Štolco teorema

Labai dažnai, nagrinėjant sekų $\{x_n\}$ ir $\{y_n\}$ dalmens $\{\frac{x_n}{y_n}\}$ konvergavimą, praverčia tokia teorema.

Štolco teorema. Sakykime, $\{y_n\}$ – didėjanti ir neaprėžta seka, o $\{\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\}$ – konverguojanti seka, kurios riba lygi a. Tada seka $\{\frac{x_n}{y_n}\}$ konverguoja ir turi tą pačią ribą a. Vadinasi,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_n}{y_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}.$

Įrodymas. Kadangi seka $\{\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\}$ konverguoja, o jos riba lygi a, tai $\{{\alpha }_n\},$ kai ${\alpha }_n=\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}-a,$ yra nykstanti seka. Sakykime, $\bar{N}$ – bet koks fiksuotas numeris ir $n>\bar{N}.$ Naudodamiesi ${\alpha }_n$ išraiška, parašome lygybių seriją:

$x_{\bar{N}+1}-x_{\bar{N}}=a(y_{\bar{N}+1}-y_{\bar{N}})+{\alpha }_{\bar{N}+1}(y_{\bar{N}+1}-y_{\bar{N}}),$

$x_{\bar{N}+2}-x_{\bar{N}+1}=a(y_{\bar{N}+2}-y_{\bar{N}+1})+{\alpha }_{\bar{N}+2}(y_{\bar{N}+2}-y_{\bar{N}+1}),$

$\mathrm{......................}$

$x_{n-1}-x_{n-2}=a(y_{n-1}-y_{n-2})+{\alpha }_{n-1}(y_{n-1}-y_{n-2}),$

$x_n-x_{n-1}=a(y_n-y_{n-1})+{\alpha }_n(y_n-y_{n-1}).$

Sudėję šias lygybes, gauname

$x_n-x_{\bar{N}}=a{y}_n-a{y}_{\bar{N}}+{\alpha }_{\bar{N}+1}(y_{\bar{N}+1}-y_{\bar{N}})+{\alpha }_{\bar{N}+2}(y_{\bar{N}+2}-y_{\bar{N}+1})+\mathrm{...}+{\alpha }_{n-1}(y_{n-1}-y_{n-2})+{\alpha }_n(y_n-y_{n-1}).$

Kadangi $\{y_n\}$ – didėjanti neaprėžta seka, tai, pradedant kuriuo nors numeriu, jos elementai yra teigiami. Tarsime, kad $y_n>0,$ kai $n\ge \bar{N}.$ Tada iš paskutinės lygybės gausime

$\frac{x_n}{y_n}-a=\frac{x_{\bar{N}}-a{y}_{\bar{N}}}{y_n}+\frac{{\alpha }_{\bar{N}+1}(y_{\bar{N}+1}-y_{\bar{N}})+{\alpha }_{\bar{N}+2}(y_{\bar{N}+2}-y_{\bar{N}+1})+\mathrm{...}+{\alpha }_{n-1}(y_{n-1}-y_{n-2})+{\alpha }_n(y_n-y_{n-1})}{y_n}.$

Kadangi seka $\{y_n\}$ didėja, tai skirtumai $y_{k+1}-y_k$ ($k=\bar{N},\bar{N}+1,\mathrm{...},n-1$) yra teigiami. Todėl iš paskutinės lygybės gauname

$|\frac{x_n}{y_n}-a|\le \left|\frac{x_{\bar{N}}-a{y}_{\bar{N}}}{y_n}\right|+\frac{|{\alpha }_{\bar{N}+1}|(y_{\bar{N}+1}-y_{\bar{N}})+|{\alpha }_{\bar{N}+2}|(y_{\bar{N}+2}-y_{\bar{N}+1})+\mathrm{...}+|{\alpha }_{n-1}|(y_{n-1}-y_{n-2})+|{\alpha }_n|(y_n-y_{n-1})}{y_n}.(3.8)$

Dabar įsitikinsime, kad seka $\{\frac{x_n}{y_n}\}$ konverguoja, o jos riba lygi a. Tuo tikslu pakanka įrodyti, kad kiekvieną teigiamą $\epsilon$ atitinka toks numeris N, kad nelygybė $|\frac{x_n}{y_n}-a|<\epsilon$ yra teisinga, kai $n\ge N.$ Pirmiausia pagal duotąjį $\epsilon >0$ pasirinksime tokį numerį $\bar{N},$ kad nelygybė $|{\alpha }_n|<\frac{\epsilon }{2}$ būtų teisinga, kai $n\ge \bar{N}$ (tai galima padaryti, nes seka $\{{\alpha }_n\}$ nyksta). Toliau taip pasirinksime numerį $N\ge \bar{N},$ kad nelygybė $\left|\frac{x_{\bar{N}}-a{y}_{\bar{N}}}{y_n}\right|<\frac{\epsilon }{2}$ būtų teisinga, kai $n\ge N.$ Tokį numerį parinkti įmanoma, nes $x_{\bar{N}}-a{y}_{\bar{N}}$ yra fiksuotas skaičius, o seka $\{y_n\}$ neaprėžtai didėja ir todėl seka $\{\frac{x_{\bar{N}}-a{y}_{\bar{N}}}{y_n}\}$ nyksta. Pagaliau tarkime, kad $n\ge N.$ Tada iš (3.8) nelygybės gausime

$|\frac{x_n}{y_n}-a|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}\cdot \frac{(y_{\bar{N}+1}-y_{\bar{N}})+(y_{\bar{N}+2}-y_{\bar{N}+1})+\mathrm{...}+(y_{n-1}-y_{n-2})+(y_n-y_{n-1})}{y_n},$

arba

$|\frac{x_n}{y_n}-a|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}\cdot \frac{y_n-y_{\bar{N}}}{y_n}.$

Kadangi $y_n-y_{\bar{N}}\le y_n$ ir $y_n>0,$ kai $n\ge N,$ tai $\frac{y_n-y_{\bar{N}}}{y_n}\le 1.$ Todėl iš paskutinės nelygybės, kai $n\ge N,$ gauname

$|\frac{x_n}{y_n}-a|<\epsilon .$

Teorema įrodyta.

Pastaba. Jei $\{y_n\}$ yra didėjanti neaprėžta seka, o seka $\{\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\}$ neaprėžtai didėja ir artėja prie $+\mathrm{\infty }$ arba $-\mathrm{\infty },$ tai seka $\{\frac{x_n}{y_n}\}$ neaprėžtai didėja. Sakykime,

$\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=A_n.$

Tada $\{A_n\}$ – neaprėžtai didėjanti seka. Kai $n>\bar{N},$ galima parašyti šitokias lygybes:

$x_{\bar{N}+1}-x_{\bar{N}}=A_{\bar{N}+1}(y_{\bar{N}+1}-y_{\bar{N}}),$

$x_{\bar{N}+2}-x_{\bar{N}+1}=A_{\bar{N}+2}(y_{\bar{N}+2}-y_{\bar{N}+1}),$

$\mathrm{......................}$

$x_{n-1}-x_{n-2}=A_{n-1}(y_{n-1}-y_{n-2}),$

$x_n-x_{n-1}=A_n(y_n-y_{n-1}).$

Sudėję šias lygybes, gauname

$x_n-x_{\bar{N}}=A_{\bar{N}+1}(y_{\bar{N}+1}-y_{\bar{N}})+A_{\bar{N}+2}(y_{\bar{N}+2}-y_{\bar{N}+1})+\mathrm{...}+A_{n-1}(y_{n-1}-y_{n-2})+A_n(y_n-y_{n-1}).$

Iš čia

$\frac{x_n}{y_n}=\frac{A_{\bar{N}+1}(y_{\bar{N}+1}-y_{\bar{N}})+A_{\bar{N}+2}(y_{\bar{N}+2}-y_{\bar{N}+1})+\mathrm{...}+A_{n-1}(y_{n-1}-y_{n-2})+A_n(y_n-y_{n-1})}{y_n}+\frac{x_{\bar{N}}}{y_n}.$

Iš paskutinės lygybės gauname

$\left|\frac{x_n}{y_n}\right|\ge \left|\frac{A_{\bar{N}+1}(y_{\bar{N}+1}-y_{\bar{N}})+A_{\bar{N}+2}(y_{\bar{N}+2}-y_{\bar{N}+1})+\mathrm{...}+A_{n-1}(y_{n-1}-y_{n-2})+A_n(y_n-y_{n-1})}{y_n}\right|-\left|\frac{x_{\bar{N}}}{y_n}\right|.(3.9)$

Sekų $\{y_n\}$ ir $\{A_n\}$ elementus, kad būtų konkrečiau, laikysime teigiamais, kai $n\ge \bar{N}.$ Paskui pagal duotą teigiamą skaičių A pasirinkime tokį numerį $\bar{N},$ kad nelygybė $A_n>4A$ būtų teisingai, kai $n\ge \bar{N},$ po to rasime tokį $N\ge \bar{N},$ kad nelygybės

$\left|\frac{x_{\bar{N}}}{y_n}\right|<A,\frac{y_{\bar{N}}}{y_n}<\frac{1}{2}$

būtų teisingos, kai $n\ge N.$ Tokį N surasti galima, nes sekos $\{A_n\}$ ir $\{y_n\}$ neaprėžtai didėja, o jų nariai, pradedant kuriuo nors numeriu, yra teigiami. Savaime aišku, iš (3.9) nelygybės, kai $n\ge N,$ gauname

$\left|\frac{x_n}{y_n}\right|>4A\cdot \frac{(y_{\bar{N}+1}-y_{\bar{N}})+(y_{\bar{N}+2}-y_{\bar{N}+1})+\mathrm{...}+(y_{n-1}-y_{n-2})+(y_n-y_{n-1})}{y_n}-\left|\frac{x_{\bar{N}}}{y_n}\right|,$

arba

$\left|\frac{x_n}{y_n}\right|>4A\cdot (1-\frac{y_{\bar{N}}}{y_n})-A>A.$

Vadinasi, $\{\frac{x_n}{y_n}\}$ – neaprėžtai didėjanti seka.

Išnagrinėsime keletą pavyzdžių.

$1^{\circ }.$ Įrodysime, kad seka $\{\frac{a_1+a_2+\mathrm{...}+a_n}{n}\},$ sudaryta iš sekos $\{a_n\}$ elementų aritmetinių vidurkių, konverguoja ir turi ribą a, jei pati seka $\{a_n\}$ konverguoja ir turi ribą a (šį teiginį įrodė Koši). Iš tikrųjų, jei tarsime, kad $a_1+a_2+\mathrm{...}+a_n=x_n,y_n=n,$ tai gausime $\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\frac{(a_1+a_2+\mathrm{...}+a_{n-1}+a_n)-(a_1+a_2+\mathrm{...}+a_{n-1})}{n-(n-1)}=a_n.$ Kadangi $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}$ egzistuoja, tai pagal Štolco teoremą

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_1+a_2+\mathrm{...}+a_n}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a.$

$2^{\circ }.$ Išnagrinėsime seką $\{a_n\},$ kai

$a_n=\frac{1^k+2^k+\mathrm{...}+n^k}{n^{k+1}}.$

o k – natūralusis skaičius.

Sumą $1^k+2^k+\mathrm{...}+n^k$ pažymėkime $x_n,$ o laipsnį $n^{k+1}$ – simboliu $y_n.$ Tada seka $\{a_n\}$ yra dviejų sekų dalmuo $\{\frac{x_n}{y_n}\}.$ Ištrisime, ar konverguoja seka $\{\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\}.$ Kadangi

$\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\frac{n^k}{n^{k+1}-(n-1{)}^{k+1}}=\frac{n^k}{(k+1)n^k-\frac{(k+1)k}{2}{n}^{k-1}+\mathrm{...}+(-1{)}^{k+1}},$

tai paskutinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį padaliję iš $n^k,$ gauname

$\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\frac{1}{k+1+\frac{1}{n}[\mathrm{...}]}.$

Čia laužtiniuose skliaustuose neparašytas reiškinys, kurio riba, kai $n\to \mathrm{\infty },$ lygi $-\frac{(k+1)k}{2}.$ Todėl iš paskutinės lygybės gauname

$\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\frac{1}{k+1}.$

Vadinasi, remiantis Štolco teorema, galima rašyti

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1^k+2^k+\mathrm{...}+n^k}{n^{k+1}}=\frac{1}{k+1}.$

$3^{\circ }.$ Išnagrinėsime seką $\{\frac{a^n}{n}\},$ kai $a>1.$ Jei $a^n=x_n,$ o $n=y_n,$ tai tirdami seką $\{\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\},$ gauname

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a^n-a^{n-1})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}^n(1-\frac{1}{a})=+\mathrm{\infty }.$

Vadinasi, pagal pastabą, pateiktą po Štolco teoremos,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a^n}{n}=+\mathrm{\infty }.$