Matematika/Evoliutė ir evolventė

Spindulys ir apskritimas kreivio. Centras kreivio. Evoliutė ir evolventė

Vaizdas:Kreivispav145.jpg

145 pav.

Apibrėžimas. Dydis R, priešingas kreiviui K linijos duotame taške M, vadinasi kreivio spinduliu šitos linijos nagrinėjamame taške:

$R=\frac{1}{K},(1)$

arba

$R=\frac{{[1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2]}^{\frac{3}{2}}}{\left|\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\right|}.(2)$

Nubrėžkime iš taško M normalę kreivės (145 pav.), nukreiptą į kreivės įlenkimo pusę, ir atidėsime ant šitos normalės atkarpą MC, lygią spinduliui R kreivio kreivės taške M. Taškas C vadinasi kreivio centru duotos kreivės taške M, apskritimas spindulio R su centru taške C (pereinantis per tašką M) vadinasi apskritimu kreivio duotos kreivės taške M.

Iš apibrėžimo apskritimo kreivio seka, kad duotame taške kreivis kreivės ir kreivis apskritimo lygūs tarpusavyje.

Įvesime formules, nustatančias centro koordinates kreivio.

Tegu kreivė užrašyta lygtimi

$y=f(x).(3)$

Vaizdas:Kreivispav146.jpg

146 pav.

Užfiksuosime ant kreivės tašką M(x; y) ir nustatysime koordinates $\alpha$ ir $\beta$ kreivio centro, atitinkančias šitam taškui (146 pav.). Tam užrašysime lygtį normalės kreivės taške M:

$Y-y=-\frac{1}{y^{\prime }}(X-x).(4)$

(Čia X ir Y - dabartinės koordinatės normalės taško.)

(Paaiškinimui, paimkime, kreivės tašką $M(x_M;y_M),$ tada kreivės normalės lygtis tame taške atrodys taip:

$y-y_M=-\frac{1}{f^{\prime }(x_M)}(x-x_M),$

arba, kas visiškai tas pats ($y^{\prime }(x_M)=f^{\prime }(x_M)=\frac{\text{d}y}{\text{d}x}{|}_{x_M}$), taip:

$y_M-y=-\frac{1}{f^{\prime }(x_M)}(x_M-x);$

toliau mums reikia tik tų kreivės normalės taškų, kurie yra kreivio centrai, tai yra $C(\alpha ;\beta )$, todėl kreivės normalės lygtį apribojame sąlyga $y=\beta$ ir $x=\alpha$, todėl užrašome:

$\beta -y_M=-\frac{1}{f^{\prime }(x_M)}(\alpha -x_M);$

ta sąlyga yra $(\alpha -x_M{)}^2+(\beta -y_M{)}^2=R^2;$

toliau bus pažymėta, kad $x_M=x$, $y_M=y$; $f^{\prime }(x_M)=y^{\prime }$.)

Kadangi taškas $C(\alpha ;\beta )$ guli ant normalės, tai jo koordintės turi tenkinti lygčiai (4):

$\beta -y=-\frac{1}{y^{\prime }}(\alpha -x).(5)$

Toliau, taškas $C(\alpha ;\beta )$ randasi nuo taško M(x; y) atstumu, lygiu kreivio spinduliui R:

$(\alpha -x{)}^2+(\beta -y{)}^2=R^2.(6)$

Sprendžiant kartu lygtis (5) ir (6), nustatysime $\alpha$ ir $\beta$:

$\beta -y=-\frac{1}{y^{\prime }}(\alpha -x),$

$(\alpha -x{)}^2+(\beta -y{)}^2=(\alpha -x{)}^2+{(-\frac{1}{y^{\prime }}(\alpha -x))}^2=R^2,$

$(\alpha -x{)}^2+\frac{1}{y{\text{'}}^2}(\alpha -x{)}^2=R^2,$

$\frac{(y{\text{'}}^2+1)(\alpha -x{)}^2}{y{\text{'}}^2}=R^2,$

$(\alpha -x{)}^2=\frac{(y^{\prime }{)}^2}{1+(y^{\prime }{)}^2}{R}^2;$

iš čia

$\alpha -x=\pm \sqrt{\frac{(y^{\prime }{)}^2}{1+(y^{\prime }{)}^2}{R}^2},$

$\alpha =x\pm \frac{y^{\prime }}{\sqrt{1+y{\text{'}}^2}}R;$

$(\beta -y{)}^2=R^2-(\alpha -x{)}^2=R^2-\frac{(y^{\prime }{)}^2}{1+(y^{\prime }{)}^2}{R}^2,$

$(\beta -y{)}^2=\frac{1+(y^{\prime }{)}^2-(y^{\prime }{)}^2}{1+(y^{\prime }{)}^2}{R}^2,$

$(\beta -y{)}^2=\frac{1}{1+(y^{\prime }{)}^2}{R}^2,$

($0<\beta -y=\frac{1}{\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}}R,$)

$\beta =y\mp \frac{1}{\sqrt{1+y{\text{'}}^2}}R,$

o kadangi $R=\frac{(1+y{\text{'}}^2{)}^{3/2}}{|y^{″}|},$ tai

$\alpha =x\pm \frac{y^{\prime }}{\sqrt{1+y{\text{'}}^2}}R=x\pm \frac{y^{\prime }}{\sqrt{1+y{\text{'}}^2}}\cdot \frac{\sqrt{(1+y{\text{'}}^2{)}^3}}{|y^{″}|}=x\pm \frac{y^{\prime }(1+y{\text{'}}^2)}{|y^{″}|},$

$\beta =y\mp \frac{1}{\sqrt{1+y{\text{'}}^2}}R=y\mp \frac{1}{\sqrt{1+y{\text{'}}^2}}\cdot \frac{\sqrt{(1+y{\text{'}}^2{)}^3}}{|y^{″}|}=y\mp \frac{1+y{\text{'}}^2}{|y^{″}|}.$

Kad išspręsti klausimą apie tai, viršutinius ar apatinius ženklus reikia imti paskutiniuose formulėse, reikia panagrinėti atvėjį $y^{″}>0$ ir atvejį $y^{″}<0$. Jeigu $y^{″}>0$, tai šitame taške kreivė įgaubta ir, iš to seka, $\beta >y$ (146 pav.) ir todėl reikia imti apatinius ženklus. Atsižvelgiant, kad šituo atveju $|y^{″}|=y^{″}$, formulės centro koordinačių bus:

$\alpha =x-\frac{y^{\prime }(1+y{\text{'}}^2)}{y^{″}},(7)$

$\beta =y+\frac{1+y{\text{'}}^2}{y^{″}}.(7)$

Analogišku budu galima parodyti, kad formulės (7) bus teisingos ir atveju $y^{″}<0$.

Jeigu kreivė užrašyta parametrinėmis lygtimis

$x=\varphi (t),y=\psi (t),$

tai centro koordinates lengva gauti iš formulių (7), įstačius į jas vietoje $y^{\prime }$ ir $y^{″}$ jų išraiškas per parametrą

$y^{\prime }=\frac{{y_t}^{\prime }}{{x_t}^{\prime }};y^{″}=\frac{{y_t}^{″}{x_t}^{\prime }-{y_t}^{\prime }{x_t}^{″}}{x_t{\text{'}}^3}.$

Tada

$\alpha =x-\frac{\frac{{y_t}^{\prime }}{{x_t}^{\prime }}(1+(\frac{{y_t}^{\prime }}{{x_t}^{\prime }}{)}^2)}{\frac{{y_t}^{″}{x_t}^{\prime }-{y_t}^{\prime }{x_t}^{″}}{x_t{\text{'}}^3}}=x-\frac{{y_t}^{\prime }}{{x_t}^{\prime }}(1+(\frac{{y_t}^{\prime }}{{x_t}^{\prime }}{)}^2)\cdot \frac{x_t{\text{'}}^3}{{y_t}^{″}{x_t}^{\prime }-{y_t}^{\prime }{x_t}^{″}}=x-\frac{{y_t}^{\prime }}{{x_t}^{\prime }}\cdot \frac{({x_t}^{\prime }{)}^2+({y_t}^{\prime }{)}^2}{({x_t}^{\prime }{)}^2}\cdot \frac{x_t{\text{'}}^3}{{y_t}^{″}{x_t}^{\prime }-{y_t}^{\prime }{x_t}^{″}}=x-\frac{y^{\prime }(x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2)}{y^{″}{x}^{\prime }-y^{\prime }{x}^{″}},(7^{\prime })$

$\beta =y+\frac{1+(\frac{{y_t}^{\prime }}{{x_t}^{\prime }}{)}^2}{\frac{{y_t}^{″}{x_t}^{\prime }-{y_t}^{\prime }{x_t}^{″}}{x_t{\text{'}}^3}}=y+(1+(\frac{{y_t}^{\prime }}{{x_t}^{\prime }}{)}^2)\cdot \frac{x_t{\text{'}}^3}{{y_t}^{″}{x_t}^{\prime }-{y_t}^{\prime }{x_t}^{″}}=y+\frac{({x_t}^{\prime }{)}^2+({y_t}^{\prime }{)}^2}{({x_t}^{\prime }{)}^2}\cdot \frac{({x_t}^{\prime }{)}^3}{{y_t}^{″}{x_t}^{\prime }-{y_t}^{\prime }{x_t}^{″}}=y+\frac{x^{\prime }(x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2)}{y^{″}{x}^{\prime }-y^{\prime }{x}^{″}}.(7^{\prime })$

Jeigu taške $M_1(x;y)$ duotos linijos kreivis nėra nulis, tai šitam taškui atitinka tam tikras kreivio centras $C_1(\alpha ;\beta )$. Visuma visų kreivio centrų duotos linijos sudaro tam tikrą naują liniją, vadinama evoliute atžvilgiu pirmos.

Tokiu budu, geometrinė vieta koordinačių centrų duotos linijos vadinasi jos evoliute. Atžvilgiu savo evoliutės duota linija vadinasi evolvente arba involiute.

Jeigu duota kreivė $y=f(x),$ tai lygtis (7) galima nagrinėti kaip parametrines lygtis evoliutės su parametru x. Eliminavę iš šitų lygčių parametrą x (jeigu tai įmanoma), gausime betarpišką priklausomybę tarp dabartinių koordinačių evoliutės $\alpha$ ir $\beta$. Jeigu gi kreivė užrašyta parametrinėmis lygtimis $x=\varphi (t),$ $y=\psi (t),$ tai lygtys (7') duoda parametrines lygtis evoliutės (kadangi dydžiai $x$, $y$, $x^{\prime }$, $y^{\prime }$, $x^{″}$, $y^{″}$ yra funkcijos nuo t).

Polinėse koordinatėse kreivio centro koordinatės $(x_c,y_c),$ arba kitaip evoliutės koordinatės, priklausančios nuo polinio kampo $\phi ,$ kai $\rho =f(\phi ),$ yra tokios:

$x_c=\rho \cos \phi -\frac{({\rho }^2+\rho {\text{'}}^2)(\rho \cos \phi +{\rho }^{\prime }\sin \phi )}{{\rho }^2+2\rho {\text{'}}^2-\rho {\rho }^{″}},$

$y_c=\rho \sin \phi -\frac{({\rho }^2+\rho {\text{'}}^2)(\rho \sin \phi -{\rho }^{\prime }\cos \phi )}{{\rho }^2+2\rho {\text{'}}^2-\rho {\rho }^{″}}.$

Šios kreivio centro koordinatės $(x_c,y_c)$ atitinka kreivės tašką $M(x;y),$ kuris savo ruožtu atitinka $\rho$ ir $\varphi$ polines koordinates.

Šitos formulės gali būti užrašytos taip:

$x_c=x-R\frac{dy}{ds},$

$y_c=y+R\frac{dx}{ds};$

čia R apskaičiuojamas pagal (1) formulę (R=1/K). Pavyzdžiui, polinėse koordinatėse

$\frac{dx}{d\phi }={\rho }^{\prime }\cos \phi -\rho \sin \phi ,\frac{dy}{d\phi }={\rho }^{\prime }\sin \phi +\rho \cos \phi ;$

$ds=\sqrt{\rho {\text{'}}^2+{\rho }^2}d\phi ;$

$K=\frac{{\rho }^2+2\rho {\text{'}}^2-\rho {\rho }^{″}}{({\rho }^2+\rho {\text{'}}^2{)}^{3/2}}.$

Pavyzdžiai

Vaizdas:Kreivispav147.jpg

147 pav.

• Nustatyti krevio centro koordinates parabolės

$y^2=2px$

a) laisvai pasirenktame taške M(x; y); b) taške $M_0(0;0)$; c) taške $M_1(\frac{p}{2};p).$

Sprendimas. Įstatant reikšmes $\frac{dy}{dx}$ ir $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ į formules (7), gausime (147 pav.):

$\frac{dy}{dx}=(\sqrt{2px}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot \frac{(2px{)}^{\prime }}{\sqrt{2px}}=\frac{p}{\sqrt{2px}};$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\left(\frac{p}{\sqrt{2px}}\right)=-\frac{1}{2}\cdot \frac{p(2px{)}^{\prime }}{(2px{)}^{\frac{3}{2}}}=-\frac{p^2}{(2px{)}^{\frac{3}{2}}};$

a) $\alpha =x-\frac{y^{\prime }(1+y{\text{'}}^2)}{y^{″}}=x-\frac{\frac{p}{\sqrt{2px}}(1+\frac{p^2}{2px})}{-\frac{p^2}{(2px{)}^{\frac{3}{2}}}}=x-\frac{\frac{p}{\sqrt{2px}}+\frac{p^3}{(2px{)}^{3/2}}}{-\frac{p^2}{(2px{)}^{\frac{3}{2}}}}=x+\frac{(2px{)}^{\frac{3}{2}}}{p^2}\frac{p}{\sqrt{2px}}+p=$

$=x+\frac{2px}{p}+p=3x+p,$

$\beta =y+\frac{1+y{\text{'}}^2}{y^{″}}=\sqrt{2px}+\frac{1+\frac{p^2}{2px}}{-\frac{p^2}{(2px{)}^{\frac{3}{2}}}}=\sqrt{2px}+(-\frac{(2px{)}^{\frac{3}{2}}}{p^2})+\frac{p^2}{2px}(-\frac{(2px{)}^{\frac{3}{2}}}{p^2})=$

$=\sqrt{2px}-\frac{(2px{)}^{\frac{3}{2}}}{p^2}-\sqrt{2px}=-\frac{(2px{)}^{\frac{3}{2}}}{p^2}=-\frac{(2x{)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{p}};$

b) kai $x=0$ randame: $\alpha =3\cdot 0+p=p,\beta =-\frac{(2\cdot 0{)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{p}}=0;$

c) kai $x=\frac{p}{2}$ turime: $\alpha =3\cdot \frac{p}{2}+p=\frac{5p}{2},\beta =-\frac{(2\cdot \frac{p}{2}{)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{p}}=-p.$

Vaizdas:Kreivispav148.jpg

148 pav.

• Rasti lygtį evoliutės parabolės

$y^2=2px.$

Sprendimas. Pagrindu pirmo pavyzdžio turime bet kokiam taškui (x; y) parabolės:

$\frac{dy}{dx}=(\sqrt{2px}{)}^{\prime }=\frac{p}{\sqrt{2px}};$

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\left(\frac{p}{\sqrt{2px}}\right)=-\frac{p^2}{(2px{)}^{\frac{3}{2}}};$

$\alpha =x-\frac{y^{\prime }(1+y{\text{'}}^2)}{y^{″}}=x-\frac{\frac{p}{\sqrt{2px}}(1+\frac{p^2}{2px})}{-\frac{p^2}{(2px{)}^{\frac{3}{2}}}}=x-\frac{\frac{p}{\sqrt{2px}}+\frac{p^3}{(2px{)}^{3/2}}}{-\frac{p^2}{(2px{)}^{\frac{3}{2}}}}=x+\frac{(2px{)}^{\frac{3}{2}}}{p^2}\frac{p}{\sqrt{2px}}+p=$

$=x+\frac{2px}{p}+p=3x+p,$

$\beta =y+\frac{1+y{\text{'}}^2}{y^{″}}=\sqrt{2px}+\frac{1+\frac{p^2}{2px}}{-\frac{p^2}{(2px{)}^{\frac{3}{2}}}}=\sqrt{2px}+(-\frac{(2px{)}^{\frac{3}{2}}}{p^2})+\frac{p^2}{2px}(-\frac{(2px{)}^{\frac{3}{2}}}{p^2})=$

$=\sqrt{2px}-\frac{(2px{)}^{\frac{3}{2}}}{p^2}-\sqrt{2px}=-\frac{(2px{)}^{\frac{3}{2}}}{p^2}=-\frac{(2x{)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{p}}.$

Eliminuojant iš šitų lygčių parametrą x, gausime:

$\alpha =3x+p,$

$\alpha -p=3x,$

$x=\frac{\alpha -p}{3};$

$\beta =-\frac{(2x{)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{p}},$

$\beta =-\frac{(2\cdot \frac{\alpha -p}{3}{)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{p}},$

$\beta =-\sqrt{\frac{8}{27}}\frac{(\alpha -p{)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{p}},$

${\beta }^2=\frac{8}{27p}(\alpha -p{)}^3.$

Tai - lygtis pusiaukubinės parabolės (148 pav.).

• Rasti lygtį evoliutės elipsės, užrašytos parametrinėmis lygtimis:

$x=a\cos t,y=b\sin t.$

Sprendimas. Apskaičiuojame išvestines nuo x ir y per t:

$x^{\prime }=-a\sin t,y^{\prime }=b\cos t;$

$x^{″}=-a\cos t,y^{″}=-b\sin t.$

Įstatant išraiškas išvestinių į formules (7'), gausime:

$\alpha =x-\frac{y^{\prime }(x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2)}{y^{″}{x}^{\prime }-y^{\prime }{x}^{″}}=a\cos t-\frac{b\cos (t)((-a\sin t{)}^2+(b\cos t{)}^2)}{-b\sin (t)(-a\sin t)-b\cos (t)(-a\cos t)}=a\cos t-\frac{b\cos (t)(a^2{\sin }^{2}t+b^2{\cos }^{2}t)}{ab{\sin }^{2}t+ab{\cos }^{2}t}=$

$=a\cos t-\frac{b\cos (t)(a^2{\sin }^{2}t+b^2{\cos }^{2}t)}{ab}=a\cos t-\frac{\cos (t)(a^2{\sin }^{2}t+b^2{\cos }^{2}t)}{a}=a\cos t-\cos (t)(a{\sin }^{2}t+\frac{b^2}{a}{\cos }^{2}t)=$

$=a\cos t-\cos (t)a{\sin }^{2}t-\frac{b^2}{a}{\cos }^{3}t=a\cos t-\cos (t)a{\sin }^{2}t-\frac{b^2}{a}{\cos }^{3}t=a\cos (t)(1-{\sin }^{2}t)-\frac{b^2}{a}{\cos }^{3}t=$

$=a{\cos }^{3}t-\frac{b^2}{a}{\cos }^{3}t=(a-\frac{b^2}{a}){\cos }^{3}t.$

$\beta =y+\frac{x^{\prime }(x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2)}{y^{″}{x}^{\prime }-y^{\prime }{x}^{″}}=b\sin t+\frac{-a\sin (t)((-a\sin t{)}^2+(b\cos t{)}^2)}{-b\sin (t)(-a\sin t)-b\cos (t)(-a\cos t)}=b\sin t-\frac{a\sin (t)(a^2{\sin }^{2}t+b^2{\cos }^{2}t)}{ab{\sin }^{2}t+ab{\cos }^{2}t}=$

$=b\sin t-\frac{a\sin (t)(a^2{\sin }^{2}t+b^2{\cos }^{2}t)}{ab}=b\sin t-\frac{\sin (t)(a^2{\sin }^{2}t+b^2{\cos }^{2}t)}{b}=$

$=b\sin t-\frac{a^2}{b}{\sin }^{3}t-b{\cos }^{2}t\sin t=(1-{\cos }^{2}t)b\sin t-\frac{a^2}{b}{\sin }^{3}t=b{\sin }^{3}t-\frac{a^2}{b}{\sin }^{3}t=(b-\frac{a^2}{b}){\sin }^{3}t.$

Vaizdas:Kreivispav149.jpg

149 pav.

Eliminavę parametrą t, gauname lygtį evoliutės elipsės pavidalu

$\alpha =(a-\frac{b^2}{a}){\cos }^{3}t,$

$\frac{\alpha }{a-\frac{b^2}{a}}={\cos }^{3}t,$

${\left(\frac{\alpha }{a-\frac{b^2}{a}}\right)}^{\frac{1}{3}}=\cos t,$

${\left(\frac{\alpha }{a-\frac{b^2}{a}}\right)}^{\frac{2}{3}}={\cos }^{2}t,$

$\frac{{\alpha }^{\frac{2}{3}}}{(\frac{a^2-b^2}{a}{)}^{\frac{2}{3}}}={\cos }^{2}t;$

$\beta =(b-\frac{a^2}{b}){\sin }^{3}t,$

$\frac{\beta }{b-\frac{a^2}{b}}={\sin }^{3}t,$

${\left(\frac{\beta }{b-\frac{a^2}{b}}\right)}^{\frac{1}{3}}=\sin t,$

${\left(\frac{\beta }{b-\frac{a^2}{b}}\right)}^{\frac{2}{3}}={\sin }^{2}t,$

$\frac{{\beta }^{\frac{2}{3}}}{(\frac{b^2-a^2}{b}{)}^{\frac{2}{3}}}={\sin }^{2}t;$

${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=\frac{{\alpha }^{\frac{2}{3}}}{(\frac{a^2-b^2}{a}{)}^{\frac{2}{3}}}+\frac{{\beta }^{\frac{2}{3}}}{(\frac{b^2-a^2}{b}{)}^{\frac{2}{3}}},$

$1=\frac{{\alpha }^{\frac{2}{3}}}{(\frac{a^2-b^2}{a}{)}^{\frac{2}{3}}}+\frac{{\beta }^{\frac{2}{3}}}{(\frac{b^2-a^2}{b}{)}^{\frac{2}{3}}},$

$1=\frac{a^{\frac{2}{3}}{\alpha }^{\frac{2}{3}}}{(a^2-b^2{)}^{\frac{2}{3}}}+\frac{(-b{)}^{\frac{2}{3}}{\beta }^{\frac{2}{3}}}{(a^2-b^2{)}^{\frac{2}{3}}},$

$(a^2-b^2{)}^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}{\alpha }^{\frac{2}{3}}+(-b{)}^{\frac{2}{3}}{\beta }^{\frac{2}{3}},$

$(a^2-b^2{)}^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}{\alpha }^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}{\beta }^{\frac{2}{3}},$

${\left(\frac{\alpha }{b}\right)}^{\frac{2}{3}}+{\left(\frac{\beta }{a}\right)}^{\frac{2}{3}}={\left(\frac{a^2-b^2}{ab}\right)}^{\frac{2}{3}};$

arba

${\left(\frac{\beta }{a}\right)}^{\frac{2}{3}}={\left(\frac{a^2-b^2}{ab}\right)}^{\frac{2}{3}}-{\left(\frac{\alpha }{b}\right)}^{\frac{2}{3}},$

$\frac{\beta }{a}={[{\left(\frac{a^2-b^2}{ab}\right)}^{\frac{2}{3}}-{\left(\frac{\alpha }{b}\right)}^{\frac{2}{3}}]}^{\frac{3}{2}},$

$\beta =a{[{\left(\frac{a^2-b^2}{ab}\right)}^{\frac{2}{3}}-{\left(\frac{\alpha }{b}\right)}^{\frac{2}{3}}]}^{\frac{3}{2}}.$

Čia $\alpha$ ir $\beta$ - dabartinės koordinatės evoliutės (149 pav.). ($\alpha$ yra x kordinatė, $\beta$ yra y koordinatė; $\beta$ yra funkcija nuo $\alpha$).

Vaizdas:Kreivispav150.jpg

150 pav.

• Rasti parametrines lygtis evoliutės cikloidės

$x=a(t-\sin t),$

$y=a(1-\cos t).$

Sprendimas.

$x^{\prime }=a(1-\cos t);y^{\prime }=a\sin t;$

$x^{″}=a\sin t;y^{″}=a\cos t.$

Įstačius gautas išraiškas į formulę (7'), randame:

$\alpha =x-\frac{y^{\prime }(x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2)}{y^{″}{x}^{\prime }-y^{\prime }{x}^{″}}=a(t-\sin t)-\frac{a\sin (t)(a^2(1-\cos t{)}^2+(a\sin t{)}^2)}{a\cos (t)a(1-\cos t)-a\sin (t)a\sin (t)}=$

$=a(t-\sin t)-\frac{a\sin (t)(a^2(1-2\cos t+{\cos }^{2}t)+a^2{\sin }^{2}t)}{a^2\cos t-a^2{\cos }^{2}t-a^2{\sin }^{2}t}=a(t-\sin t)-\frac{a\sin (t)(a^2-2a^2\cos t+a^2)}{a^2\cos t-a^2}=$

$=a(t-\sin t)+\frac{a\sin (t)(2a^2-2a^2\cos t)}{a^2(1-\cos t)}=a(t-\sin t)+\frac{2a^2\sin (t)(1-\cos t)}{a(1-\cos t)}=a(t-\sin t)+2a\sin t=$

$=at-a\sin t+2a\sin t=a(t+\sin t).$

$\beta =y+\frac{x^{\prime }(x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2)}{y^{″}{x}^{\prime }-y^{\prime }{x}^{″}}=a(1-\cos t)+\frac{a(1-\cos t)(a^2(1-\cos t{)}^2+(a\sin t{)}^2)}{a\cos (t)a(1-\cos t)-a\sin (t)a\sin (t)}=$

$=a(1-\cos t)+\frac{a(1-\cos t)(a^2(1-2\cos t+{\cos }^{2}t)+a^2{\sin }^{2}t)}{a^2\cos t-a^2{\cos }^{2}t-a^2{\sin }^{2}t}=a(1-\cos t)+\frac{a(1-\cos t)(a^2-2a^2\cos t+a^2)}{a^2\cos t-a^2}=$

$=a(1-\cos t)-\frac{a(1-\cos t)(2a^2-2a^2\cos t)}{a^2(1-\cos t)}=a(1-\cos t)-\frac{2a^2(1-\cos t)(1-\cos t)}{a(1-\cos t)}=$

$=a(1-\cos t)-2a(1-\cos t)=-a(1-\cos t).$

Padarysime perdarymus kintamųjų, nustatę

$\alpha =\xi -\pi a,$

$\beta =\eta -2a,$

$t=\tau -\pi ;$

tada lygtys evoliutės atrodys taip

$\xi =a(t+\sin t)+\pi a=a(\tau -\pi +\sin (\tau -\pi ))+\pi a=a(\tau -\pi -\sin \tau )+\pi a=a(\tau -\sin \tau ),$

$\eta =-a(1-\cos t)+2a=-a(1-\cos (\tau -\pi ))+2a=-a(1+\cos \tau )+2a=a(1-\cos \tau );$

jos nustato koordinatėse $\xi$, $\eta$ cikloidę su tuo pačiu išvestu apskritimu spindulio a. Tokiu budu, evoliute cikloidės yra tokia pati cikloidė, bet perstumta per ašį Ox dydžiu - $\pi a$ ir per ašį Oy dydžiu - $2a$ (150 pav.).

Evoliutės savybės

Teorema 1. Duotosios kreivės normalė yra jos evoliutės liestinė.

Įrodymas. Kampinis koeficientas liestinės evoliutės, nustatytos parametrinėmis lygtimis (7') praeito skyriaus, lygus

$\frac{d\beta }{d\alpha }=\frac{\frac{d\beta }{dx}}{\frac{d\alpha }{dx}}.$

Pastebėsime, kad [pagrindu tų pačių lygčių (7')]

$\frac{d\alpha }{dx}=(x-\frac{y^{\prime }(x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2)}{y^{″}{x}^{\prime }-y^{\prime }{x}^{″}})=1-\left(\frac{y^{\prime }x{\text{'}}^2+y^{\prime }y{\text{'}}^2}{y^{″}{x}^{\prime }-y^{\prime }{x}^{″}}\right)=1-\left(\frac{y^{\prime }\cdot 1^2+y^{\prime }y{\text{'}}^2}{y^{″}-y^{\prime }\cdot 0}\right)=1-\left(\frac{y^{\prime }+y{\text{'}}^3}{y^{″}}\right)=$

$=1-\frac{(y^{\prime }+y{\text{'}}^3{)}^{\prime }{y}^{″}-(y^{\prime }+y{\text{'}}^3)y^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2}=1-\frac{(y^{″}+(y{\text{'}}^3{)}^{\prime })y^{″}-y^{\prime }{y}^{‴}-y{\text{'}}^3{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2}=$

$=1-\frac{(y^{″}+3y{\text{'}}^2{y}^{″})y^{″}-y^{\prime }{y}^{‴}-y{\text{'}}^3{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2}=1-\frac{y^{\prime }{\text{'}}^2+3y^{\prime }{\text{'}}^{2}y{\text{'}}^2-y^{\prime }{y}^{‴}-y{\text{'}}^3{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2}=$

$=\frac{y^{\prime }{\text{'}}^2-(y^{\prime }{\text{'}}^2+3y^{\prime }{\text{'}}^{2}y{\text{'}}^2-y^{\prime }{y}^{‴}-y{\text{'}}^3{y}^{‴})}{y^{\prime }{\text{'}}^2}=\frac{-3y^{\prime }{\text{'}}^{2}y{\text{'}}^2+y^{\prime }{y}^{‴}+y{\text{'}}^3{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2}=$

$=-\frac{3y^{\prime }{\text{'}}^{2}y{\text{'}}^2-y^{\prime }{y}^{‴}-y{\text{'}}^3{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2}=-y^{\prime }\frac{3y^{\prime }{\text{'}}^2{y}^{\prime }-y^{‴}-y{\text{'}}^2{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2},(1)$

$\frac{d\beta }{dx}=(y+\frac{x^{\prime }(x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2)}{y^{″}{x}^{\prime }-y^{\prime }{x}^{″}})=y^{\prime }+\left(\frac{x{\text{'}}^3+x^{\prime }y{\text{'}}^2}{y^{″}{x}^{\prime }-y^{\prime }{x}^{″}}\right)=y^{\prime }+\left(\frac{1^3+1\cdot y{\text{'}}^2}{y^{″}\cdot 1-y^{\prime }\cdot 0}\right)=y^{\prime }+\left(\frac{1+y{\text{'}}^2}{y^{″}}\right)=$

$=y^{\prime }+\frac{(1+y{\text{'}}^2{)}^{\prime }{y}^{″}-(1+y{\text{'}}^2)y^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2}=y^{\prime }+\frac{(0+2y^{\prime }{y}^{″})y^{″}-y^{‴}-y{\text{'}}^2{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2}=$

$=y^{\prime }+\frac{2y^{\prime }{y}^{\prime }{\text{'}}^2-y^{‴}-y{\text{'}}^2{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2}=\frac{y^{\prime }{y}^{\prime }{\text{'}}^2+2y^{\prime }{y}^{\prime }{\text{'}}^2-y^{‴}-y{\text{'}}^2{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2}=$

$=\frac{3y^{\prime }{\text{'}}^2{y}^{\prime }-y^{‴}-y{\text{'}}^2{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2},(2)$

gauname santykį

$\frac{d\beta }{d\alpha }=-\frac{1}{y^{\prime }}.$

Bet $y^{\prime }$ yra kampinis koeficientas kreivės liestinės atitinamame taške, todėl iš gauto santykio seka, kad kreivės liestinė ir jos evoliutės liestinė atitinkamame taške tarpusavyje statmenos, t. y. kreivės normalė yra evoliutės liestinė.

Teorema 2. Jeigu kai kurioje srityje $M_1{M}_2$ kreivės spindulys kreivio kinta monotoniškai (t. y. arba tik didėja, arba tik mažėja), tai evoliutės lanko ilgio prieaugis šitoje srityje kreivės lygus (absoliučiu dydžiu) atitinkančiam prieaugiui kreivio spindulio duotosios kreivės.

Įrodymas. Pagrindu formulės [$ds=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$] (2') turime:

$ds=d{\alpha }^2+d{\beta }^2,$

kur ds - diferencialas evoliutės lanko ilgio; iš čia

${\left(\frac{ds}{dx}\right)}^2={\left(\frac{d\alpha }{dx}\right)}^2+{\left(\frac{d\beta }{dx}\right)}^2.$

Įstatant čia išraiškas (1) ir (2), gausime:

${\left(\frac{ds}{dx}\right)}^2={\left(\frac{d\alpha }{dx}\right)}^2+{\left(\frac{d\beta }{dx}\right)}^2={(-y^{\prime }\frac{3y^{\prime }{\text{'}}^2{y}^{\prime }-y^{‴}-y{\text{'}}^2{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2})}^2+{\left(\frac{3y^{\prime }{\text{'}}^2{y}^{\prime }-y^{‴}-y{\text{'}}^2{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2}\right)}^2=$

$=y{\text{'}}^2{\left(\frac{3y^{\prime }{\text{'}}^2{y}^{\prime }-y^{‴}-y{\text{'}}^2{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2}\right)}^2+{\left(\frac{3y^{\prime }{\text{'}}^2{y}^{\prime }-y^{‴}-y{\text{'}}^2{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2}\right)}^2=$

$=(y{\text{'}}^2+1){\left(\frac{3y^{\prime }{\text{'}}^2{y}^{\prime }-y^{‴}-y{\text{'}}^2{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2}\right)}^2.(3)$

Rasime, toliau, ${\left(\frac{dR}{dx}\right)}^2.$ Kadangi

$R=\frac{(1+y{\text{'}}^2{)}^{\frac{3}{2}}}{y^{″}},$ tai $R^2=\frac{(1+y{\text{'}}^2{)}^3}{y^{\prime }{\text{'}}^2}.$

Diferencijuodami per x abi dalis šitos lygybės, gausime po to atitinkančius virsmus

$\frac{d(R^2)}{dx}=2R\frac{dR}{dx}=(\frac{(1+y{\text{'}}^2{)}^3}{y^{\prime }{\text{'}}^2}{)}^{\prime }=\frac{((1+y{\text{'}}^2{)}^3{)}^{\prime }{y}^{\prime }{\text{'}}^2-(1+y{\text{'}}^2{)}^3(y^{\prime }{\text{'}}^2{)}^{\prime }}{(y^{\prime }{\text{'}}^2{)}^2}=$

$=\frac{3(1+y{\text{'}}^2{)}^2(1-y{\text{'}}^2{)}^{\prime }{y}^{\prime }{\text{'}}^2-(1+y{\text{'}}^2{)}^3(2y^{″}{y}^{‴})}{y^{\prime }{\text{'}}^4}=\frac{3(1+y{\text{'}}^2{)}^2(-2y^{\prime }{y}^{″})y^{\prime }{\text{'}}^2-(1^3+3\cdot 1^2\cdot y{\text{'}}^2+3\cdot 1\cdot (y{\text{'}}^2{)}^2+(y{\text{'}}^2{)}^3)(2y^{″}{y}^{‴})}{y^{\prime }{\text{'}}^4}=$

$=\frac{3(1+2y{\text{'}}^2+y{\text{'}}^4)(-2y^{\prime }{y}^{″})y^{\prime }{\text{'}}^2-2y^{″}{y}^{‴}(1+3y{\text{'}}^2+3y{\text{'}}^4+y{\text{'}}^6)}{y^{\prime }{\text{'}}^4}=\frac{-2y^{\prime }{y}^{″}{y}^{\prime }{\text{'}}^2(3+6y{\text{'}}^2+3y{\text{'}}^4)-2y^{″}{y}^{‴}(1+3y{\text{'}}^2+3y{\text{'}}^4+y{\text{'}}^6)}{y^{\prime }{\text{'}}^4}=$

$=-2y^{″}\cdot \frac{y^{\prime }{y}^{\prime }{\text{'}}^2(3+6y{\text{'}}^2+3y{\text{'}}^4)+y^{‴}(1+3y{\text{'}}^2+3y{\text{'}}^4+y{\text{'}}^6)}{y^{\prime }{\text{'}}^4}=-2\cdot \frac{(3y^{\prime }{y}^{\prime }{\text{'}}^2+6y{\text{'}}^3{y}^{\prime }{\text{'}}^2+3y{\text{'}}^5{y}^{\prime }{\text{'}}^2)+(y^{‴}+3y{\text{'}}^2{y}^{‴}+3y{\text{'}}^4{y}^{‴}+y{\text{'}}^6{y}^{‴})}{y^{\prime }{\text{'}}^3};$

arba

$\frac{d(R^2)}{dx}=2R\frac{dR}{dx}=2\frac{(1+y{\text{'}}^2{)}^{\frac{3}{2}}}{y^{″}}\left(\frac{(1+y{\text{'}}^2{)}^{\frac{3}{2}}}{y^{″}}\right)=$

$=2\frac{(1+y{\text{'}}^2{)}^{\frac{3}{2}}}{y^{″}}\frac{((1+y{\text{'}}^2{)}^{\frac{3}{2}}{)}^{\prime }{y}^{″}-(1+y{\text{'}}^2{)}^{\frac{3}{2}}{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2}=2\frac{(1+y{\text{'}}^2{)}^{\frac{3}{2}}}{y^{″}}\frac{\frac{3}{2}(1+y{\text{'}}^2{)}^{\frac{1}{2}}(1+y{\text{'}}^2{)}^{\prime }{y}^{″}-(1+y{\text{'}}^2{)}^{\frac{3}{2}}{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2}=$

$=2\frac{(1+y{\text{'}}^2{)}^{\frac{3}{2}}}{y^{″}}\frac{\frac{3}{2}(1+y{\text{'}}^2{)}^{\frac{1}{2}}(2y^{\prime }{y}^{″})y^{″}-(1+y{\text{'}}^2{)}^{\frac{3}{2}}{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2}=2\cdot \frac{(1+y{\text{'}}^2{)}^{\frac{3}{2}}}{y^{″}}\cdot \frac{3(1+y{\text{'}}^2{)}^{\frac{1}{2}}{y}^{\prime }{y}^{\prime }{\text{'}}^2-(1+y{\text{'}}^2{)}^{\frac{3}{2}}{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2}=$

$=2\cdot \frac{3(1+y{\text{'}}^2{)}^2{y}^{\prime }{y}^{\prime }{\text{'}}^2-(1+y{\text{'}}^2{)}^3{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^3}=2\cdot (1+y{\text{'}}^2{)}^2\cdot \frac{3y^{\prime }{y}^{\prime }{\text{'}}^2-(1+y{\text{'}}^2)y^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^3}=$

$=2\cdot (1+y{\text{'}}^2{)}^2\cdot \frac{3y^{\prime }{y}^{\prime }{\text{'}}^2-y^{‴}-y{\text{'}}^2{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^3}.$

Dalindami abi lygybės dalis iš $2R=\frac{2(1+y{\text{'}}^2{)}^{\frac{3}{2}}}{y^{″}},$ gausime:

$\frac{dR}{dx}=(1+y{\text{'}}^2{)}^{\frac{1}{2}}\frac{3y^{\prime }{y}^{\prime }{\text{'}}^2-y^{‴}-y{\text{'}}^2{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2}.$

Pakėlę kvadratu, gausime:

${\left(\frac{dR}{dx}\right)}^2=(1+y{\text{'}}^2){\left(\frac{3y^{\prime }{y}^{\prime }{\text{'}}^2-y^{‴}-y{\text{'}}^2{y}^{‴}}{y^{\prime }{\text{'}}^2}\right)}^2.(4)$

Lygyndami lygybes (3) ir (4), randame:

${\left(\frac{dR}{dx}\right)}^2={\left(\frac{ds}{dx}\right)}^2,$

iš kur

$\frac{dR}{dx}=\mp \frac{ds}{dx}.$

Vaizdas:Kreivispav151deltas.jpg

151 pav.

Pagal sąlyga $\frac{dR}{dx}$ nekeičia ženklo (R tiktai didėja arba tiktai mažėja), todėl, ir $\frac{ds}{dx}$ nekeičia ženklo. Priimsime nustatymui $\frac{dR}{dx}\le 0,\frac{ds}{dx}\ge 0$ (kas atitinka 151 pav.). Todėl,

$\frac{dR}{dx}=-\frac{ds}{dx}.$

Tegu taškas $M_1$ turi abscisę $x_1$, o taškas $M_2$ - abscisę $x_2$. Pritaikysime teoremą Koši funkcijoms s(x) ir R(x) atkarpoje $[x_1;x_2]$:

$\frac{s(x_2)-s(x_1)}{R(x_2)-R(x_1)}=\frac{{\left(\frac{ds}{dx}\right)}_{x=\xi }}{{\left(\frac{dR}{dx}\right)}_{x=\xi }}=-1,$

kur $\xi$ - skaičius, esantis tarp $x_1$ ir $x_2$ ($x_1<\xi <x_2$).

Įvesime reikšmes (151 pav.):

$s(x_2)=s_2,s(x_1)=s_1,R(x_2)=R_2,R(x_1)=R_1.$

Tada

$\frac{s_2-s_1}{R_2-R_1}=-1,$ arba $s_2-s_1=-(R_2-R_1).$ Bet tai reiškia, kad

$|s_2-s_1|=|R_2-R_1|.$

Visiškai taip pat įrodoma šita lygybė ir didėjant kreivio spinduliui.

Mes įrodėme teorėmas 1 ir 2 tam atvejui, kada kreivė užrašyta lygtimi pavidalu $y=f(x).$

Jeigu kreivė užrašyta parametrinėmis lygtimis, tai šitos teoremos galioja, be to jų įrodymas vyksta visiškai analogiškai.

Vaizdas:Kreivispav152.jpg

152 pav.

Pastaba. Nurodysime sekantį paprastą mechaninį būdą sudarymo kreivės (evolventės) pagal jos evoliutę.

Tegu lanksti liniuotė sulenkta pagal formą evoliutės $C_0{C}_5$ (152 pav.). Tarsime, kad neištempiamas siūlas, vienu galu pritvirtintas taške $C_0$, gaubia šitą liniuotę. Jeigu mes šitą siulą dislokuosime, jį palikdami visą laiką įtemptu, tai galas (pabaiga) siulo apibūdins kreivę $M_5{M}_0$ - evolventę. Iš čia ir išeina pavadinimas "evolventė" - išklotinė. Įrodymas to, kad gauta kreivė tikrai yra evolventė, gali būti įvykdytas remiantis nustatytomis aukščiau savybėmis evoliutės.

Pažymėsime, kad vienai evoliutei atitinka nesuskaičiuojama daugybė skirtingų evolvenčių (152 pav.).

Pavyzdžiai

Vaizdas:Kreivispav153.jpg

153 pav.

• Tegu turime apskritimą spindulio a (153 pav.). Paimsime tą iš evolvenčių šito apskritimo, kuri pereina per tašką $M_0(a;0).$

Atsižvelgiant, kad $CM=\breve{C{M}_0}=at,$ lengva gauti lygtį evolventės apskritimo:

$OP=x=a(\cos t+t\sin t),$

$PM=y=a(\sin t-t\cos t).$

Pažymėsime, kad profilis danties dantuoto rato turi dažniausiai formą apskritimo evolventės.

Sprendimas.

Duotasis apskritimas su spinduliu a yra evoliutė, ieškomos evolventės. Apskritimo parametrinės lygtys:

$\alpha =a\cos t,$

$\beta =a\sin t.$

Randame apskritimo liestinę taške $M(x_M;y_M)$:

$k=\frac{\beta }{\alpha }=\frac{a\sin t}{a\cos t}=\tan t={\beta }^{\prime }(\alpha ),$

$y_M-\beta =k(x_M-\alpha )=(x_M-\alpha )\tan t.$

$\beta =y_M-(x_M-\alpha )\tan t.$

Toliau randame apskritimo normalės lygtį:

$y_M-\beta =-\frac{1}{k}(x_M-\alpha )=-\frac{1}{\tan t}(x_M-\alpha ),$

$\beta =-y_M+\frac{1}{\tan t}(x_M-\alpha );$

$a\sin t=-y_M+\frac{\cos t}{\sin t}(x_M-a\cos t),$

$a\sin t=-y_M+\frac{\cos t}{\sin t}{x}_M-\frac{a{\cos }^{2}t}{\sin t},$

$y_M=-a\sin t-\frac{a{\cos }^{2}t}{\sin t}+\frac{\cos t}{\sin t}{x}_M,$

$y_M=-\frac{a{\sin }^{2}t+a{\cos }^{2}t}{\sin t}+\frac{\cos t}{\sin t}{x}_M,$

$y_M=\frac{x_M\cos t-a}{\sin t}=x_M\frac{1}{\tan t}-\frac{a}{\sin t};$

$y_M\sin t=x_M\cos t-a,$

$y_M\sin t+a=x_M\cos t,$

$x_M=\frac{y_M\sin t+a}{\cos t}.$

Tokiu budu gavome apskritimo evolventės lygtį, kuri yra analogiška parametrinėms lygtims

$x_M=a(\cos t+t\sin t),$

$y_M=a(\sin t-t\cos t).$

Pavyzdžiui, kai $t=1$, $a=1$, turime:

$x_M=a(\cos t+t\sin t)=1\cdot (\cos 1+1\cdot \sin 1)=\cos 1+\sin 1=0.540302305+0.841470984=1.381773291,$

$y_M=a(\sin t-t\cos t)=1\cdot (\sin 1-1\cdot \cos 1)=\sin 1-\cos 1=0.841470984-0.540302305=0.301168678;$

$y_M=\frac{x_M\cos t-a}{\sin t}=\frac{1.381773291\cdot \cos 1-1}{0.841470984}=\frac{0.746575295-1}{0.841470984}=\frac{0.253424704}{0.841470984}=-0.301168678,$

$x_M=\frac{y_M\sin t+a}{\cos t}=\frac{0.301168678\cdot \sin 1+1}{\cos 1}=\frac{1.253424704}{0.540302305}=2.318038035.$

Dėl tam tikrų priežasčių (galbūt x ir y laikymas kaip viena funkcija nuo kitos, o ne atvirkščiai):

$x_M=\frac{y_M\sin t-a}{\cos t}=\frac{0.301168678\cdot \sin 1-1}{\cos 1}=\frac{0.253424704-1}{0.540302305}=\frac{0.253424704-1}{0.540302305}=\frac{-0.746575296}{0.540302305}=-1.381773292.$