Štolco teorema

Labai dažnai, nagrinėjant sekų

{x_{n}}

ir

{y_{n}}

dalmens

{\frac{x_{n}}{y_{n}}}

konvergavimą, praverčia tokia teorema.

Štolco teorema. Sakykime, ${y_{n}}$ – didėjanti ir neaprėžta seka, o ${\frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}}}$ – konverguojanti seka, kurios riba lygi a. Tada seka ${\frac{x_{n}}{y_{n}}}$ konverguoja ir turi tą pačią ribą a. Vadinasi,

\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}} .

Įrodymas. Kadangi seka

{\frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}}}

konverguoja, o jos riba lygi a, tai

{α_{n}},

kai

α_{n} = \frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}} - a,

yra nykstanti seka. Sakykime,

\overline{N}

– bet koks fiksuotas numeris ir

n > \overline{N} .

Naudodamiesi

α_{n}

išraiška, parašome lygybių seriją:

x_{\overline{N} + 1} - x_{\overline{N}} = a (y_{\overline{N} + 1} - y_{\overline{N}}) + α_{\overline{N} + 1} (y_{\overline{N} + 1} - y_{\overline{N}}),

x_{\overline{N} + 2} - x_{\overline{N} + 1} = a (y_{\overline{N} + 2} - y_{\overline{N} + 1}) + α_{\overline{N} + 2} (y_{\overline{N} + 2} - y_{\overline{N} + 1}),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x_{n - 1} - x_{n - 2} = a (y_{n - 1} - y_{n - 2}) + α_{n - 1} (y_{n - 1} - y_{n - 2}),

x_{n} - x_{n - 1} = a (y_{n} - y_{n - 1}) + α_{n} (y_{n} - y_{n - 1}) .

Sudėję šias lygybes, gauname

x_{n} - x_{\overline{N}} = a y_{n} - a y_{\overline{N}} + α_{\overline{N} + 1} (y_{\overline{N} + 1} - y_{\overline{N}}) + α_{\overline{N} + 2} (y_{\overline{N} + 2} - y_{\overline{N} + 1}) + . . . + α_{n - 1} (y_{n - 1} - y_{n - 2}) + α_{n} (y_{n} - y_{n - 1}) .

Kadangi

{y_{n}}

– didėjanti neaprėžta seka, tai, pradedant kuriuo nors numeriu, jos elementai yra teigiami. Tarsime, kad

y_{n} > 0,

kai

n \geq \overline{N} .

Tada iš paskutinės lygybės gausime

\frac{x_{n}}{y_{n}} - a = \frac{x_{\overline{N}} - a y_{\overline{N}}}{y_{n}} + \frac{α_{\overline{N} + 1} (y_{\overline{N} + 1} - y_{\overline{N}}) + α_{\overline{N} + 2} (y_{\overline{N} + 2} - y_{\overline{N} + 1}) + . . . + α_{n - 1} (y_{n - 1} - y_{n - 2}) + α_{n} (y_{n} - y_{n - 1})}{y_{n}} .

Kadangi seka

{y_{n}}

didėja, tai skirtumai

y_{k + 1} - y_{k}

(

k = \overline{N}, \overline{N} + 1, . . ., n - 1

) yra teigiami. Todėl iš paskutinės lygybės gauname

| \frac{x_{n}}{y_{n}} - a | \leq | \frac{x_{\overline{N}} - a y_{\overline{N}}}{y_{n}} | + \frac{| α_{\overline{N} + 1} | (y_{\overline{N} + 1} - y_{\overline{N}}) + | α_{\overline{N} + 2} | (y_{\overline{N} + 2} - y_{\overline{N} + 1}) + . . . + | α_{n - 1} | (y_{n - 1} - y_{n - 2}) + | α_{n} | (y_{n} - y_{n - 1})}{y_{n}} . (3.8)

Dabar įsitikinsime, kad seka

{\frac{x_{n}}{y_{n}}}

konverguoja, o jos riba lygi a. Tuo tikslu pakanka įrodyti, kad kiekvieną teigiamą

ε

atitinka toks numeris N, kad nelygybė

| \frac{x_{n}}{y_{n}} - a | < ε

yra teisinga, kai

n \geq N .

Pirmiausia pagal duotąjį

ε > 0

pasirinksime tokį numerį

\overline{N},

kad nelygybė

| α_{n} | < \frac{ε}{2}

būtų teisinga, kai

n \geq \overline{N}

(tai galima padaryti, nes seka

{α_{n}}

nyksta). Toliau taip pasirinksime numerį

N \geq \overline{N},

kad nelygybė

| \frac{x_{\overline{N}} - a y_{\overline{N}}}{y_{n}} | < \frac{ε}{2}

būtų teisinga, kai

n \geq N .

Tokį numerį parinkti įmanoma, nes

x_{\overline{N}} - a y_{\overline{N}}

yra fiksuotas skaičius, o seka

{y_{n}}

neaprėžtai didėja ir todėl seka

{\frac{x_{\overline{N}} - a y_{\overline{N}}}{y_{n}}}

nyksta. Pagaliau tarkime, kad

n \geq N .

Tada iš (3.8) nelygybės gausime

| \frac{x_{n}}{y_{n}} - a | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} \cdot \frac{(y_{\overline{N} + 1} - y_{\overline{N}}) + (y_{\overline{N} + 2} - y_{\overline{N} + 1}) + . . . + (y_{n - 1} - y_{n - 2}) + (y_{n} - y_{n - 1})}{y_{n}},

arba

| \frac{x_{n}}{y_{n}} - a | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} \cdot \frac{y_{n} - y_{\overline{N}}}{y_{n}} .

Kadangi

y_{n} - y_{\overline{N}} \leq y_{n}

ir

y_{n} > 0,

kai

n \geq N,

tai

\frac{y_{n} - y_{\overline{N}}}{y_{n}} \leq 1 .

Todėl iš paskutinės nelygybės, kai

n \geq N,

gauname

| \frac{x_{n}}{y_{n}} - a | < ε .

Teorema įrodyta.

Pastaba. Jei ${y_{n}}$ yra didėjanti neaprėžta seka, o seka ${\frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}}}$ neaprėžtai didėja ir artėja prie $+ \infty$ arba $- \infty,$ tai seka ${\frac{x_{n}}{y_{n}}}$ neaprėžtai didėja. Sakykime,

\frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}} = A_{n} .

Tada

{A_{n}}

– neaprėžtai didėjanti seka. Kai

n > \overline{N},

galima parašyti šitokias lygybes:

x_{\overline{N} + 1} - x_{\overline{N}} = A_{\overline{N} + 1} (y_{\overline{N} + 1} - y_{\overline{N}}),

x_{\overline{N} + 2} - x_{\overline{N} + 1} = A_{\overline{N} + 2} (y_{\overline{N} + 2} - y_{\overline{N} + 1}),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x_{n - 1} - x_{n - 2} = A_{n - 1} (y_{n - 1} - y_{n - 2}),

x_{n} - x_{n - 1} = A_{n} (y_{n} - y_{n - 1}) .

Sudėję šias lygybes, gauname

x_{n} - x_{\overline{N}} = A_{\overline{N} + 1} (y_{\overline{N} + 1} - y_{\overline{N}}) + A_{\overline{N} + 2} (y_{\overline{N} + 2} - y_{\overline{N} + 1}) + . . . + A_{n - 1} (y_{n - 1} - y_{n - 2}) + A_{n} (y_{n} - y_{n - 1}) .

Iš čia

\frac{x_{n}}{y_{n}} = \frac{A_{\overline{N} + 1} (y_{\overline{N} + 1} - y_{\overline{N}}) + A_{\overline{N} + 2} (y_{\overline{N} + 2} - y_{\overline{N} + 1}) + . . . + A_{n - 1} (y_{n - 1} - y_{n - 2}) + A_{n} (y_{n} - y_{n - 1})}{y_{n}} + \frac{x_{\overline{N}}}{y_{n}} .

Iš paskutinės lygybės gauname

| \frac{x_{n}}{y_{n}} | \geq | \frac{A_{\overline{N} + 1} (y_{\overline{N} + 1} - y_{\overline{N}}) + A_{\overline{N} + 2} (y_{\overline{N} + 2} - y_{\overline{N} + 1}) + . . . + A_{n - 1} (y_{n - 1} - y_{n - 2}) + A_{n} (y_{n} - y_{n - 1})}{y_{n}} | - | \frac{x_{\overline{N}}}{y_{n}} | . (3.9)

Sekų

{y_{n}}

ir

{A_{n}}

elementus, kad būtų konkrečiau, laikysime teigiamais, kai

n \geq \overline{N} .

Paskui pagal duotą teigiamą skaičių A pasirinkime tokį numerį

\overline{N},

kad nelygybė

A_{n} > 4 A

būtų teisingai, kai

n \geq \overline{N},

po to rasime tokį

N \geq \overline{N},

kad nelygybės

| \frac{x_{\overline{N}}}{y_{n}} | < A, \frac{y_{\overline{N}}}{y_{n}} < \frac{1}{2}

būtų teisingos, kai

n \geq N .

Tokį N surasti galima, nes sekos

{A_{n}}

ir

{y_{n}}

neaprėžtai didėja, o jų nariai, pradedant kuriuo nors numeriu, yra teigiami. Savaime aišku, iš (3.9) nelygybės, kai

n \geq N,

gauname

| \frac{x_{n}}{y_{n}} | > 4 A \cdot \frac{(y_{\overline{N} + 1} - y_{\overline{N}}) + (y_{\overline{N} + 2} - y_{\overline{N} + 1}) + . . . + (y_{n - 1} - y_{n - 2}) + (y_{n} - y_{n - 1})}{y_{n}} - | \frac{x_{\overline{N}}}{y_{n}} |,

arba

| \frac{x_{n}}{y_{n}} | > 4 A \cdot (1 - \frac{y_{\overline{N}}}{y_{n}}) - A > A .

Vadinasi,

{\frac{x_{n}}{y_{n}}}

– neaprėžtai didėjanti seka.

Išnagrinėsime keletą pavyzdžių.

1^{\circ} .

Įrodysime, kad seka

{\frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}}{n}},

sudaryta iš sekos

{a_{n}}

elementų aritmetinių vidurkių, konverguoja ir turi ribą a, jei pati seka

{a_{n}}

konverguoja ir turi ribą a (šį teiginį įrodė Koši). Iš tikrųjų, jei tarsime, kad

a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n} = x_{n}, y_{n} = n,

tai gausime

\frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}} = \frac{(a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n - 1} + a_{n}) - (a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n - 1})}{n - (n - 1)} = a_{n} .

Kadangi

\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}}

egzistuoja, tai pagal Štolco teoremą

\lim_{n \to \infty} \frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}}{n} = \lim_{n \to \infty} a_{n} = a .

2^{\circ} .

Išnagrinėsime seką

{a_{n}},

kai

a_{n} = \frac{1^{k} + 2^{k} + . . . + n^{k}}{n^{k + 1}} .

o k – natūralusis skaičius.

Sumą

1^{k} + 2^{k} + . . . + n^{k}

pažymėkime

x_{n},

o laipsnį

n^{k + 1}

– simboliu

y_{n} .

Tada seka

{a_{n}}

yra dviejų sekų dalmuo

{\frac{x_{n}}{y_{n}}} .

Ištrisime, ar konverguoja seka

{\frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}}} .

Kadangi

\frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}} = \frac{n^{k}}{n^{k + 1} - (n - 1)^{k + 1}} = \frac{n^{k}}{(k + 1) n^{k} - \frac{(k + 1) k}{2} n^{k - 1} + . . . + (- 1)^{k + 1}},

tai paskutinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį padaliję iš

n^{k},

gauname

\frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}} = \frac{1}{k + 1 + \frac{1}{n} [. . .]} .

Čia laužtiniuose skliaustuose neparašytas reiškinys, kurio riba, kai

n \to \infty,

lygi

- \frac{(k + 1) k}{2} .

Todėl iš paskutinės lygybės gauname

\frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}} = \frac{1}{k + 1} .

Vadinasi, remiantis Štolco teorema, galima rašyti

\lim_{n \to \infty} \frac{1^{k} + 2^{k} + . . . + n^{k}}{n^{k + 1}} = \frac{1}{k + 1} .

3^{\circ} .

Išnagrinėsime seką

{\frac{a^{n}}{n}},

kai

a > 1 .

Jei

a^{n} = x_{n},

o

n = y_{n},

tai tirdami seką

{\frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}}},

gauname

\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n} - x_{n - 1}}{y_{n} - y_{n - 1}} = \lim_{n \to \infty} (a^{n} - a^{n - 1}) = \lim_{n \to \infty} a^{n} (1 - \frac{1}{a}) = + \infty .

Vadinasi, pagal pastabą, pateiktą po Štolco teoremos,

\lim_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n} = + \infty .

Štolco teorema

Naršymo meniu

Paieška