Matematika/Koši formulė

Kad įrodytume Koši formulę, pirmiausia reikia žinoti Rolio teoremą. Toliau segmentas reiškia uždarą intervalą.

Išvestinės nulio teorema

8.10 pav.

Rolio teorema. Sakykime, funkcija f(x) yra tolydi segmente [a; b] ir diferencijuojama visuose vidiniuose to segmento taškuose. Jei $f(a)=f(b),$ tai segmento [a; b] viduje yra taškas $\xi ,$ kuriame išvestinės reikšmė lygi nuliui: $f^{\prime }(\xi )=0.$

Trumpai galima sakyti, kad tarp dviejų skiringų argumento reikšmių, kurias atitinka vienodos diferencijuojamos funkcijos reikšmės, būtinai tos funkcijos išvestinė lygi nuliui.

Įrodymas. Kadangi funkcija f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai ta funkcija pasiekia šiame segmente savo maksimaliąją reikšmę M ir minimaliąją reikšmę m. Galimi du atvejai: 1) $M=m,$ 2) $M>m.$ Kadangi 1 atveju $f(x)=M=m=const,$ tai išvestinė f'(x) lygi nuliui bet kuriame segmento [a; b] taške. Atveju, kai $M>m,$ atsižvelgę į sąlygą $f(a)=f(b),$ galime tvirtinti, kad bent vieną iš dviejų reikšmių M ir m funkcija pasiekia kokiame nors vidiniame segmento [a; b] taške $\xi .$ Todėl funkcija f(x) tame taške $\xi$ turi lokalinį ekstremumą. Kadangi funkcija f(x) diferencijuojama taške $\xi ,$ tai $f^{\prime }(\xi )=0.$ Teorema visiškai įrodyta.

Rolio teorema turi paprastą geometrinę prasmę: jei kreivės y = f(x) kraštinės ordinatės vienodos, tai kreivėje y = f(x) yra bent vienas taškas, per kurį nubrėžta kreivės liestinė yra lygiagreti ašiai Ox (8.10 pav.).

Rolio teorema pagrįsta daugelis matematinės analizės formulių ir teoremų.

Bendroji baigtinių pokyčių formulė (Koši formulė)

Įrodysime teoremą, apibendrinančią anksčiau įrodytąją Lagranžo teoremą.

Koši teorema. Sakykime, funkcijos f(x) ir g(x) tolydžios segmente [a; b] ir diferencijuojamos visuose vidiniuose to segmento taškuose. Jei išvestinė g'(x) nelygi nuliui visuose vidiniuose segmento [a; b] taškuose, tai to segmento viduje yra toks taškas $\xi ,$ kad teisinga lygybė

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}.(8.19)$

Ji vadinama bendrąja baigtinių pokyčių formule, arba Koši formule.

Įrodymas. Pirmiausia įsitikinsime, kad $g(a)\ne g(b).$ Jei taip nebūtų, tai funkcija g(x) segmente [a; b] tenkintų visas Rolio teoremos sąlygas, todėl pagal tą teoremą segmento [a; b] viduje turėtų būti toks taškas $\xi ,$ kad $g^{\prime }(\xi )=0.$ Kadangi tai prieštarauja teoremos sąlygoms, tai $g(a)\ne g(b).$ Vadinasi, galime sudaryti pagalbinę funkciją

$F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)].(8.20)$

Iš funkcijų f(x) ir g(x) savybių, nurodytų teoremos sąlygoje, išplaukia, kad F(x) yra tolydi segmente [a; b] ir diferencijuojama visuose vidiniuose to segmento taškuose. Be to, lengva įsitikinti, kad $F(a)=F(b)=0.$ Vadinasi, segmento [a; b] viduje yra toks taškas $\xi ,$ kad

$F^{\prime }(\xi )=0.(8.21)$

Turėdami galvoje, kad $F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}{g}^{\prime }(x),$ ir pasinaudoję (8.21) lygybe, gausime

$f^{\prime }(\xi )-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}{g}^{\prime }(\xi )=0.(8.22)$

Atsižvelgę į tai, kad $g^{\prime }(\xi )\ne 0,$ iš (8.22) lygybės gauname (8.19) Koši formulę. Teorema įrodyta.

1 pastaba. Lagranžo formulė yra atskiras Koši formulės atvejis, kai $g(x)=x.$

2 pastaba. (8.19) formulei nebūtina sąlyga $b>a.$