Matematika/Asimptotė

Asimptotė - tiesė vadinama kreivės y=f(x) asimptote, jei kreivės taško M atstumas iki tiesės, judant taškui M kuria nors kreivės šaka į begalybę, artėja prie nulio.

1) Jei $\underset{x\to a+0(a-0)}{lim}f(x)$ lygi $+\mathrm{\infty }$ ar $-\mathrm{\infty }$, tai x=a - vertikalioji asimptotė.

2) Jei $\underset{x\to +\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty })}{lim}f(x)=A,$ tai tiesė y=A - horizontalioji asimptotė.

3) Jei $\underset{x\to +\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty })}{lim}\frac{f(x)}{x}=k(≠0)$, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty })}{lim}[f(x)-kx]=b,$ tai tiesė y=kx+b - pasviroji asimptotė.

Pavyzdžiai

• Rasime kreivės $y=\frac{x^2+1}{x}$ asimptotes.

Funkcija $\frac{x^2+1}{x}$ neapibrėžta tik kai x=0, $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2+1}{x}=\mathrm{\infty },$ taigi jos grafikas turi vertikaliąją asimptotę x=0. Ieškosime pasvirųjų ir horizontaliųjų asimptočių. Kadangi

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+1}{x^2}=1(=k≠0)$

tai horizontalių asimptočių nėra. Kadangi

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-kx]=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{x^2+1}{x}-x)=0=b,$

tai tiesė y=x yra pasviroji asimptotė abiem kreivės šakoms ir kai $x\to +\mathrm{\infty },$ ir kai $x\to -\mathrm{\infty }.$

• Rasime kreivės $y=\frac{x^3}{1-x^2}$ asimptotes.

Kreivė turi dvi vertikaliasias asimptotes $x=\pm 1$, kadangi

$\underset{x\to \pm 1}{lim}\frac{x^3}{1-x^2}=\mathrm{\infty }.$

Kadangi

$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3}{x(1-x^2)}=-1(=k),$

$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-kx]=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{x^3}{1-x^2}+x)=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{1-x^2}=0(=b),$

tai tiesė y=-x yra pasviroji asimptotė.

• Raskime funkcijos $y=\frac{-x^2-3x+2}{x+7}$ asimptotes.

Vertikalioji asimptotė - tiesė x=-7, nes $\underset{x\to -7\pm 0}{lim}y=\pm \mathrm{\infty }.$

Apskaičiuosime koeficientus:

$k=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x^2-3x+2}{(x+7)\cdot x}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2(-x^2/x^2-3x/x^2+2/x^2)}{x^2(x^2/x^2+7x/x^2)}=\frac{-1-0+0}{1+0}=-1,$

$b=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{-x^2-3x+2}{x+7}-(-1)\cdot x)=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4x+2}{x+7}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x(4x/x+2/x)}{x(x/x+7/x)}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4+2/x}{1+7/x}=4.$ Todėl pasvirosios asimptotės lygtis tokia: $y=-x+4.$

• Raskime kreivės $y=\frac{5x}{x-3}$ asimptotes.

Kadangi $\underset{x\to 3}{lim}\frac{5x}{x-3}=\mathrm{\infty },$ tai tiesė x=3 yra vertikalioji asimptotė. Kadangi $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{5x}{x-3}=5,$ tai tiesė y=5 yra horizontalioji asimptotė. Kadangi $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{5}{x-3}=0,$ tai pasvirųjų asimptočių nėra.

• Rasime kreivės $y=\frac{x^2-6x+3}{x-3}$ asimptotes.

Kadangi $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-6x+3}{x-3}=\mathrm{\infty },$ tai x=3 yra vertikalioji asimptotė. Kadangi $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-6x+3}{x-3}=\mathrm{\infty },$ tai horizontaliųjų asimptočių nėra. Raskime pasvirosios asimptotės koeficientus k ir b:

$k=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-6x+3}{x(x-3)}=1,$

$b=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-6x+3}{x-3}-x=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-6x+3-x^2+3x}{x-3}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-3x+3}{x-3}=-3.$

Pasviroji asimptotė yra $y=x-3.$

• Raskime funkcijos $y=\frac{2x^3}{x^2-4}$ asimptotes.

Tiesės $x=\pm 2$ yra vertikaliosios asimptotės, nes

$\underset{x\to \pm 2}{lim}\frac{2x^3}{x^2-4}=\mathrm{\infty }.$

Kadangi $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^3}{x^2-4}=\mathrm{\infty },$ tai horizontaliųjų asimptočių nėra. Kadangi

$k=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{y}{x}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^2}{x^2-4}=2,b=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}(y-2x)=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{8x}{x^2-4}=0,$

tai tiesė $y=2x$ yra pasviroji asimptotė.

• Rasime kreivės $y=\frac{x^3}{2(x+1{)}^2}$ asimptotes.

Kadangi $\underset{x\to -1\pm 0}{lim}y=-\mathrm{\infty },$ tai tiesė $x=-1$ yra vertikalioji asimptotė. Kadangi $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}y=\pm \mathrm{\infty },$ tai horizontaliųjų asimptočių nėra.

$k=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2}{2(x+1{)}^2}=\frac{1}{2},$

$b=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-kx]=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{x^3}{2(x+1{)}^2}-\frac{1}{2}x]=\frac{1}{2}\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3-x(x^2+2x+1)}{(x+1{)}^2}=$

$=\frac{1}{2}\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-2x^2-x}{(x+1{)}^2}=-1.$

Vadinasi, kreivė turi pasvirąją asimptotę $y=\frac{1}{2}x-1.$

• Raskime kreivės $y=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}$ asimptotes.

$\underset{x\to \pm 1\pm 0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty },$ todėl tiesės $x=-1$ ir $x=1$ yra vertikaliosios asimptotės. Kadangi

$k=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=1,$

$b=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-kx]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}-x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-x\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x(x-\sqrt{x^2-1})}{\sqrt{x^2-1}}=$

$=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x(x^2-(x^2-1))}{\sqrt{x^2-1}(x+\sqrt{x^2-1})}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}(x+\sqrt{x^2-1})}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}(1+\sqrt{1-1/x^2})}=0,$

tai tiesė $y=x$ yra pasviroji asimptotė. Be to

$k=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=-1;$

$b=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-kx]=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}-(-1)\cdot x)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x(x+\sqrt{x^2-1})}{\sqrt{x^2-1}}=$

$=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}(x-\sqrt{x^2-1})}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-|x|}{\sqrt{x^2-1}(-|x|-\sqrt{x^2-1})}=$

$=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{|x|}{\sqrt{x^2-1}(|x|+\sqrt{x^2-1})}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{x^2/x^2-1/x^2}(|x|+\sqrt{x^2-1})}=0,$ todėl ir tiesė $y=-x$ yra pasviroji asimptotė.