)$ diferencijuojama, tai vaizduojantis ją paviršius taške $N_0(x_0;y_0;f(x_0;y_0))$ turi nevertikalią liečiamąją plokštumą.

Galima įrodyti ir atvirkštinį teiginį: jeigu taške $N_0(x_0;y_0;f(x_0;y_0))$ paviršius, vaizduojantis netrūkią funkciją $z=f(x;y),$ turi nevertikalią liečiamąją plokštumą, tai funkcija $f(x;y)$ taške (x; y) diferencijuojama.

Pagal išvaizda lygties (1) liečiamosios plokštumos prie paviršiaus, užrašyto lygtimi $z=f(x;y)$, taške $N_0$, lengva parašyti lygtį normalės:

$\frac{x-x_0}{{f_x}^{\prime }(x_0;y_0)}=\frac{y-y_0}{{f_y}^{\prime }(x_0;y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}.$

Vaizdas:Ris305good4.jpg

305 pav.

Išsiaiškinsime dabar geometrinę prasmę pilnojo diferencialo funkcijos dviejų kintamųjų.

Tegu funkcija $z=f(x;y)$ diferencijuojama taške $(x_0;y_0)$. Tai reiškia, kad paviršius, apibūdintas lygtimi $z=f(x;y)$, turi taške $N_0(x_0;y_0;f(x_0;y_0))$ liečiamąją plokštumą. Jos lygtį galima užrašytį pavidale:

$z-f(x_0;y_0)={f_x}^{\prime }(x_0;y_0)(x-x_0)+{f_y}^{\prime }(x_0;y_0)(y-y_0),$

arba, pažymėję $x-x_0=\mathrm{\Delta }x$, $y-y_0=\mathrm{\Delta }y$, pavidale:

$z-f(x_0;y_0)={f_x}^{\prime }(x_0;y_0)\mathrm{\Delta }x+{f_y}^{\prime }(x_0;y_0)\mathrm{\Delta }y.$

Šioje lygybėje kairėje stovi skirtumas aplikačių taškų liečiamosios plokštumos, atitinkančių taškams $(x_0;y_0)$ ir $(x_0+\mathrm{\Delta }x;y_0+\mathrm{\Delta }y),$ o iš dešinės - pilnas diferencialas funkcijos $z=f(x;y)$ taške $(x_0;y_0)$.

Tokiu budu, pilnas diferencialas funkcijos $z=f(x;y)$ taške $(x_0;y_0)$ geometriškai reiškia priaugimą aplikatės liečiamosios plokštumos paviršiaus, vaizduojančio funkciją, taške $(x_0;y_0;f(x_0;y_0))$ pereinant iš taško $(x_0;y_0)$ į tašką $(x_0+\mathrm{\Delta }x;y_0+\mathrm{\Delta }y)$ (priminsime, kad funkcijai nuo vieno kintamojo $y=f(x)$ diferencialas taške $x_0$ yra priaugimas ordinatės liestinės prie kreivės, vaizduojančios funkciją, taške $(x_0;f(x_0))$ pereinant iš taško $x_0$ į tašką $x_0+\mathrm{\Delta }x.$

Funkcijai $z=f(x;y),$ pavaizduotai pav 305, diferencialas dz taške $M_0$ neigiamas.

Apibendrinimas. Paviršiaus liečiamosios plokštumos

$z-f(x_0;y_0)={f_x}^{\prime }(x_0;y_0)(x-x_0)+{f_y}^{\prime }(x_0;y_0)(y-y_0),$

${f_x}^{\prime }(x_0;y_0)(x-x_0)+{f_y}^{\prime }(x_0;y_0)(y-y_0)-(z-z_0)=0,$

taške $N_0(x_0;y_0;z_0)$ normalės vektorius yra $\overrightarrow{n}=({f_x}^{\prime }(x_0;y_0);{f_y}^{\prime }(x_0;y_0);-1).$ Taškas $N_0(x_0;y_0;z_0)$ jungiasi su bet kuriuo paviršiaus tašku N ir gaunamas vektorius $\overrightarrow{N_{0}N}=(x-x_0;y-y_0;z-z_0).$ Žinome, kad dviejų vienas kitam statmenų vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui. Todėl ir turime tokią liečiamosios plokštumos lygtį, kai sudauginame du vektorius:

$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{N_{0}N}={f_x}^{\prime }(x_0;y_0)\cdot (x-x_0)+{f_y}^{\prime }(x_0;y_0)\cdot (y-y_0)+(-1)\cdot (z-z_0)={f_x}^{\prime }(x_0;y_0)(x-x_0)+{f_y}^{\prime }(x_0;y_0)(y-y_0)-(z-f(x_0;y_0))=0.$

Kai taškas $N\to N_0,$ tai kampas tarp liečiamosios plokštumos normalės $\overrightarrow{n}=({f_x}^{\prime }(x_0;y_0);{f_y}^{\prime }(x_0;y_0);-1)$ ir vektoriaus $\overrightarrow{N_{0}N}=(x-x_0;y-y_0;z-z_0)$ artėja prie $\frac{\pi }{2}.$ Tolygus kampo didėjimas (iki $90^{\circ }$) tarp vektorių $\overrightarrow{n}$ ir $\overrightarrow{N_{0}N}$, kai $N\to N_0,$ ir įrodo, kad paviršius turi tik vieną tašką ($N_0$), kuriame liečiasi su [liečiamaja] plokštuma.

Gaunasi, kad

$N{N}_1=\mathrm{\Delta }z-dz=f(x_0+\mathrm{\Delta }x;y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0;y_0)-{f_x}^{\prime }(x_0;y_0)\mathrm{\Delta }x-{f_y}^{\prime }(x_0;y_0)\mathrm{\Delta }y=$

$=f(x;y)-f(x_0;y_0)-{f_x}^{\prime }(x_0;y_0)\mathrm{\Delta }x-{f_y}^{\prime }(x_0;y_0)\mathrm{\Delta }y=f(x;y)-f(x_0;y_0)-{f_x}^{\prime }(x_0;y_0)(x-x_0)-{f_y}^{\prime }(x_0;y_0)(y-y_0)=z-z_0-{f_x}^{\prime }(x_0;y_0)(x-x_0)-{f_y}^{\prime }(x_0;y_0)(y-y_0)=0,$

kai $N\to N_0.$ Tada $\mathrm{\angle }\varphi \to 0$ tarp $N_{0}N$ ir $N_0{N}_1.$ Vadinasi, kai $N\to N_0,$ kampas tarp atkarpos $N_{0}N$ ir liečiamosios plokštumos normalės $\overrightarrow{n}=({f_x}^{\prime }(x_0;y_0);{f_y}^{\prime }(x_0;y_0);-1)$ artėja prie $90^{\circ }.$

Paviršių liečiančios plokštumos įrodymas

Analogiškai tam, kaip diferencialas funkcijos vieno kintamojo geometriškai reiškia priaugimą "ordinatės liestinės", diferencialas funkcijos dviejų kintamųjų yra priaugimas aplikatės liečiamosios plokštumos. Įvesime apibrėžimą liečiamosios plokštumos paviršiaus taške $N_0$.

Paviršiaus liečiamoji plokštuma taške $N_0$; $o(\rho )=\mathrm{\Delta }z-\text{d}z=N_{1}N$; $\rho =M_{0}M$; $\theta =90^{\circ }-\varphi .$

Plokštuma, praeinanti pro tašką $N_0$ paviršiaus, vadinasi liečiamaja plokštuma paviršiaus šitame taške, jeigu kampas tarp kirstinės (tiesės), praeinančios per tašką $N_0$ ir betkurį tašką N paviršiaus, ir plokštuma (плоскостью) artėja prie nulio, kai taškas N artėją į tašką $N_0$.

Tegu paviršius apibūdintas lygtimi $z=f(x;y)$ ir funkcija $f(x;y)$ diferencijuojama taške $M_0(x_0;y_0).$

Įrodysime, kad paviršiaus liečiamoji plokštuma taške $N_0(x_0;y_0;z_0),$ kur $z_0=f(x_0;y_0),$ apibūdinama lygtimi

$z-z_0={f_x}^{\prime }(x_0;y_0)(x-x_0)+{f_y}^{\prime }(x_0;y_0)(y-y_0).(4)$

Iš tikro, iš analytinės geometrijos žinoma, kad lygtis (4) apibūdina plokštumą, praeinančią per tašką $N_0(x_0;y_0;z_0)$ ir turinčią normalės vektorių $\overrightarrow{n}=({f_x}^{\prime };{f_y}^{\prime };-1).$ Kad nustatyti, kad šita plokštuma yra liečiamoji, užtenka įrodyti, kad kampas $\theta$ tarp vektoriaus $\overrightarrow{n}$ ir vektoriaus $\overrightarrow{N_{0}N}=(x-x_0;y-y_0;z-z_0)$ betkokios kirstinės $N_{0}N$ artėja į $\frac{\pi }{2},$ kai taškas N artėja prie taško $N_0$. Koordinates taško N pažymėsime (x; y; z), kur $z=f(x;y).$ Kadangi koordinatės vektoriaus $\overrightarrow{n}$ lygios ${f_x}^{\prime }$, ${f_y}^{\prime }$, -1, o koordinatės vektoriaus $\overrightarrow{N_{0}N}$ lygios $x-x_0$, $y-y_0$, $z-z_0$, tai

$\cos \theta =\frac{{f_x}^{\prime }(x-x_0)+{f_y}^{\prime }(y-y_0)-(z-z_0)}{\sqrt{f_x{\text{'}}^2+f_y{\text{'}}^2+(-1{)}^2}\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2}}.$

Bet, kaip seka iš apibrėžimo $\mathrm{\Delta }z=\text{d}z+o(\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2})$, ${f_x}^{\prime }(x-x_0)+{f_y}^{\prime }(y-y_0)-(z-z_0)=o(\rho ),$ kur $\rho =\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}.$ Todėl

$|\cos \theta |\le \frac{|{f_x}^{\prime }(x-x_0)+{f_y}^{\prime }(y-y_0)-(z-z_0)|}{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}=\frac{|o(\rho )|}{\rho }=\frac{|\mathrm{\Delta }z-\text{d}z|}{M_{0}M}=\frac{N_{0}N\cdot |\sin \varphi |}{M_{0}M}=\frac{N_{1}N}{M_{0}M}\to 0,$

kai $\rho \to 0.$ Iš čia seka, kad $\underset{N\to N_0}{\lim }\theta =\frac{\pi }{2},$ ką ir reikėjo įrodyti.

Normalės vektorių $\overrightarrow{n}=({f_x}^{\prime };{f_y}^{\prime };-1)$ liečiamosios plokštumos vadina normale paviršiaus $z=f(x;y)$ taške $N_0$. Tegu $x-x_0=\mathrm{\Delta }x$, $y-y_0=\mathrm{\Delta }y$, $z-z_0=\mathrm{\Delta }z$; tada iš lygybės (4) gauname, kad priaugimas $\mathrm{\Delta }z$ "aplikatės liečiamosios plokštumos" nustatomas formule

$\mathrm{\Delta }z={f_x}^{\prime }(x_0;y_0)\mathrm{\Delta }x+{f_y}^{\prime }(x_0;y_0)\mathrm{\Delta }y,$

t. y. iš tikro sutampa su diferencialu $\text{d}z$ funkcijos $z=f(x;y).$

Įrodymo apibendrinimas. Kadangi $\frac{|o(\rho )|}{\rho }\to 0,$ kai $\rho \to 0,$ tai iš to daroma išvada, kad $\mathrm{\angle }\varphi \to 0,$ kai $\rho \to 0$ ir $\mathrm{\angle }\theta \to \frac{\pi }{2},$ kai $\rho \to 0.$ Vadinasi, su visomis taško N koordinatėmis (x; y; z), tarp visų vektorių, kokie gali gautis iš vektoriaus $\overrightarrow{N_{0}N}=(x-x_0;y-y_0;z-z_0)$ įstačius konkrečias koordinates į kintamo taško N(x; y; z) koordinates, kampas tarp [betkokio] vektoriaus $\overrightarrow{N_{0}N}=(x-x_0;y-y_0;z-z_0)$ ir vektoriaus $\overrightarrow{n}=({f_x}^{\prime };{f_y}^{\prime };-1)$ artėja į $\frac{\pi }{2},$ kai $\overrightarrow{N_{0}N}\cdot \overrightarrow{n}$ artėja į nulį.

Vektoriaus $\overrightarrow{N_{0}N}$ ilgis irgi artėja į nulį, kai $\rho \to 0,$ bet kas yra svarbiausia apie vektorius, kad jie turi kryptį nepriklausomai nuo ilgio, todėl, jei proporcingai padinti taško N koordinates ir taško $N_0$ koordinates tiek pat kartų, gausime, kad tiesiog vektoriaus $\overrightarrow{N_{0}N}=(x-x_0;y-y_0;z-z_0)$ koordinates padauginsime iš bet kokios konstantos c ir gausime vektorių $c\cdot \overrightarrow{N_{0}N}=((cx-x_0);c(y-y_0);c(z-z_0)).$ Vadinasi vektorinės rodiklės keliauja iki begalybės (arba tiesiog iki labai didelės reikšmės) ir [liečiamoji] plokštuma vis tiek yra begalinė (labai didelė), jei konstanta c yra labai didelė.

Tuomet iškyla naturali išvada, kad jeigu visi statūs plokštumos normalei vektoriai sudaryti iš vektoriaus $\overrightarrow{N_{0}N}=(x-x_0;y-y_0;z-z_0)$ egzistuoja ir yra žinoma skaliarinė sandauga tarp bet kurio vektoriaus, kuris gali atsirasti iš vektoriaus $\overrightarrow{N_{0}N}=(x-x_0;y-y_0;z-z_0),$ ir tarp normalės vektoriaus ir ta skaliarinė sandauga lygi nuliui:

$o(\rho )={f_x}^{\prime }(x-x_0)+{f_y}^{\prime }(y-y_0)-(z-z_0)=0,$

$(z-z_0)-{f_x}^{\prime }(x-x_0)-{f_y}^{\prime }(y-y_0)=0,$

tai vadinasi, belieka tik vienas variantas, kad [visi vektoriai gauti iš $\overrightarrow{N_{0}N}$ yra statūs normalei ir] pati normalė yra $\overrightarrow{n}=({f_x}^{\prime };{f_y}^{\prime };-1)$ arba $\overrightarrow{n}=(-{f_x}^{\prime };-{f_y}^{\prime };1).$

Pavyzdžiai

• Sudarysime liečiamosios plokštumos ir normalės paviršiaus apibūdinto lygtimi $z=\sqrt{25-x^2-y^2}$ taške $N_0(2;3;2\sqrt{3}).$

Kadangi dalinės išvestinės

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2}\cdot \frac{-2x}{\sqrt{25-x^2-y^2}}=-\frac{x}{\sqrt{25-x^2-y^2}}$ ir $\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y}{\sqrt{25-x^2-y^2}}$

netrukios taške $M_0(2;3)$ ir jo srityje, tai funkcija z diferencijuojama taške $M_0$, t. y. duotas paviršius turi taške $N_0$ liečiamąją plokštumą ir normalę.

Lygtis liečiamosios plokštumos:

$z-\sqrt{25-2^2-3^2}=-\frac{2}{\sqrt{25-2^2-3^2}}(x-2)-\frac{3}{\sqrt{25-2^2-3^2}}(y-3),$

$z-\sqrt{12}=-\frac{2}{\sqrt{12}}(x-2)-\frac{3}{\sqrt{12}}(y-3),$

$z-2\sqrt{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-2)-\frac{\sqrt{3}}{2}(y-3),$

lygtis normalės:

$\frac{x-2}{\frac{-\sqrt{3}}{3}}=\frac{y-3}{\frac{-\sqrt{3}}{2}}=\frac{z-2\sqrt{3}}{-1},$

t. y.

$\frac{x-2}{2\sqrt{3}}=\frac{y-3}{3\sqrt{3}}=\frac{z-2\sqrt{3}}{6}.$

• Parašyti lygtį liečiamosios plokštumos ir lygtį normalės rutulio paviršiaus $x^2+y^2+z^2=14$ taške P(1; 2; 3).

Sprendimas.

$F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-14=0;\frac{\partial F}{\partial x}=2x;\frac{\partial F}{\partial y}=2y;\frac{\partial F}{\partial z}=2z;$

kai $x=1$, $y=2$, $z=3$ turime:

$\frac{\partial F}{\partial x}=2;\frac{\partial F}{\partial y}=4;\frac{\partial F}{\partial z}=6.$

Iš to seka, kad lygtis liečiamosios plokštumos bus:

$2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=0,$

$1(x-1)+2(y-2)+3(z-3)=0,$

$x-1+2y-4+3z-9=0,$

$x+2y+3z-14=0.$

Lygtis normalės:

$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{6},$

arba

$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}.$

Rutulio paviršiaus liečiamosios plokštumos normalės vektorius $\overrightarrow{n}=\{2;4;6\}$ yra gradientas rutulio paviršiaus funkcijos taške P(1; 2; 3):

$\overrightarrow{n}=\text{grad}F(1;2;3)=2𝐢+4𝐣+6𝐤.$

• Parašyti lygtį liečiamosios plokštumos ir lygtį normalės rutulio paviršiaus $x^2+y^2+z^2=14$ taške P(1; 2; 3). Uždavinį išspręsti pasinaudojant sekančiomis trignometrinėmis tapatybėmis. Sferai

$x=a\cos (u)\sin (v),y=a\sin (u)\sin (v),z=a\cos (v);$

liečiamosios plokštumos formulė:

$x\cos (u)\sin (v)+y\sin (u)\sin (v)+z\cos (v)=a;$

normalės formulė:

$\frac{x}{\cos u\sin v}+\frac{y}{\sin u\sin v}=\frac{z}{\cos v}.$

Sprendimas. Kadangi perėjome į sferines koordinates, tai reikia rasti kampą u ir kampą v. Kampas u yra sukimas ant xOy plokštumos (prieš laikrodžio rodykle), o kampas v yra sukamas nuo viršaus į apačia ant zOx plokštumos arba ant zOy plokštumos. Randame:

$\cos u=\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}=\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=0.447213595;$

$\sin u=\frac{y_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}=\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=0.894427191.$

Žinoma, ${\cos }^{2}u+{\sin }^{2}u={\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}^2+{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^2=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}=1.$

Žinome, kad bet kokia tiesė einanti per tašką O(0; 0; 0) ir bet kuri kitą sferos tašką M yra sferos liečiamoisios plokštumos normalė. Todėl vektorius $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{n}=\{1;2;3\}.$ Tokiu budu galėtume ir surasti liečiamosios plokštumos lygtį. Bet surasime liečiamosios plokšutmos ir normalės lygtis pasinaudodami uždavinio sąlygoje pateiktomis formulėmis.

Tiesės atkarpos OP projekcijos ilgis plokštumoje xOy yra lygus:

$S=\sqrt{x_0^2+y_0^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}=2.236067978;$

tuomet:

$x_0=S\cdot \cos (u)=\sqrt{5}\cos u=\sqrt{5}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}=1;$

$y_0=S\cdot \sin (u)=\sqrt{5}\sin u=\sqrt{5}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=2.$

Dabar galime rasti kam lygus kampas u. Taigi, randame:

$\cos u=\frac{1}{\sqrt{5}}=0.447213595,$

$u=\arccos \frac{1}{\sqrt{5}}=\arccos (0.447213595)=1.107148718$ radiano arba $u=63.43494882^{\circ };$

$\sin u=\frac{2}{\sqrt{5}},$

$u=\arcsin \frac{2}{\sqrt{5}}=1.107148718$ radiano arba $u=63.43494882^{\circ }.$

Toliau ieškome kampo v, taigi:

$\sin v=\frac{S}{\Vert \overrightarrow{OP}\Vert }=\frac{\sqrt{1^2+2^2}}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}}=0.597614304;$

$z_0=\Vert \overrightarrow{OP}\Vert \cdot \cos v,$

$3=\sqrt{14}\cdot \cos v,$

$\cos v=\frac{3}{\sqrt{14}}=\frac{3}{3.741657387}=0.801783725,$

$v=\arccos \frac{3}{\sqrt{14}}=\arccos (0.801783725)=0.640522312$ radiano arba $v=36.69922520^{\circ };$

${\sin }^{2}v=1-{\cos }^{2}v=1-{\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right)}^2=1-\frac{9}{14}=\frac{14-9}{14}=\frac{5}{14},$

$\sin v=\sqrt{\frac{5}{14}}.$

Taigi, sferos liečiamosios plokštumos taške P(1; 2; 3) lygtis yra:

$x\cos (u)\sin (v)+y\sin (u)\sin (v)+z\cos (v)=a,$

$x\cos (u)\sin (v)+y\sin (u)\sin (v)+z\cos (v)=\Vert \overrightarrow{OP}\Vert ,$

$x\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \sqrt{\frac{5}{14}}+y\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \sqrt{\frac{5}{14}}+z\cdot \frac{3}{\sqrt{14}}=\sqrt{1^2+2^2+3^2},$

$x\frac{1}{\sqrt{14}}+y\frac{2}{\sqrt{14}}+z\frac{3}{\sqrt{14}}=\sqrt{14},$

$x\frac{1}{14}+y\frac{2}{14}+z\frac{3}{14}=1,$

$x+2y+3z=14,$

$x+2y+3z-14=0.$

Sferos liečiamosios plokštumos normalės lygtis taške P(1; 2; 3) yra:

$\frac{x}{\cos u\sin v}+\frac{y}{\sin u\sin v}=\frac{z}{\cos v},$

$\frac{x}{\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \sqrt{\frac{5}{14}}}+\frac{y}{\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot \sqrt{\frac{5}{14}}}=\frac{z}{\frac{3}{\sqrt{14}}},$

$\frac{x}{\sqrt{\frac{1}{14}}}+\frac{y}{\frac{2}{\sqrt{14}}}=\frac{z}{\frac{3}{\sqrt{14}}},$

$\frac{x\sqrt{14}}{1}+\frac{y\sqrt{14}}{2}=\frac{z\sqrt{14}}{3},$

$\frac{x}{1}+\frac{y}{2}=\frac{z}{3}.$

Nuorodos

• Sferinės koordinatės