Matematika/Lagranžo formulė

Kad įrodyti Lagranžo formulę, pirmiausia reikia žinoti Rolio teoremą. Toliau segmentas reiškia uždarą intervalą.

Išvestinės Nulio teorema

8.10 pav. Paveikslėlyje $f(a)=f(b),$ o taške $\xi$ funkcija f(x) įgauną maksimumą (ekstremumą), todėl $f^{\prime }(\xi )=0.$

Rolio teorema. Sakykime, funkcija f(x) yra tolydi segmente [a; b] ir diferencijuojama visuose vidiniuose to segmento taškuose. Jei $f(a)=f(b),$ tai segmento [a; b] viduje yra taškas $\xi ,$ kuriame išvestinės reikšmė lygi nuliui: $f^{\prime }(\xi )=0.$

Trumpai galima sakyti, kad tarp dviejų skiringų argumento reikšmių, kurias atitinka vienodos diferencijuojamos funkcijos reikšmės, būtinai tos funkcijos išvestinė lygi nuliui.

Įrodymas. Kadangi funkcija f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai ta funkcija pasiekia šiame segmente savo maksimaliąją reikšmę M ir minimaliąją reikšmę m. Galimi du atvejai: 1) $M=m,$ 2) $M>m.$ Kadangi 1 atveju $f(x)=M=m=const,$ tai išvestinė f'(x) lygi nuliui bet kuriame segmento [a; b] taške. Atveju, kai $M>m,$ atsižvelgę į sąlygą $f(a)=f(b),$ galime tvirtinti, kad bent vieną iš dviejų reikšmių M ir m funkcija pasiekia kokiame nors vidiniame segmento [a; b] taške $\xi .$ Todėl funkcija f(x) tame taške $\xi$ turi lokalinį ekstremumą. Kadangi funkcija f(x) diferencijuojama taške $\xi ,$ tai $f^{\prime }(\xi )=0.$ Teorema visiškai įrodyta.

Rolio teorema turi paprastą geometrinę prasmę: jei kreivės y = f(x) kraštinės ordinatės vienodos, tai kreivėje y = f(x) yra bent vienas taškas, per kurį nubrėžta kreivės liestinė yra lygiagreti ašiai Ox (8.10 pav.).

Rolio teorema pagrįsta daugelis matematinės analizės formulių ir teoremų.

Baigtinių pokyčių formulė (Lagranžo formulė)

8.11 pav.

Labai svarbi analizei ir jos pritaikymams yra tolesnė teorema, priskiriama Lagranžui (Ž. L. Lagranžas (1736-1813) - žymus prancūzų matematikas ir mechanikas).

Lagranžo teorema. Jei funkcija f(x) tolydi segmente [a; b] ir diferencijuojama visuose vidiniuose jo taškuose, tai segmento [a; b] viduje yra toks taškas $\xi ,$ kad

$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a).(8.7)$

(8.7) formulė vadinama Lagranžo, arba baigtinių pokyčių, formule.

Įrodymas. Sudarykime segmente [a; b] pagalbinę funkciją

$F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).(8.8)$

Įsitikinsime, kad funkcija F(x) tenkina visas Rolio teoremos sąlygas. Iš tikrųjų F(x) yra tolydi segmente [a; b] (kaip funkcijos f(x) ir tiesinės funkcijos skirtumas) ir visuose jo taškuose turi išvestinę:

$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Be to, iš (8.8) formulės aišku, kad $F(a)=F(b)=0.$

Pagal Rolio teoremą segmento [a; b] viduje yra toks taškas $\xi ,$ kad

$F^{\prime }(\xi )=f^{\prime }(\xi )-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0.(8.9)$

Iš šios lygybės ir gaunama Lagranžo formulė. Pabrėžiame, kad (8.7) formulėje visiškai nebūtina tarti, kad b > a.

Pastaba. Lagranžo teoremą įrodėme kaip Rolio teoremos išvadą. Tačiau, kita vertus, Rolio teorema yra tik atskiras Lagranžo teoremos atvejis (kai $f(a)=f(b);$ tada $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(\xi ),\frac{0}{b-a}=f^{\prime }(\xi ),f^{\prime }(\xi )=0$).

Aiškindamiesi Lagranžo teoremos geometrinę prasmę, atkreipsime dėmesį, kad santykis $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ yra kirstinės, einančios per kreivės $y=f(x)$ taškus A(a; f(a)) ir B(b; f(b)), krypties koeficientas, o $f^{\prime }(\xi )$ yra tos kreivės liestinės, nubrėžtos per tašką $C(\xi ;f(\xi )),$ krypties koeficientas. Lagranžo formulė reiškia, kad kreivėje $y=f(x)$ tarp taškų A ir B yra taškas C, per kurį nubrėžta liestinė yra lygiagreti kirstinei AB (8.11 pav.).

Dažnai būna patogi Lagranžo formulė, užrašyta kitu pavidalu. Fiksuokime bet kurį segmento [a; b] tašką $x_0$ ir suteikime jam tokį laisvą pokytį $\mathrm{\Delta }x,$ kad skaičius $x_0+\mathrm{\Delta }x$ irgi priklausytų segmentui [a; b]. Tada, pritaikę Lagranžo formulę segmentui $[x_0;x_0+\mathrm{\Delta }x],$ gausime:

$f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)=\mathrm{\Delta }x\cdot f^{\prime }(\xi );(8.10)$

čia $\xi$ - koks nors taškas tarp $x_0$ ir $x_0+\mathrm{\Delta }x.$ Galima tvirtinti, kad yra toks (priklausantis nuo $\mathrm{\Delta }x$) skaičius $\theta ,0<\theta <1,$ kad

$\xi =x_0+\theta \mathrm{\Delta }x.$

Vadinasi, (8.10) formulę dar galima užrašyti šitaip:

$f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)=\mathrm{\Delta }x\cdot f^{\prime }(x_0+\theta \mathrm{\Delta }x),(8.11)$

jei $\theta$ - atitinkamas intervalo $0<\theta <1$ skaičius. Taip užrašyta Lagranžo formulė tiksliai išreiškia funkcijos pokytį atitinkamu laisvu argumento pokyčiu $\mathrm{\Delta }x.$ Toks Lagranžo formulės pavidalas pateisina terminą "baigtinių pokyčių formulė".

Ferma teoremos analogas

Kad suprasti Rolio teoremą gali prireikti žinojimas Ferma teoremos. Arba kodėl lokaliniame maksimume arba minimume funkcijos išvestinė tame taške lygi nuliui. Tai mes ir paaiškinsime duodami kažką panašaus į Ferma teoremą.

Teorema. Jei taške $c$ išvestinė tolydžios funkcijos f(x) lygi nuliui, t. y. $f^{\prime }(c)=0,$ tai tolydi funkcija f(x) turi taške c lokalinį maksimumą arba minimumą (ekstremumą).

Įrodymas. Tarkime, kad tiriame tolydžią funkciją f(x) intervale (a; b). O taške c funkciją f(x) turi maksimumą (funkcija f(x) taške c įgyja maksimalią reikšmę iš intevalo (a; b)).

Paimkime iš intervalo (a; c) bet kokį tašką $x_1.$ Toliau paimkime ant Ox ašies tašką $x_1+\mathrm{\Delta }x$ iš intervalo (a; c). Tarsime, kad $x_1+\mathrm{\Delta }x>x_1.$ Kadangi funkcija f(x) intervale (a; c) didėja, o intervale (c; b) mažėja, tai

$\frac{f(x_1+\mathrm{\Delta }x)-f(x_1)}{(x_1+\mathrm{\Delta }x)-x_1}>0,$

nes skaitiklyje ir vardiklyje yra teigiamos reikšmės. O tuo atveju, kai $\mathrm{\Delta }x\to 0,$ gauname išvestinę, kurios reikšmė taške $x_1$ daugiau už nulį:

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x_1+\mathrm{\Delta }x)-f(x_1)}{(x_1+\mathrm{\Delta }x)-x_1}>0,$

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x_1+\mathrm{\Delta }x)-f(x_1)}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(x_1)>0.$

Toliau paimkime iš intervalo (c; b) bet kurį tašką $x_2.$ Ir tarkime, kad $x_2+\mathrm{\Delta }x>x_2.$ Funkcija f(x) intervale (c; b) mažėja ir todėl $f(x_2+\mathrm{\Delta }x)-f(x_2)<0.$ Kai $\mathrm{\Delta }x\to 0,$ gauname:

$\frac{f(x_2+\mathrm{\Delta }x)-f(x_2)}{(x_2+\mathrm{\Delta }x)-x_2}<0$ (nes skaitiklis neigiamas, o vardiklis teigiamas),

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x_2+\mathrm{\Delta }x)-f(x_2)}{(x_2+\mathrm{\Delta }x)-x_2}<0,$

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x_2+\mathrm{\Delta }x)-f(x_2)}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(x_2)<0.$

Matome, kad intervale (a; c) funkcijos f(x) išvestinė teigiama, o intervale (c; b) funkcijos f(x) išvestinė neigiama. Kadangi funkcija f(x) yra tolydi, tai taške c funckijos f(x) išvestinė turi būti lygi nuliui, t. y. $f^{\prime }(c)=0.$

Analogiškai, jei tolydi funkcija f(x) intervale (a; c) mažėja (tada šiame intervale išvestinė neigiama), o intervale (c; b) didėja (tada intervale (c; b) funkcijos f(x) išvestinė teigiama), tai funkcija f(x) taške c turi lokalinį minimumą ir $f^{\prime }(c)=0.$

Teorema įrodyta.