Determinantas

Determinantas – tiesinės algebros funkcija, kiekvienai kvadratinei n×n matricai A priskirianti skaliarinę reikšmę det(A). Determinantai svarbūs integraliniame ir diferencialiniame skaičiavime, geometrijoje, kitose matematikos srityse.

Determinanto $n \times n$ formulė yra tokia:

d e t (A) = | A | = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} | = \sum_{i = 1}^{n!} (- 1)^{p (i)} \cdot a_{1 k_{i 1}} a_{2 k_{i 2}} \dots a_{n k_{i n}}

kur

$| A |$ ir $d e t (A)$ – determinanto žymėjimas.

Antros eilės determinantas

2×2 matrica

A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]

turi determinantą

det (A) = a d - b c

.

Determinantas taikomas spręsti sistemą su dviem nežinomaisiais:

a_{11} x + a_{12} y = c_{1},

a_{21} x + a_{22} y = c_{2} .

Surandamas determinantas:

D = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} | = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}

Jei determinantas nelygus nuliui, tai sistema turi tik vieną sprendinį:

x = \frac{D_{x}}{D},

y = \frac{D_{y}}{D},

kur

D_{x} = | \begin{matrix} c_{1} & a_{12} \\ c_{2} & a_{22} \end{matrix} |,

D_{y} = | \begin{matrix} a_{11} & c_{1} \\ a_{21} & c_{2} \end{matrix} | .

Formulės vadinamos Kramerio formulėmis. Jei D=0, bet $D_{x}$ arba $D_{y}$ nelygu 0, tai sistema sprendinių neturi (yra nesuderinta). Jei $D = D_{x} = D_{y} = 0$ , tai sistema turi be galo daug sprendinių (yra neapibrėžta).

Pavyzdys, kaip galima išspręsti sistemą surandant determinantą. Sistema yra tokia:

{x+2y=8,

{3x - y=3.

Sistemos determinantas yra

D = | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & - 1 \end{matrix} | = 1 \cdot (- 1) - 3 \cdot 2 = - 7;

Toliau į determinanto pirmą stulpelį įstačius dešines lygties puses, randamas

D_{x} = | \begin{matrix} 8 & 2 \\ 3 & - 1 \end{matrix} | = - 8 - 6 = - 14;

Panašiai randamas

D_{y} = | \begin{matrix} 1 & 8 \\ 3 & 3 \end{matrix} | = 3 - 24 = - 21;

x = D_{x} / D = - 14 / (- 7) = 2;

y = D_{y} / D = - 21 / (- 7) = 3.

Determinantas 3 $\times$ 3

$d e t A = | A | = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | =$

$= a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32}$

Didesnėms matricoms determinanto skaičiavimo formulė yra kitokia.

Sistemų sprendimas taikant Kramerio formules

Pagal Kramerio formulę galima surasti sistemos:

a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_{3} = c_{1}

a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + a_{23} x_{3} = c_{2}

a_{31} x_{1} + a_{32} x_{2} + a_{33} x_{3} = c_{3}

sprendinius:

x_{1} = \frac{D_{1}}{D},

x_{2} = \frac{D_{2}}{D},

x_{3} = \frac{D_{3}}{D},

kur

D_{1} = | \begin{matrix} c_{1} & a_{12} & a_{13} \\ c_{2} & a_{22} & a_{23} \\ c_{3} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |,

D_{2} = | \begin{matrix} a_{11} & c_{1} & a_{13} \\ a_{21} & c_{2} & a_{23} \\ a_{31} & c_{3} & a_{33} \end{matrix} |,

D_{3} = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & c_{3} \\ a_{21} & a_{22} & c_{2} \\ a_{31} & a_{32} & c_{3} \end{matrix} | .

Tokiu būdu randami sistemos sprendiniai ir didesnėms matricoms.

Remdamiesi Kramerio formulėmis, išspręskime tiesinių lygčių sistemą

2 x_{1} + x_{2} - x_{3} = 0,

3 x_{1} + 4 x_{2} + 6 x_{3} = - 5

x_{1} + x_{3} = 1.

D = d e t A = | \begin{matrix} 2 & 1 & - 1 \\ 3 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 3 & 1 & - 1 \\ - 3 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | = (- 1)^{3 + 3} | \begin{matrix} 3 & 1 \\ - 3 & 4 \end{matrix} | = 15;

Kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio (trečias stulpelis nesikeičia).

D_{1} = | \begin{matrix} 0 & 1 & - 1 \\ - 5 & 4 & 6 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 0 & 0 & - 1 \\ - 5 & 10 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} | = (- 1) \cdot (- 1)^{1 + 3} | \begin{matrix} - 5 & 10 \\ 1 & 1 \end{matrix} | = 15;

Kur trečias stulpelis buvo pridėtas prie antro stulpelio.

D_{2} = | \begin{matrix} 2 & 0 & - 1 \\ 3 & - 5 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 0 & 0 & - 1 \\ 15 & - 5 & 6 \\ 3 & 1 & 1 \end{matrix} | = (- 1) \cdot (- 1)^{1 + 3} | \begin{matrix} 15 & - 5 \\ 3 & 1 \end{matrix} | = - 30;

kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš 2 ir pridėtas prie pirmojo stulpelio.

D_{3} = | \begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & - 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 8 & 4 & - 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | = (- 1)^{3 + 3} | \begin{matrix} 2 & 1 \\ 8 & 4 \end{matrix} | = 0;

kur trečias stuleplis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio.

x_{1} = \frac{D_{1}}{d e t A} = \frac{15}{15} = 1; x_{2} = \frac{D_{2}}{d e t A} = \frac{- 30}{15} = - 2; x_{3} = \frac{D_{3}}{d e t A} = \frac{0}{15} = 0.

Lygčių sprendimas atvirkštinės matricos metodu

Determinanto radimas naudojant adjunktą:

d e t A = | \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ - 1 & 3 & 1 \end{matrix} | = 2 \cdot (- 1)^{2 + 3} | \begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & 3 \end{matrix} | = - 6 ≠ 0;

kur 2 ir 3 virš (-1) yra antra eilutė ir trečias stulpelis.

A_{11} = (- 1)^{1 + 1} | \begin{matrix} 0 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix} | = - 6; A_{12} = (- 1)^{1 + 2} | \begin{matrix} 0 & 2 \\ - 1 & 1 \end{matrix} | = - 2;

A_{13} = (- 1)^{1 + 3} | \begin{matrix} 0 & 0 \\ - 1 & 3 \end{matrix} | = 0; A_{21} = (- 1)^{2 + 1} | \begin{matrix} 0 & 1 \\ 3 & 1 \end{matrix} | = 3;

A_{22} = (- 1)^{2 + 2} | \begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix} | = 2; A_{23} = (- 1)^{2 + 3} | \begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & 3 \end{matrix} | = - 3;

A_{31} = (- 1)^{3 + 1} | \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} | = 0; A_{32} = (- 1)^{3 + 2} | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} | = - 2;

A_{33} = (- 1)^{3 + 3} | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} | = 0;

Tiesinių lygčių sistemos sprendimo metodas vadinamas atvirkštinės matricos metodu arba matricų metodu:

A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} \cdot [\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{matrix}] = \frac{1}{- 6} \cdot [\begin{matrix} - 6 & 3 & 0 \\ - 2 & 2 & - 2 \\ 0 & - 3 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{matrix}] .

Išspręsime sistemą

3 x_{1} + 5 x_{2} - 2 x_{3} = 2,

x_{1} - 3 x_{2} + 2 x_{3} = 10,

6 x_{1} + 7 x_{2} - 3 x_{3} = 5

matricų metodu.

$A = [\begin{matrix} 3 & 5 & - 2 \\ 1 & - 3 & 2 \\ 6 & 7 & - 3 \end{matrix}]; B = [\begin{matrix} 2 \\ 10 \\ 5 \end{matrix}]; X = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}];$

$X = A^{- 1} \cdot B; A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} \cdot [\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{matrix}];$

$d e t A = | \begin{matrix} 3 & 5 & - 2 \\ 1 & - 3 & 2 \\ 6 & 7 & - 3 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 0 & 14 & - 8 \\ 1 & - 3 & 2 \\ 0 & 25 & - 15 \end{matrix} | = (- 1)^{2 + 1} | \begin{matrix} 14 & - 8 \\ 25 & - 15 \end{matrix} | = - 2 \cdot 5 | \begin{matrix} 7 & - 4 \\ 5 & - 3 \end{matrix} | = 10 ≠ 0;$ Kur antrą eilutę padauginome iš (-3) ir pridėjome prie pirmos eilutės, ir antrą eilutę padauginome iš (-6) ir pridėjome prie trečios eilutės.

A_{11} = (- 1)^{1 + 1} | \begin{matrix} - 3 & 2 \\ 7 & - 3 \end{matrix} | = - 5; A_{21} = (- 1)^{2 + 1} | \begin{matrix} 5 & - 2 \\ 7 & - 3 \end{matrix} | = 1; A_{31} = | \begin{matrix} 5 & - 2 \\ - 3 & 2 \end{matrix} | = 4;

A_{12} = - | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 6 & - 3 \end{matrix} | = 15; A_{22} = (- 1)^{2 + 2} | \begin{matrix} 3 & - 2 \\ 6 & - 3 \end{matrix} | = 3; A_{32} = - | \begin{matrix} 3 & - 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} | = - 8;

A_{13} = | \begin{matrix} 1 & - 3 \\ 6 & 7 \end{matrix} | = 25; A_{23} = (- 1)^{2 + 3} | \begin{matrix} 3 & 5 \\ 6 & 7 \end{matrix} | = 9; A_{33} = | \begin{matrix} 3 & 5 \\ 1 & - 3 \end{matrix} | = - 14;

A^{- 1} = \frac{1}{10} [\begin{matrix} - 5 & 1 & 4 \\ 15 & 3 & - 8 \\ 25 & 9 & - 14 \end{matrix}];

X = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = \frac{1}{10} (\begin{matrix} - 5 & 1 & 4 \\ 15 & 3 & - 8 \\ 25 & 9 & - 14 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 10 \\ 5 \end{matrix}) = \frac{1}{10} (\begin{matrix} 20 \\ 20 \\ 70 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 7 \end{matrix});

x_{1} = 2;

x_{2} = 2;

x_{3} = 7.

Lygčių sistemos sprendimas Gauso metodu

Pavyzdžiui, turime lygčių sistemą:

3 x_{1} - 2 x_{2} + 4 x_{3} = - 8,

2 x_{1} + 7 x_{2} - 5 x_{3} = 26,

x_{1} - 3 x_{2} + 8 x_{3} = - 25.

Išplėstinės matricos A pirmoje eilutėje parašome trečios eilutės koeficientus, o pirmą ir antrą eilutes nustumiame žemyn:

A = [\begin{matrix} 1 & - 3 & 8 & | - 25 \\ 3 & - 2 & 4 & | - 8 \\ 2 & 7 & - 5 & | 26 \end{matrix}] =

Šios pertvarkytos išplėstinės matricos $A^{}$ pirmą eilutę dauginame iš (-3) ir pridedame prie antros eilutės ir taip pat pirmą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės ir tada gauname tokią išplėstinę matricą:

= [\begin{matrix} 1 & - 3 & 8 & | - 25 \\ 0 & 7 & - 20 & | 67 \\ 0 & 13 & - 21 & | 76 \end{matrix}] =

Toliau matricos antrą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės:

= [\begin{matrix} 1 & - 3 & 8 & | - 25 \\ 0 & 7 & - 20 & | 67 \\ 0 & - 1 & 19 & | - 58 \end{matrix}] =

Toliau trečią eilutę dauginame iš 7 ir pridedame prie antros eilutės ir gauname:

= [\begin{matrix} 1 & - 3 & 8 & | - 25 \\ 0 & 0 & 113 & | - 339 \\ 0 & - 1 & 19 & | - 58 \end{matrix}] =

Toliau antrą ir trečią eilutes sukeičiame vietomis:

= [\begin{matrix} 1 & - 3 & 8 & | - 25 \\ 0 & - 1 & 19 & | - 58 \\ 0 & 0 & 113 & | - 339 \end{matrix}] .

Gauta matrica apibūdina lygčių sistemą

x_{1} - 3 x_{2} + 8 x_{3} = - 25,

- x_{2} + 19 x_{3} = - 58,

113 x_{3} = - 339.

Iš paskutinės lygties

x_{3} = \frac{- 339}{113} = - 3.

Iš antros lygties surandame

x_{2} = 58 + 19 x_{3} = 58 - 57 = 1.

Iš pirmos lygties randame

x_{1} = - 25 + 3 x_{2} - 8 x_{3} = - 25 + 3 + 24 = 2.

Lygčių sistema turi vieną sprendinį (2; 1; -3).

Ketvirtos eilės determinantas

Ketvirtos eilės determinantas gali būti paverstas trečios eilės determinantu, pavyzdžiui:

D = | \begin{matrix} 3 & 1 & - 1 & 2 \\ - 5 & 1 & 3 & - 4 \\ 2 & 0 & 1 & - 1 \\ 1 & - 5 & 3 & - 3 \end{matrix} | = (- 1)^{3 + 1} \cdot 2 \cdot | \begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 3 & - 4 \\ - 5 & 3 & - 3 \end{matrix} | + (- 1)^{3 + 3} \cdot 1 \cdot | \begin{matrix} 3 & 1 & 2 \\ - 5 & 1 & - 4 \\ 1 & - 5 & - 3 \end{matrix} | +

$+ (- 1)^{3 + 4} \cdot (- 1) \cdot | \begin{matrix} 3 & 1 & - 1 \\ - 5 & 1 & 3 \\ 1 & - 5 & 3 \end{matrix} | = 2 \cdot 16 - 40 + 48 = 40.$ Trečios eilutės antras stulpelis čia lygus 0.

Determinantas

Turinys

Antros eilės determinantas

Determinantas 3 $\times$ 3

Sistemų sprendimas taikant Kramerio formules

Lygčių sprendimas atvirkštinės matricos metodu

Lygčių sistemos sprendimas Gauso metodu

Ketvirtos eilės determinantas

Naršymo meniu

Determinantas

Antros eilės determinantas

Determinantas 3 × 3

Sistemų sprendimas taikant Kramerio formules

Lygčių sprendimas atvirkštinės matricos metodu

Lygčių sistemos sprendimas Gauso metodu

Ketvirtos eilės determinantas

Naršymo meniu

Paieška

Determinantas 3 $\times$ 3