Matematika/Apibrėžtinis integralas

Rymano integralo savybės

Rymano integralas pasižymi tokiomis savybėmis, kurias gana lengva suprasti, laikant integralą plotu.

• ${\int }_a^{a}f(x)𝖽x=0.$ Stačiakampio, kurio viena kraštinė lygi 0, plotas lygus 0.

• Jei $b<a$, tai ${\int }_a^{b}f(x)𝖽x=-{\int }_b^{a}f(x)𝖽x$. T. y. integruojant iš dešinės į kairę, plotas laikomas neigiamu. Taip yra todėl, kad dydžiai $\mathrm{\Delta }{x}_i$ integralinėje sumoje yra neigiami.

• Jei $c\in [a;b]$, tai ${\int }_a^{c}f(x)𝖽x+{\int }_c^{b}f(x)𝖽x={\int }_a^{b}f(x)𝖽x$. Plotus galima sudėti, jei jie nesikerta. Dėl praeitos savybės, taip sudėti galima net ir tada, kai $c$ yra už intervalo galų, jei tik ten funkcija yra integruojama.

• Jei $f(x)$ ir $g(x)$ yra integruojamos kažkokiame intervale, tai integruojama ir šių funkcijų sandauga $f(x)g(x)$. Atvirkščias teiginys yra neteisingas.

• ${\int }_a^b(f(x)+g(x))𝖽x={\int }_a^{b}f(x)𝖽x+{\int }_a^{b}g(x)𝖽x.$

Skaičiavimas

Skaičiuoti Rymano integralą naudojantis apibrėžimu ne visada įmanoma, be to, tai yra labai sudėtinga. Dažniausiai praktikoje naudojama Niutono-Leibnico formulė, kuri sieja neapibrėžtinį integralą su apibrėžtiniu, nors iš esmės tai yra visiškai skirtingi dalykai:

${\int }_a^{b}f(x)𝖽x=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a).$

Čia $F(x)$ yra viena iš $f(x)$ pirmykščių funkcijų. Pavyzdžiui, rasime integralą ${\int }_0^1{x}^2𝖽x$, t. y. plotą po parabolės šaka, apribota parabole $f(x)=x^2$, Ox koordinačių ašimi ir tiese, statmena Ox ašiai ir kertančią ją taške $x=b=1.$

Iš pradžių surandame:

$\int x^2𝖽x=\frac{x^{2+1}}{2+1}+C=\frac{x^3}{3}+C.$

Tada į šitą formulę įstatome a ir b reikšmes:

$F(b)=\frac{1^3}{3}+C=\frac{1}{3}+C.$

$F(a)=\frac{0^3}{3}+C=C.$

Tada atimame F(a) iš F(b):

$F(b)-F(a)={\int }_0^1{x}^2𝖽x=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}.$

Radome plotą esantį po dešine parabolės šaka, kuris apribotas, šiuo atveju, tik viena iš dešinės pusės statmena x ašiai tiese (kurios ilgis yra $1^2$).

Pavyzdžiai

• ${\int }_0^1\frac{e^{x}dx}{4e^{2x}+12e^x+34}={\int }_1^e\frac{dt}{4t^2+12t+34}={\int }_1^e\frac{dt}{(2t+3{)}^2+25}=\frac{1}{2}{\int }_5^{2e+3}\frac{du}{u^2+25}=$

$=\frac{1}{10}\arctan \frac{u}{5}{|}_5^{2e+3}=\frac{1}{10}\arctan \frac{2e+3}{5}-\frac{\pi }{40},$ kur $t=e^x;$ $dt=e^{x}dx;$ $a=e^0=1;$ $b=e^1=e;$ $u=2t+3;$ $du=2dt.$ Apibrėžtinio integralo integravimas dalimis: ${\int }_a^{b}udv=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}vdu.$

• ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\sin xdx=-x\cos x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos xdx=\sin x{|}_0^{\frac{\pi }{2}}=1,$ kur $x=u;$ $\sin xdx=dv;$ $dx=du;$ $-\cos x=v.$

• Apskaičiuosime 100 cm ilgio strypo masę, kai jo ilginis tankis $\gamma (x)=2+0.001x^2$ $(g/cm).$

$m={\int }_0^{100}(2+0.001x^2)dx=(2x+\frac{0.001}{3}{x}^3){|}_0^{100}=200+\frac{1000}{3}=533\frac{1}{3}(g).$

• ${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx.$ Keičiame $x=\sin t,$ $dx=\cos tdt.$ Kadangi $\sin t=0$, kai $t=0$ ir $\sin t=1,$ kai $t=\frac{\pi }{2},$ tai

${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-{\sin }^{2}t}\cos tdt={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}dt={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+\cos (2t)}{2}dt=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{4}\sin (2t){|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{4}.$

Parabolės.

• Apskaičiuosime figūros, apribotos kreivių $y=x^2$ ir $y=x^{1/2}$ plotą.

Pirmiausia turime rasti tų kreivių susikirtimo taškų abscises. Tuo tikslu sprendžiame lygtį $x^2=x^{1/2}$ iš čia $x_1=0,$ $x_2=1.$ Tuomet

$S={\int }_0^1(\sqrt{x}-x^2)dx=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}{|}_0^1-\frac{x^3}{3}{|}_0^1=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.$

Elipsė.

• Apskaičiuokime figūros, apribotos elipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ plotą.

Apskaičiuokime plotą tos figūros dalies, kuri yra pirmajame ketvirtyje, po to gautą rezultatą padauginsime iš 4. Elipsės kanonine lygtį pakeičiame parametrinėmis lygtimis $x=a\cos t,$ $y=\sin t.$ Pirmajame ketvirtyje x kinta nuo 0 iki a, todėl t kinta nuo $\frac{\pi }{2}$ iki 0 (tokias t reikšmes gavome, įrašę į lygtį $x=a\cos t$ vietoje x jo reikšmes 0 ir a). Į formulę $S={\int }_a^{b}ydx$ vietoje y įrašykime $y=b\sin t,$ o vietoje $dx$ įrašykime $d(a\cos t)=-a\sin tdt,$ kadangi $x=a\cos t.$ Tuomet

$S=-4{\int }_{\pi /2}^{0}b\sin ta\sin tdt=4ab{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}tdt=2ab{\int }_0^{\pi /2}(1-\cos (2t))dt=$ $=2ab[\frac{\pi }{2}-{\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos (2t)}{2}d(2t)]=2ab[\frac{\pi }{2}-\frac{\sin (2t)}{2}{|}_0^{\pi /2}]=\pi ab.$

• Apskaičiuosime kūno, apriboto paraboloido $z=x^2+\frac{3}{2}{y}^2$ ir plokštumos $z=4$, tūrį.

Jei paraboloidą kirstume plokštuma $z=const,$ tai jo pjūvyje gautume elipsę

$x^2+\frac{3}{2}{y}^2=z,$ kurios kanoninė lygtis $\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{\frac{2}{3}z}=1.$ Tos elipsės pusašės lygios $a=\sqrt{z},b=\sqrt{\frac{2z}{3}}.$ Kadangi $Q(z)=\pi ab$ (iš ankstesnio pavyzdžio), tai $Q(z)=\pi \sqrt{z}\cdot \sqrt{\frac{2z}{3}}=\pi z\sqrt{\frac{2}{3}}.$ Tuomet $V={\int }_0^4\pi \sqrt{\frac{2}{3}}zdz=\pi \sqrt{\frac{2}{3}}\cdot \frac{z^2}{2}{|}_0^4=\frac{8\pi \sqrt{6}}{3}.$

Plotas apribotas parabolės ir tiesės.

• Apskaičiuosime plotą figūros, apribotos grafikais funkcijų $y=f_1(x)=x$ ir $y=f_2(x)=2-x^2.$

Rasime abscises taškų susikirtimo tiesės $y=x$ su prabole $y=2-x^2.$ Išsprendę lygtį

$x=2-x^2,$ $-x^2-x+2=0,$ $D=b^2-4ac=(-1{)}^2-4(-1)2=9,$ $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{1\pm 3}{-2}=-2;1,$ gauname $x_1=-2,$ $x_2=1.$ Tai ir yra integravimo ribos. Ieškomas figūros plotas pagal formulę toks: $s={\int }_{-2}^1[f_2(x)-f_1(x)]dx={\int }_{-2}^1[(2-x^2)-x]dx=(2x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}){|}_{-2}^1=$ $=(2-\frac{1}{3}-\frac{1}{2})-(-4+\frac{8}{3}-2)=8-3-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}.$

• Tą patį plotą apribota parabole $y=2-x^2$ ir tiese $y=x$ apskaičiuosime paprastu budu. Surandame su x ašimi susikirtimo tašką parabolės $2-x^2=0,$ $2=x^2,$ $x=\pm \sqrt{2}.$ Surandame plotą po parabole kai $-\sqrt{2}\le x\le 1:$

$S_1={\int }_{-\sqrt{2}}^1(2-x^2)dx=(2x-\frac{x^3}{3}){|}_{-\sqrt{2}}^1=2-\frac{1}{3}-(-2\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{2}}{3})=\frac{5}{3}+\frac{4\sqrt{2}}{3};$

Dabar surandame plotą po parabole nuo $x=-2$ iki $x=-2^{1/2}:$

$|S_2|=|{\int }_{-2}^{-\sqrt{2}}(2-x^2)dx|=|(2x-\frac{x^3}{3}){|}_{-2}^{-\sqrt{2}}|=|-2\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{2}}{3}-(-4+\frac{8}{3})|=|-\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{4}{3}|=\frac{4\sqrt{2}}{3}-\frac{4}{3};$

Dabar iš pirmo ploto po parabole atimame trikampio plotą:

$S_V=S_1-S_{{\mathrm{\Delta }}_1}=\frac{5}{3}+\frac{4\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{2}=\frac{7}{6}+\frac{4\sqrt{2}}{3};$

Apatinį (ieškomą) plotą trečiajame ketvirtyje gauname atėmę $|S_2|$ iš trikampio ploto:

$S_A=S_{{\mathrm{\Delta }}_2}-|S_2|=\frac{2^2}{2}-(\frac{4\sqrt{2}}{3}-\frac{4}{3})=\frac{10}{3}-\frac{4\sqrt{2}}{3};$

Susumavę viršutinį (virš ašies Ox) ieškomą plotą $S_V$ ir apatinį (po ašimi Ox) ieškomą plotą $S_A$ gauname visą ieškomą plotą apribotą parabolės ir tiesės:

$S=S_V+S_A=(\frac{7}{6}+\frac{4\sqrt{2}}{3})+(\frac{10}{3}-\frac{4\sqrt{2}}{3})=\frac{81}{18}=\frac{9}{2}.$

Vaizdas:Toras1016.jpg

10.16.

• Pavyzdis. Skritulys, apribotas apskritimo $x^2+(y-a{)}^2=b^2$ (a>b), sukamas apie ašį Ox (10.16 pav). Apskaičiuokime gauto sukinio, vadinamo toru, tūrį. Čia a yra atstumas nuo koordinačių pradžios taško O iki skritulio centro, kuris sukamas aplink ašį Ox. Šio skritulio spindulys lygus b.

Sprendimas. Toro tūris lygus dviejų sukinių tūrių skirtumui: pirmasis sukinys gaunamas sukant kreivinę trapeciją ABCDE, o antrasis - trapeciją ABFDE. Išsprendžiame lygį $x^2+(y-a{)}^2=b^2$ kintamojo y atžvilgiu:

$(y-a{)}^2=b^2-x^2,$

$y-a=\pm \sqrt{b^2-x^2},$

$y=a\pm \sqrt{b^2-x^2}.$

Lanko BCD lygtis $y_1=a+\sqrt{b^2-x^2},$ o lanko BFD lygtis $y_2=a-\sqrt{b^2-x^2}.$

Tuomet toro tūris bus lygus

$V=2\pi ({\int }_0^b{y}_1^{2}dx-{\int }_0^b{y}_2^{2}dx)=2\pi {\int }_0^b(y_1^2-y_2^2)dx=2\pi {\int }_0^b((a+\sqrt{b^2-x^2}{)}^2-(a-\sqrt{b^2-x^2}{)}^2)dx=$

$=2\pi {\int }_0^b((a^2+2a\sqrt{b^2-x^2}+b^2-x^2)-(a^2-2a\sqrt{b^2-x^2}+b^2-x^2))dx=2\pi {\int }_0^{b}4a\sqrt{b^2-x^2}dx.$

Pažymėkime: $x=b\sin t$, $dx=b\cos (t)dt$. Gausime:

$V=8\pi a{\int }_0^b\sqrt{b^2-x^2}dx=8\pi a{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}b\sqrt{1-{\sin }^{2}t}b\cos (t)dt=8\pi a{b}^2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{{\cos }^{2}t}\cos (t)dt=$

$=8\pi a{b}^2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2(t)dt=8\pi a{b}^2\cdot \frac{1!!}{2!!}\cdot \frac{\pi }{2}=2{\pi }^{2}a{b}^2.$

Čia pasinaudojome dvigubu faktorialu.

Parinkime a=4, b=3. Tuomet

$V=2{\pi }^{2}a{b}^2=2{\pi }^2\cdot 4\cdot 3^2=2{\pi }^2\cdot 36=72{\pi }^2=\mathrm{710.6115169.}$

Pasinaudodami integralų lentele, turime: $\int \sqrt{a^2-x^2}𝖽x=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arctan \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}+C.$ Dabar galime integruoti, kai x kinta nuo 0 iki b ir rasti toro tūrį:

$V=8a\pi {\int }_0^b\sqrt{b^2-x^2}𝖽x=8a\pi (\frac{x}{2}\sqrt{b^2-x^2}+\frac{b^2}{2}\arctan \frac{x}{\sqrt{b^2-x^2}}){|}_0^b=8a\pi (\frac{b}{2}\sqrt{b^2-b^2}+\frac{b^2}{2}\arctan \frac{b}{\sqrt{b^2-b^2}})-8a\pi (0+\frac{b^2}{2}\arctan 0)=$

$=8a\pi (0+\frac{b^2}{2}\arctan \frac{b}{0})=8a\pi \cdot \frac{b^2}{2}\arctan \mathrm{\infty }=4a{b}^2\pi \arctan \mathrm{\infty }=4a{b}^2\pi \cdot \frac{\pi }{2}=2a{b}^2{\pi }^2.$

Kadangi $\tan \frac{\pi }{2}=\frac{\sin \frac{\pi }{2}}{\cos \frac{\pi }{2}}=\frac{1}{0}=\mathrm{\infty },$ tai $\arctan \mathrm{\infty }=\frac{\pi }{2}.$ Be to, $\arctan 0=0.$ Taigi, gavome tą patį atsakymą, kaip integruojant darant trigonometrinius keitinius.

Pasinaudodami trigonometrija išintegruokime be dvigubo faktorialo, taigi, $\cos (2A)=2{\cos }^{2}A-1;$ ${\cos }^{2}A=\frac{\cos (2A)+1}{2}.$ Todėl, kai a=4, b=3, turime:

$V=8\pi a{b}^2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2(t)dt=8\pi \cdot 4\cdot 3^2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos (2t)+1}{2}dt=16\pi \cdot 9{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\cos (2t)+1)dt=144\pi [{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos (2t)dt+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}dt]=$

$=144\pi [{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos (2t)\frac{d(2t)}{2}+\frac{\pi }{2}]=144\pi [\frac{1}{2}\cdot \sin (2t){|}_0^{\frac{\pi }{2}}+\frac{\pi }{2}]=72\pi [\sin (2t){|}_0^{\frac{\pi }{2}}+\pi ]=72\pi [\sin (2\cdot \frac{\pi }{2})-\sin (2\cdot 0)+\pi ]=72{\pi }^2=\mathrm{710.6115169.}$