Matematika/Atvirkštinė matrica

Atvirkštinė matrica $A^{-1}$ yra tokia matricos

$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$

matrica, kad

$A{A}^{-1}=A^{-1}A=E;$

čia E yra vienetinė matrica (EA = AE = A).

Atvirkštinė matrica gaunama taip:

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot \left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{21}& A_{31}\\ A_{12}& A_{22}& A_{32}\\ A_{13}& A_{23}& A_{33}\end{array}\right].$

|A| yra matricos A determinantas:

$d=detA=|A|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|.$

$A_{11}=(-1{)}^{1+1}(a_{22}{a}_{33}-a_{23}{a}_{32}),$

$A_{21}=(-1{)}^{2+1}(a_{12}{a}_{33}-a_{13}{a}_{32}),$

$A_{31}=(-1{)}^{3+1}(a_{12}{a}_{23}-a_{13}{a}_{22}),$

$A_{12}=(-1{)}^{1+2}(a_{21}{a}_{33}-a_{23}{a}_{31}),$

$A_{22}=(-1{)}^{2+2}(a_{11}{a}_{33}-a_{13}{a}_{31}),$

$A_{32}=(-1{)}^{3+2}(a_{11}{a}_{23}-a_{13}{a}_{21}),$

$A_{13}=(-1{)}^{1+3}(a_{21}{a}_{32}-a_{22}{a}_{31}),$

$A_{23}=(-1{)}^{2+3}(a_{11}{a}_{32}-a_{12}{a}_{31}),$

$A_{33}=(-1{)}^{3+3}(a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}).$

Matricos A adjunktas $A_{ij}$ (čia i simbolizuoja adjunkto eilutę, o j simbolizuoja adjunkto stulpelį) į atvirkštinę matricą dedamas tokiu budu, kad j reiškia eilutę atvirkštinėje matricoje, o i reiškia stulpelį.

• Pavyzdys. Rasti matricos

$A=\left[\begin{array}{ccc}3& -1& 0\\ -2& 1& 1\\ 2& -1& 4\end{array}\right]$

atvirkštinę matricą.

Pirmiausia rasime matricos A determinantą.

$d=|A|=\left|\begin{array}{ccc}3& -1& 0\\ -2& 1& 1\\ 2& -1& 4\end{array}\right|=3\cdot 1\cdot 4+(-1)\cdot 1\cdot 2+(-2)\cdot (-1)\cdot 0-0\cdot 1\cdot 2-(-1)\cdot (-2)\cdot 4-3\cdot 1\cdot (-1)=$

$=12-2+0-0-8+3=10-8+3=5.$

Determinantą galima surasti ir kitu budu, pridėjus antrą determinanto stulpelį, padaugintą iš 3, prie pirmo stulpelio:

$d=|A|=\left|\begin{array}{ccc}3& -1& 0\\ -2& 1& 1\\ 2& -1& 4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 1& 1\\ -1& -1& 4\end{array}\right|=(-1)\cdot (-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 4\end{array}\right|=1\cdot 4-1\cdot (-1)=5.$

Randame matricos A visus adjunktus:

$A_{11}=(-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 4\end{array}\right|=5;A_{12}=(-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}-2& 1\\ 2& 4\end{array}\right|=10;A_{13}=(-1{)}^{1+3}\left|\begin{array}{cc}-2& 1\\ 2& -1\end{array}\right|=0;$

$A_{21}=(-1{)}^{2+1}\left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ -1& 4\end{array}\right|=4;A_{22}=(-1{)}^{2+2}\left|\begin{array}{cc}3& 0\\ 2& 4\end{array}\right|=12;A_{23}=(-1{)}^{2+3}\left|\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& -1\end{array}\right|=(-1)(-3-(-2))=1;$

$A_{31}=(-1{)}^{3+1}\left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& 1\end{array}\right|=-1;A_{32}=(-1{)}^{3+2}\left|\begin{array}{cc}3& 0\\ -2& 1\end{array}\right|=-3;A_{33}=(-1{)}^{3+3}\left|\begin{array}{cc}3& -1\\ -2& 1\end{array}\right|=1.$

Toliau sudarome ir apskaičiuojame atvirkštinę A matricą:

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot \left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{21}& A_{31}\\ A_{12}& A_{22}& A_{32}\\ A_{13}& A_{23}& A_{33}\end{array}\right]=\frac{1}{5}\cdot \left[\begin{array}{ccc}5& 4& -1\\ 10& 12& -3\\ 0& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& \frac{4}{5}& -\frac{1}{5}\\ 2& \frac{12}{5}& -\frac{3}{5}\\ 0& \frac{1}{5}& \frac{1}{5}\end{array}\right].$

Sudauginę A matricą su jos atvirkštine matrica $A^{-1}$, gauname vienetinę matricą:

$E=A{A}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}3& -1& 0\\ -2& 1& 1\\ 2& -1& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& \frac{4}{5}& -\frac{1}{5}\\ 2& \frac{12}{5}& -\frac{3}{5}\\ 0& \frac{1}{5}& \frac{1}{5}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}3\cdot 1+(-1)\cdot 2+0\cdot 0& 3\cdot \frac{4}{5}+(-1)\cdot \frac{12}{5}+0\cdot \frac{1}{5}& 3\cdot (-\frac{1}{5})+(-1)\cdot (-\frac{3}{5})+0\cdot \frac{1}{5}\\ -2\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 0& -2\cdot \frac{4}{5}+1\cdot \frac{12}{5}+1\cdot \frac{1}{5}& -2\cdot (-\frac{1}{5})+1\cdot (-\frac{3}{5})+1\cdot \frac{1}{5}\\ 2\cdot 1+(-1)\cdot 2+4\cdot 0& 2\cdot \frac{4}{5}+(-1)\cdot \frac{12}{5}+4\cdot \frac{1}{5}& 2\cdot (-\frac{1}{5})+(-1)\cdot (-\frac{3}{5})+4\cdot \frac{1}{5}\end{array}\right]=$

$=\left[\begin{array}{ccc}3-2+0& \frac{12}{5}-\frac{12}{5}+0& -\frac{3}{5}+\frac{3}{5}+0\\ -2+2+0& -\frac{8}{5}+\frac{12}{5}+\frac{1}{5}& \frac{2}{5}-\frac{3}{5}+\frac{1}{5}\\ 2-2+0& \frac{8}{5}-\frac{12}{5}+\frac{4}{5}& -\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{4}{5}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],$

Antros eilės matricos atvirkštinė matrica

Tegu duota antros eilės (kvadratinė) matrica

$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ a_3& a_4\end{array}\right].$

Jos atvirkštinė matrica apskaičiuojama taip:

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot \left[\begin{array}{cc}{a}_4& -a_2\\ -a_3& a_1\end{array}\right];$

čia |A| yra matricos A determinantas:

$d=|A|=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ a_3& a_4\end{array}\right|=a_1{a}_4-a_2{a}_3.$

Parodysime kaip ši antros eilės matricos atvirkštinės matricos formulė buvo gauta (ji gauta pagal tuos pačius dėsnius kaip ir trečios ir aukštesnės eilės atvirkštinės matricos).

Matricos

$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$

adjunktai yra tokie:

$A_{11}=(-1{)}^{1+1}{a}_{22}=a_{22},A_{12}=(-1{)}^{1+2}{a}_{21}=-a_{21},$

$A_{21}=(-1{)}^{2+1}{a}_{12}=-a_{12},A_{22}=(-1{)}^{2+2}{a}_{11}=a_{11}.$

Toliau kaip ir trečios eilės matricai, sukeičiame adjunktų eilutes su stulpeliais (kolonom) ir sudedam į kvadratinę matricą padalintą iš matricos A determinanto:

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot \left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{21}\\ A_{12}& A_{22}\end{array}\right]=\frac{1}{|A|}\cdot \left[\begin{array}{cc}{a}_{22}& -a_{12}\\ -a_{21}& a_{11}\end{array}\right].$

Gavome atvirkštinę matricos A matricą $A^{-1}.$

Pavyzdžiai

• Turime matricą

$A=\left[\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right].$

Jos determinantas yra lygus:

$d=|A|=\left|\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right|=3\cdot 2-5\cdot 1=1.$

Matricos A atvirkštinė matrica yra tokia:

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot \left[\begin{array}{cc}{a}_4& -a_2\\ -a_3& a_1\end{array}\right]=\frac{1}{1}\cdot \left[\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right].$

Sudaugtinę matricą A su jos atvirkštine matrica $A^{-1}$ gausime vienetinę matricą E:

$A{A}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3\cdot 2+5\cdot (-1)& 3\cdot (-5)+5\cdot 3\\ 1\cdot 2+2\cdot (-1)& 1\cdot (-5)+2\cdot 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=E.$

• Turime matricą

$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ a_3& a_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}8& 4\\ 3& 2\end{array}\right].$

Jos determinantas yra lygus:

$d=|A|=\left|\begin{array}{cc}8& 4\\ 3& 2\end{array}\right|=8\cdot 2-4\cdot 3=16-12=4.$

Matricos A atvirkštinė matrica yra tokia:

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot \left[\begin{array}{cc}{a}_4& -a_2\\ -a_3& a_1\end{array}\right]=\frac{1}{4}\cdot \left[\begin{array}{cc}2& -4\\ -3& 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -1\\ -\frac{3}{4}& 2\end{array}\right].$

Sudaugtinę matricą A su jos atvirkštine matrica $A^{-1}$ gausime vienetinę matricą E:

$A{A}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}8& 4\\ 3& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -1\\ -\frac{3}{4}& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}8\cdot \frac{1}{2}+4\cdot (-\frac{3}{4})& 8\cdot (-1)+4\cdot 2\\ 3\cdot \frac{1}{2}+2\cdot (-\frac{3}{4})& 3\cdot (-1)+2\cdot 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4-3& -8+8\\ \frac{3}{2}+(-\frac{3}{2})& -3+4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=E.$

• Turime matricą

$U_1=\left[\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ a_3& a_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{2}& i\\ -i& \sqrt{2}\end{array}\right].$

Šią matricą transponavus ir jos kompleksinius skaičius pakeitus sujungtiniais, gaunama ta pati matrica. Tai yra, matrica $U_1$ yra hermitinė, nes $U_1^{*}=U_1.$

Rasime jos atvirkštinę matricą $U_1^{-1}.$

Jos determinantas yra lygus:

$d=|U_1|=\left|\begin{array}{cc}\sqrt{2}& i\\ -i& \sqrt{2}\end{array}\right|=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}-i\cdot (-i)=2+i^2=2-1=1.$

Matricos $U_1$ atvirkštinė matrica yra tokia:

$U_1^{-1}=\frac{1}{|U_1|}\cdot \left[\begin{array}{cc}{a}_4& -a_2\\ -a_3& a_1\end{array}\right]=\frac{1}{1}\cdot \left[\begin{array}{cc}\sqrt{2}& -i\\ i& \sqrt{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{2}& -i\\ i& \sqrt{2}\end{array}\right].$

Sudaugtinę matricą $U_1$ su jos atvirkštine matrica $U_1^{-1}$ gauname:

$U_1{U}_1^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{2}& i\\ -i& \sqrt{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\sqrt{2}& -i\\ i& \sqrt{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}+i^2& \sqrt{2}\cdot (-i)+i\cdot \sqrt{2}\\ -i\sqrt{2}+i\sqrt{2}& -i\cdot (-i)+\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2-1& -i\sqrt{2}+i\sqrt{2}\\ 0& i^2+2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=E.$

Matrica $U_1$ nėra unitarinė matrica (unitarinėms matricoms galioja tokia lygybė: $U^{*}=U^{-1}$), nes $U_1^{*}\ne U_1^{-1}.$ Bet Aukštosios Algebros vadovėlyje teigiama, kad matrica $U_1$ yra unitarinė (būna klaidų ir vadovėliuose).

• Turime matricą

$U_2=\left[\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ a_3& a_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2i& \sqrt{5}\\ \sqrt{5}& -2i\end{array}\right].$

Matrica $U_2$ nėra hermitinė nes $U_2^{*}\ne U_2.$

Rasime matricos $U_2$ atvirkštinę matricą $U_2^{-1}.$

Matricos $U_2$ determinantas yra lygus:

$d=|U_2|=\left|\begin{array}{cc}2i& \sqrt{5}\\ \sqrt{5}& -2i\end{array}\right|=2i\cdot (-2i)-\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}=-4i^2-5=4-5=-1.$

Matricos $U_2$ atvirkštinė matrica yra tokia:

$U_2^{-1}=\frac{1}{|U_2|}\cdot \left[\begin{array}{cc}{a}_4& -a_2\\ -a_3& a_1\end{array}\right]=\frac{1}{-1}\cdot \left[\begin{array}{cc}-2i& -\sqrt{5}\\ -\sqrt{5}& 2i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2i& \sqrt{5}\\ \sqrt{5}& -2i\end{array}\right].$

Matome, kad $U_2=U_2^{-1},$ bet $U_2^{*}\ne U_2^{-1},$ nes

$U_2^{*}=\left[\begin{array}{cc}-2i& \sqrt{5}\\ \sqrt{5}& 2i\end{array}\right].$

Vadovėlyje sakoma, kad kadangi determinantas $|U|$ unitarinės matricos dažnai yra kompleksinis skaičius, tai tik jo modulis yra lygus 1 (kompleksinio skaičiaus $a+bi$ modulis yra $\sqrt{a^2+b^2}$). Ir dar sakoma, kad unitarinėms ir ortogonalinėms matricoms $|U{|}^2=1.$ Bet ir padauginus matricą

$\left[\begin{array}{cc}-2i& -\sqrt{5}\\ -\sqrt{5}& 2i\end{array}\right]$

ne iš -1, o iš $(-1{)}^2=1,$ vis tiek negaunama, kad $U_2^{*}$ yra lygu $U_2^{-1}.$

Sudaugtinę matricą $U_2$ su jos atvirkštine matrica $U_2^{-1}$ gauname:

$U_2{U}_2^{-1}=\left[\begin{array}{cc}2i& \sqrt{5}\\ \sqrt{5}& -2i\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2i& \sqrt{5}\\ \sqrt{5}& -2i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}(2i{)}^2+\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}& 2i\sqrt{5}+\sqrt{5}\cdot (-2i)\\ \sqrt{5}\cdot 2i+(-2i)\cdot \sqrt{5}& (\sqrt{5}{)}^2+(-2i{)}^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-4+5& 2i\sqrt{5}-2i\sqrt{5}\\ 2i\sqrt{5}-2i\sqrt{5}& 5-4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=E.$

Kur ten mato unitarines matricas Aukštosios Algebros vadovėlio pavyzdyje? Nes matricos $U_1$ ir $U_2$ nėra unitarinės.

• Surasime matricų $U_1$ ir $U_2$ sandaugos atvirkštinę matricą.

$U_3=U_1{U}_2=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{2}& i\\ -i& \sqrt{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2i& \sqrt{5}\\ \sqrt{5}& -2i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}(2\sqrt{2}+\sqrt{5})i& 2+\sqrt{10}\\ 2+\sqrt{10}& -(2\sqrt{2}+\sqrt{5})i\end{array}\right].$

Surandame matricos $U_3$ determinantą:

$|U_3|=\left|\begin{array}{cc}(2\sqrt{2}+\sqrt{5})i& 2+\sqrt{10}\\ 2+\sqrt{10}& -(2\sqrt{2}+\sqrt{5})i\end{array}\right|=-(2\sqrt{2}+\sqrt{5}{)}^2{i}^2-(2+\sqrt{10}{)}^2=(2\sqrt{2}+\sqrt{5}{)}^2-(2+\sqrt{10}{)}^2=(8+4\sqrt{10}+5)-(4+4\sqrt{10}+10)=13+4\sqrt{10}-14-4\sqrt{10}=-1.$

Matricos $U_3$ atvirkštinė matrica yra tokia:

$U_3^{-1}=\frac{1}{|U_3|}\cdot \left[\begin{array}{cc}{a}_4& -a_2\\ -a_3& a_1\end{array}\right]=\frac{1}{-1}\cdot \left[\begin{array}{cc}-(2\sqrt{2}+\sqrt{5})i& -(2+\sqrt{10})\\ -(2+\sqrt{10})& (2\sqrt{2}+\sqrt{5})i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}(2\sqrt{2}+\sqrt{5})i& (2+\sqrt{10})\\ (2+\sqrt{10})& -(2\sqrt{2}+\sqrt{5})i\end{array}\right].$

Matome, kad $U_3=U_3^{-1}.$ Jei matrica $U_3$ yra unitarinė, tai pritaikius jai žvaigždutinę operaciją (*), turėtume gauti atvirkštinę matricą $U_3^{-1}.$ Žiūrim:

$U_3^{*}=\left[\begin{array}{cc}-(2\sqrt{2}+\sqrt{5})i& (2+\sqrt{10})\\ (2+\sqrt{10})& (2\sqrt{2}+\sqrt{5})i\end{array}\right]$

(žvaigždutinė operacija sukeičia elementų eilutes su stulpeliais (transponuoja) ir kompleksinius skaičius pakeičia jiems jungtiniais kompleksiniais skaičiais). Gavome, kad matrica $U_3$ nėra unitarinė (nes $U_3^{*}\ne U_3^{-1}$) ir nėra ermitinė (nes $U_3^{*}\ne U_3$). Vadovėlyje teigiama, kad matrica $U_3$ yra unitarinė (ir kad dviejų unitarinių matricų sandauga yra unitarinė matrica), bet taip nėra.

Sudauginę matricą $U_3$ su jos atvirkštine matrica $U_3^{-1}$ gauname:

$U_3{U}_3^{-1}=\left[\begin{array}{cc}(2\sqrt{2}+\sqrt{5})i& 2+\sqrt{10}\\ 2+\sqrt{10}& -(2\sqrt{2}+\sqrt{5})i\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}(2\sqrt{2}+\sqrt{5})i& 2+\sqrt{10}\\ 2+\sqrt{10}& -(2\sqrt{2}+\sqrt{5})i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}(2\sqrt{2}+\sqrt{5}{)}^2{i}^2+(2+\sqrt{10}{)}^2& (2\sqrt{2}+\sqrt{5})(2+\sqrt{10})i-(2\sqrt{2}+\sqrt{5})(2+\sqrt{10})i\\ (2\sqrt{2}+\sqrt{5})(2+\sqrt{10})i-(2\sqrt{2}+\sqrt{5})(2+\sqrt{10})i& (2+\sqrt{10}{)}^2+[-(2\sqrt{2}+\sqrt{5})i{]}^2\end{array}\right]=$

$=\left[\begin{array}{cc}-(8+4\sqrt{10}+5)+(4+4\sqrt{10}+10)& 0\\ 0& (4+4\sqrt{10}+10)-(8+4\sqrt{10}+5)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-(13+4\sqrt{10})+(14+4\sqrt{10})& 0\\ 0& (14+4\sqrt{10})-(13+4\sqrt{10})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=E.$

Unitariųjų matricų pavyzdžiai

Vokiškoj, berdos, Vikipedijoje yra teisingų unitariųjų matricų pavyzdžių: https://de.wikipedia.org/wiki/Unitäre_Matrix

• Turime unitarinę matricą

$U=\left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right).$

Jos atvirkštinė matrica yra tokia (matricos U determinantas lygus 1):

$U^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ -i& 0\end{array}\right)=U^{*}.$

Sudauginę matricą $U^{-1}$ su U gauname:

$U^{-1}U=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ -i& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-i^2& 0\\ 0& -i^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=E.$

• Turime unitarinę matricą

$U=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1+i& 1-i\\ 1-i& 1+i\end{array}\right).$

Jos determinantas yra (skaičiuojant determinantą iš kiekvienos matricos eilutės (arba stulpelio) reikia iškelti dauginamąjį, todėl 1/4, o ne 1/2 prieš determinantą):

$|U|=\frac{1}{4}\left|\begin{array}{cc}1+i& 1-i\\ 1-i& 1+i\end{array}\right|=\frac{1}{4}[(1+i{)}^2-(1-i{)}^2]=\frac{1}{4}[1+2i+i^2-(1-2i+i^2)]=\frac{1}{4}(2i+2i)=i.$

Pritaikę žvaigždutinę operaciją gauname tokią matricą:

$U^{*}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1-i& 1+i\\ 1+i& 1-i\end{array}\right).$

O sudauginę ką tik gautą matricą su matrica U gauname:

$U^{*}U=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1-i& 1+i\\ 1+i& 1-i\end{array}\right)\cdot \frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1+i& 1-i\\ 1-i& 1+i\end{array}\right)=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}2(1-i)(1+i)& (1-i{)}^2+(1+i{)}^2\\ (1+i{)}^2+(1-i{)}^2& 2(1+i)(1-i)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=E.$

Matricos U atvirkštinė matrica yra tokia:

$U^{-1}=\frac{1}{|U|}\cdot \left[\begin{array}{cc}{a}_4& -a_2\\ -a_3& a_1\end{array}\right]=\frac{1}{2i}\cdot \left[\begin{array}{cc}1+i& -(1-i)\\ -(1-i)& 1+i\end{array}\right]=\frac{1}{2i}\cdot \left[\begin{array}{cc}1+i& -1+i\\ -1+i& 1+i\end{array}\right]=$

$=\frac{i}{2i\cdot i}\cdot \left[\begin{array}{cc}1+i& -1+i\\ -1+i& 1+i\end{array}\right]=\frac{-i}{2}\cdot \left[\begin{array}{cc}1+i& -1+i\\ -1+i& 1+i\end{array}\right]=\frac{1}{2}\cdot \left[\begin{array}{cc}-i(1+i)& -i(-1+i)\\ -i(-1+i)& -i(1+i)\end{array}\right]=\frac{1}{2}\cdot \left[\begin{array}{cc}-i+1& i+1\\ i+1& -i+1\end{array}\right]=\frac{1}{2}\cdot \left[\begin{array}{cc}1-i& 1+i\\ 1+i& 1-i\end{array}\right].$

Visiškai teisingai. Gavome, kad $U^{*}=U^{-1}.$ Matrica U be jokių abejonių yra unitarioji (unitarinė ~1960 metų vadovėlyje).