Matematika/Bernulio diferencialinė lygtis

Bernulio diferencialinė lygtis

• $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^m,$

$y^{-m}{y}^{\prime }+P(x)y^{1-m}=Q(x),$

$y^{1-m}=z,$ $z^{\prime }=(1-m)y^{-m}{y}^{\prime },$ $\frac{z^{\prime }}{1-m}=y^{-m}{y}^{\prime },$

$\frac{z^{\prime }}{1-m}+P(x)z=Q(x),$

$z^{\prime }+(1-m)P(x)z=(1-m)Q(x).$

Bernulio lygtį galima spręsti panašiai kaip ir pirmosios eilės tiesinę, naudojant keitinį $y=uv.$

• $x{y}^{\prime }+y+x^2{y}^2{e}^x=0,$

$y^{\prime }+\frac{y}{x}=-x{y}^2{e}^x;$

$y=uv,$ $y^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$,

$u^{\prime }v+u{v}^{\prime }+\frac{uv}{x}=-x{u}^2{v}^2{e}^x,$

$v(u^{\prime }+\frac{u}{x})+u{v}^{\prime }=-x{u}^2{v}^2{e}^x;$

$u^{\prime }+\frac{u}{x}=0,$

$\frac{du}{dx}=-\frac{u}{x},$

$\int \frac{du}{u}=-\int \frac{dx}{x},$

$\ln |u|=-\ln |x|,$

$u=\frac{1}{x};$

$\frac{1}{x}{v}^{\prime }=-x\cdot \frac{1}{x^2}{v}^2{e}^x,$

$v^{\prime }=-v^2{e}^x,$

$\int \frac{dv}{v^2}=-\int e^{x}dx,$

$-\frac{1}{v}=-(e^x+C),$

$v=\frac{1}{e^x+C};$

$y=uv=\frac{1}{x(e^x+C)}.$

• $\frac{dy}{dx}-\frac{3}{x}y=-x^3{y}^2,$

$\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}-\frac{3}{x}\frac{1}{y}=-x^3,$

$\frac{1}{y}=z,-\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx},$

$\frac{dz}{dx}+\frac{3}{x}z=x^3;$

šią tiesinę lygtį integruosime konstantos variacijos metodu,

$\frac{dz}{dx}+\frac{3}{x}z=0,$

$\int \frac{dz}{z}=-3\int \frac{dx}{x},$

$\ln |z|=-3\ln |x|+\ln |C|=\ln |C{x}^{-3}|,$

$z=\frac{C}{x^3};$

$C=C(x),$ $z=C(x)x^{-3},$ $\frac{dz}{dx}=\frac{dC(x)}{dx}\frac{1}{x^3}-\frac{3C(x)}{x^4},$

$\frac{dz}{dx}+\frac{3}{x}z=\frac{dC(x)}{dx}\frac{1}{x^3}-\frac{3C(x)}{x^4}+\frac{3}{x}\frac{C(x)}{x^3}=x^3,$

$\frac{dC(x)}{dx}\frac{1}{x^3}=x^3,$

$\frac{dC(x)}{dx}=x^6,$

$\int dC(x)=\int x^{6}dx,$

$C(x)=\frac{x^7}{7}+C_1;$

$z=\frac{C(x)}{x^3}=\frac{\frac{x^7}{7}+C_1}{x^3}=\frac{x^4}{7}+\frac{C_1}{x^3},$

$z=\frac{1}{y},\frac{1}{y}=\frac{x^4}{7}+\frac{C_1}{x^3},$

$y=\frac{1}{\frac{x^4}{7}+\frac{C_1}{x^3}}=\frac{1}{\frac{x^7+7C_1}{7x^3}}=\frac{7x^3}{x^7+7C_1}.$