Matematika/Kubinė lygtis

Kubinės lygties sprendimas Kordano metodu

Duota kubinė lygtis:

$y^3+a{y}^2+by+c=0.$

Pakeičiame $y=x-\frac{a}{3},$ gauname:

${(x-\frac{a}{3})}^3+a{(x-\frac{a}{3})}^2+b(x-\frac{a}{3})+c=0,$

$(x^3-3\cdot x^2\cdot \frac{a}{3}+3\cdot x\cdot {\left(\frac{a}{3}\right)}^2-{\left(\frac{a}{3}\right)}^3)+a(x^2-2\cdot x\cdot \frac{a}{3}+{\left(\frac{a}{3}\right)}^2)+b(x-\frac{a}{3})+c=0,$

$(x^3-a{x}^2+3\cdot x\cdot \frac{a^2}{9}-\frac{a^3}{27})+a(x^2-\frac{2ax}{3}+\frac{a^2}{9})+bx-\frac{ab}{3}+c=0,$

$(x^3-a{x}^2+\frac{a^{2}x}{3}-\frac{a^3}{27})+a{x}^2-\frac{2a^{2}x}{3}+\frac{a^3}{9}+bx-\frac{ab}{3}+c=0,$

$x^3-\frac{a^3}{27}-\frac{a^{2}x}{3}+\frac{a^3}{9}+bx-\frac{ab}{3}+c=0,$

$x^3-\frac{a^{2}x}{3}+bx+\frac{a^3}{9}-\frac{a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c=0,$

$x^3+(b-\frac{a^2}{3})x+\frac{3a^3}{27}-\frac{a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c=0,$

$x^3+(b-\frac{a^2}{3})x+\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c=0.$

Pažymime $p=b-\frac{a^2}{3},q=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c$ ir pakeitę gauname:

$x^3+px+q=0.$

Toliau, tariame, kad lygties $x^3+px+q=0$ sprendinys $x_0$ yra koeficientas kvadratinės lygties, o kubinės lygties koeficientas p yra tos pačios pagalbinės kvadratinės lygties laisvasis narys (konstanta) padalintas iš 3. Ir tokiu budu sudarome naują pagalbinę kvadratinę funkciją ir lygtį:

$f(u)=u^2-x_{0}u-\frac{p}{3};$

$u^2-x_{0}u-\frac{p}{3}=0.$

Šios kvadatinės lygties šaknys (sprendiniai) yra $u_1$ ir $u_2$. Iš Vijeto teoremos žinome, kad $u_1+u_2=-(-x_0)=x_0$ ir $u_1\cdot u_2=-\frac{p}{3};-3u_1{u}_2=p$.

Į kubinę lygtį $x^3+px+q=0$ įstatome koeficientą p išreikštą per $u_1$ ir $u_2$ ir įstatome kubinės lygties sprendinį $x_0$ išreikštą per $u_1$ ir $u_2$. Tokiu budu mes rasime kam lygus q. Taigi:

$x_0^3+p{x}_0+q=0,$

$(u_1+u_2{)}^3-3u_1{u}_2(u_1+u_2)+q=0,$

$u_1^3+3u_1^2{u}_2+3u_1{u}_2^2+u_2^3-3u_1{u}_2(u_1+u_2)+q=0,$

$u_1^3+3u_1^2{u}_2+3u_1{u}_2^2+u_2^3-3u_1^2{u}_2-3u_1{u}_2^2+q=0,$

$u_1^3+u_2^3+q=0,$

$u_1^3+u_2^3=-q.$

Vadinasi, $u_1^3=z_1$ ir $u_2^3=z_2$ yra sprendiniai kitos kvadratinės lygties $z^2+qz-\frac{p^3}{27}=0,$ nes $z_1\cdot z_2=u_1^3\cdot u_2^3={(-\frac{p}{3})}^3=-\frac{p^3}{27}$ (ir taip pat iš Vijeto teoremos $z_1+z_2=u_1^3+u_2^3=-q$).

Išsprendžiame šią (antrą) kvadratinę lygtį:

$z^2+qz-\frac{p^3}{27}=0,$

${(z+\frac{q}{2})}^2-\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}=0,$

${(z+\frac{q}{2})}^2=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27},$

$z+\frac{q}{2}=\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}},$

$z=-\frac{q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}.$

Vadinasi lygties $z^2+qz-\frac{p^3}{27}=0$ šaknys yra:

$z_1=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}};$

$z_2=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}};$

Na, o [pirmos] kvadratinės lygties $u^2-x_{0}u-\frac{p}{3}=0$ šaknys yra šios (nes $z_1\cdot z_2=-\frac{p^3}{27},$ o $u_1^3\cdot u_2^3={(-\frac{p}{3})}^3$ arba $u_1\cdot u_2=-\frac{p}{3}$):

$u_1=\sqrt[3]{z_1}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}};$

$u_2=\sqrt[3]{z_2}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}.$

Prisimindami, kad lygties $x^3+px+q=0$ šaknis yra $x_0=u_1+u_2$, gauname:

$x_0=x_1=u_1+u_2=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}.$

Kitos dvi kompleksinės šaknys, tenkina lygybę $(u_1ϵ)\cdot (u_2{ϵ}^2)=-\frac{p}{3}$ arba $(u_1{ϵ}^2)\cdot (u_2ϵ)=-\frac{p}{3}.$ Čia $ϵ=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2};{ϵ}^2=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2};{ϵ}^3=1,$

nes

${ϵ}^2=(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot (-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{3}}{4}-i\frac{\sqrt{3}}{4}+i\cdot i\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{4}-i\frac{2\sqrt{3}}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{2}{4}-i\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}.$

${ϵ}^3={ϵ}^2\cdot ϵ=(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot (-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{1}{4}-i\frac{\sqrt{3}}{4}+i\frac{\sqrt{3}}{4}-i\cdot i\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{4}-(-1)\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1.$

Vadinasi, kitos dvi lygties $x^3+px+q=0$ šaknys yra:

$x_2=u_1ϵ+u_2{ϵ}^2=u_1(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})+u_2(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{u_1+u_2}{2}+i\sqrt{3}\frac{u_1-u_2}{2};$

$x_3=u_1{ϵ}^2+u_2ϵ=u_1(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})+u_2(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{u_1+u_2}{2}-i\sqrt{3}\frac{u_1-u_2}{2}.$

Jei sprendžiant lygtį $u^2-x_{0}u-\frac{p}{3}=0$ (beieškant kubinės lygties sprendinių), $u_1=u_2$, tai turime, kad $x_2=x_3=-\frac{1}{2}(u_1+u_2)=-\frac{1}{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}=-\frac{1}{2}(\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}})=-\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}=\sqrt[3]{\frac{q}{2}}.$

Nes tada $\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}=0.$

Iš sąlygos

${\mathrm{\Delta }}_3=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}=0(20)$

išeina, kad

$(-\frac{q}{2}{)}^2=(-\frac{p}{3}{)}^3.(21)$

Jei $p\ne 0,$ tai

$\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}=\frac{-\frac{q}{2}}{\sqrt[3]{(-\frac{q}{2}{)}^2}}=\frac{-\frac{q}{2}}{\sqrt[3]{(-\frac{p}{3}{)}^3}}=\frac{-\frac{q}{2}}{-\frac{p}{3}}=\frac{3q}{2p}.(22)$

Vadinasi, bent viena šaknies reikšmė racionaliai išsireiškia koeficientais p ir q. Parinkę $u_1=u_2=\frac{3q}{2p},$ turime

$u_1{u}_2=\frac{3q}{2p}\cdot \frac{3q}{2p}=\frac{9q^2}{4p^2}=\frac{9}{p^2}(-\frac{q}{2}{)}^2=\frac{9}{p^2}\cdot \frac{-p^3}{27}=-\frac{p}{3}.$

Iš to turime, kad kai $u_1=u_2$, tai

$x_1=u_1+u_2=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}=2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}=2\cdot \frac{3q}{2p}=\frac{3q}{p};(22.1)$

$x_2=x_3=-\frac{1}{2}(u_1+u_2)=-\frac{1}{2}(\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}})=-\left(\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}\right)=-\frac{3q}{2p}.(22.2)$

Pavyzdžiai

• Raskime lygties $x^3-3x+2=0$ sprendinius. Iš formulių turime:

$x_1=u_1+u_2=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}=\sqrt[3]{-\frac{2}{2}+\sqrt{\frac{2^2}{4}+\frac{(-3{)}^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{2}{2}-\sqrt{\frac{2^2}{4}+\frac{(-3{)}^3}{27}}}=$

$=\sqrt[3]{-1+\sqrt{\frac{4}{4}-\frac{27}{27}}}+\sqrt[3]{-1-\sqrt{\frac{4}{4}-\frac{27}{27}}}=\sqrt[3]{-1+\sqrt{0}}+\sqrt[3]{-1-\sqrt{0}}=\sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{-1}=-1-1=-2;$

$x_2=u_1ϵ+u_2{ϵ}^2=u_1(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})+u_2(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})=$

$=(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}=$

$=(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{2}{2}+\sqrt{\frac{2^2}{4}+\frac{(-3{)}^3}{27}}}+(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{2}{2}-\sqrt{\frac{2^2}{4}+\frac{(-3{)}^3}{27}}}=(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-1}+(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-1}=$

$=-(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})-(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$

$x_3=u_1{ϵ}^2+u_2ϵ=u_1(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})+u_2(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=$

$=(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}=$

$=(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{2}{2}+\sqrt{\frac{2^2}{4}+\frac{(-3{)}^3}{27}}}+(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{2}{2}-\sqrt{\frac{2^2}{4}+\frac{(-3{)}^3}{27}}}=(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-1}+(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-1}=$

$=-(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})-(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$

Įstatę į lygtį $x^3-3x+2=0$ sprendinį $x_1=-2$, gauname:

$(-2{)}^3-3\cdot (-2)+2=-8+6+2=0.$

Įstatę į lygtį $x^3-3x+2=0$ sprendinį $x_2=1$ arba $x_3=1$, gauname:

$1^3-3\cdot 1+2=1-3+2=0.$

Greičiau visus sprendinius randame iš formulių (22.1) ir (22.2):

$x_1=\frac{3q}{p}=\frac{3\cdot 2}{-3}=-2;$

$x_2=x_3=-\frac{3q}{2p}=-\frac{3\cdot 2}{2\cdot (-3)}=1.$

Kitoks kubinės lygties sprendimo būdas

Duota pilna kubinė lygtis:

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0.$

Eliminuojame $b{x}^2$, padarę keitinį $x=y-\frac{b}{3a}.$ Tai pakeičia lygtį į tokią:

$a(y-\frac{b}{3a}{)}^3+b(y-\frac{b}{3a}{)}^2+c(y-\frac{b}{3a})+d=0,$

$a(y^3-3y^2\frac{b}{3a}+3y(\frac{b}{3a}{)}^2-(\frac{b}{3a}{)}^3)+b(y^2-2y\frac{b}{3a}+(\frac{b}{3a}{)}^2)+c(y-\frac{b}{3a})+d=0,$

$(y^3-y^2\frac{b}{a}+y\frac{b^2}{a^2}-\frac{b^3}{27a^3})+\frac{b}{a}(y^2-y\frac{2b}{3a}+\frac{b^2}{9a^2})+\frac{c}{a}(y-\frac{b}{3a})+\frac{d}{a}=0,$

$(y^3-y^2\frac{b}{a}+y\frac{b^2}{a^2}-\frac{b^3}{27a^3})+(y^2\frac{b}{a}-y\frac{2b^2}{3a^2}+\frac{b^3}{9a^3})+(y\frac{c}{a}-\frac{bc}{3a^2})+\frac{d}{a}=0,$

$y^3+y^2(-\frac{b}{a}+\frac{b}{a})+y(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2b^2}{3a^2}+\frac{c}{a})-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{b^3}{9a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}=0,$

$y^3+(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2})y+(\frac{d}{a}+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2})=0.$

Pažymime:

$V=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2};$

$P=\frac{d}{a}+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}.$

Turime kubinę lygtį:

$y^3+Vy+P=0.$

Parenkame, kad $V=3st$, $y=s-t$. Tuomet turime:

$y^3+3sty+P=0,$

$(s-t{)}^3+3st(s-t)+P=0,$

$s^3-3s^{2}t+3s{t}^2-t^3+3st(s-t)+P=0,$

$s^3-3s^{2}t+3s{t}^2-t^3+3s^{2}t-3s{t}^2+P=0,$

$s^3-t^3+P=0,$

$P=t^3-s^3.$

Iš lygybės $V=3st$, turime $t=\frac{V}{3s}.$ Įstatę, gauname:

$P={\left(\frac{V}{3s}\right)}^3-s^3,$

$\frac{V^3}{27s^3}-s^3=P,$

$V^3-27s^6=27s^{3}P,$

$V^3-27s^6-27s^{3}P=0,$

$27s^6+27s^{3}P-V^3=0.$

Sprendžiame kaip kvadratinę lygtį, radę diskriminantą:

$D=(27P{)}^2-4\cdot 27\cdot (-V^3)=729P^2+108V^3;$

$s^3=\frac{-27P}{2\cdot 27}\pm \frac{\sqrt{27^2{P}^2+4\cdot 27V^3}}{2\cdot 27},$

$s^3=\frac{-P}{2}\pm \frac{\sqrt{P^2+\frac{4V^3}{27}}}{2},$

$s^3=\frac{-P}{2}\pm \sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}.$

$s=\sqrt[3]{\frac{-P}{2}\pm \sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}.$

Prisimename, kad:

$P=t^3-s^3,$

$P=t^3-(\frac{-P}{2}\pm \sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}),$

$P=t^3+\frac{P}{2}\mp \sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}},$

$-t^3=-P+\frac{P}{2}\mp \sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}},$

$-t^3=-\frac{P}{2}\mp \sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}},$

$t^3=\frac{P}{2}\pm \sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}.$

$t=\sqrt[3]{\frac{P}{2}\pm \sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}.$

Prisimename, kad $y=s-t$, todėl gauname:

$y=s-t=\sqrt[3]{\frac{-P}{2}\pm \sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}-\sqrt[3]{\frac{P}{2}\pm \sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}=\sqrt[3]{-\frac{P}{2}\pm \sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{P}{2}\mp \sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}.$

Tai $y_1=\sqrt[3]{-\frac{P}{2}+\sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{P}{2}-\sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}$ ir tai $y_2=\sqrt[3]{-\frac{P}{2}-\sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{P}{2}+\sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}$ yra tas pats, taigi $y_1=y_2.$

Randame lygties $a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ sprendinį:

$x_1=y-\frac{b}{3a}=\sqrt[3]{-\frac{P}{2}+\sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{P}{2}-\sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}-\frac{b}{3a},$

čia

$V=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2},$

$P=\frac{d}{a}+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}.$

Kitoks kubinės lygties sprendimo būdas (2)

Duota pilna kubinė lygtis:

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0.$

Eliminuojame $b{x}^2$, padarę keitinį $x=y-\frac{b}{3a}.$ Tai pakeičia lygtį į tokią:

$a(y-\frac{b}{3a}{)}^3+b(y-\frac{b}{3a}{)}^2+c(y-\frac{b}{3a})+d=0,$

$a(y^3-3y^2\frac{b}{3a}+3y(\frac{b}{3a}{)}^2-(\frac{b}{3a}{)}^3)+b(y^2-2y\frac{b}{3a}+(\frac{b}{3a}{)}^2)+c(y-\frac{b}{3a})+d=0,$

$(y^3-y^2\frac{b}{a}+y\frac{b^2}{a^2}-\frac{b^3}{27a^3})+\frac{b}{a}(y^2-y\frac{2b}{3a}+\frac{b^2}{9a^2})+\frac{c}{a}(y-\frac{b}{3a})+\frac{d}{a}=0,$

$(y^3-y^2\frac{b}{a}+y\frac{b^2}{a^2}-\frac{b^3}{27a^3})+(y^2\frac{b}{a}-y\frac{2b^2}{3a^2}+\frac{b^3}{9a^3})+(y\frac{c}{a}-\frac{bc}{3a^2})+\frac{d}{a}=0,$

$y^3+y^2(-\frac{b}{a}+\frac{b}{a})+y(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2b^2}{3a^2}+\frac{c}{a})-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{b^3}{9a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}=0,$

$y^3+(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2})y+(\frac{d}{a}+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2})=0.$

Pažymime:

$V=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2};$

$P=\frac{d}{a}+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}.$

Turime kubinę lygtį:

$y^3+Vy+P=0.$

Parenkame, kad $V=-3st$, $y=s+t$. Tuomet turime:

$y^3-3sty+P=0,$

$(s+t{)}^3-3st(s+t)+P=0,$

$s^3+3s^{2}t+3s{t}^2+t^3-3st(s+t)+P=0,$

$s^3+3s^{2}t+3s{t}^2+t^3-3s^{2}t-3s{t}^2+P=0,$

$s^3+t^3+P=0,$

$P=-t^3-s^3.$

Iš lygybės $V=-3st$, turime $t=-\frac{V}{3s}.$ Įstatę, gauname:

$P=-{(-\frac{V}{3s})}^3-s^3,$

$\frac{V^3}{27s^3}-s^3=P,$

$V^3-27s^6=27s^{3}P,$

$V^3-27s^6-27s^{3}P=0,$

$27s^6+27s^{3}P-V^3=0.$

Sprendžiame kaip kvadratinę lygtį, radę diskriminantą:

$D=(27P{)}^2-4\cdot 27\cdot (-V^3)=729P^2+108V^3;$

$s^3=\frac{-27P}{2\cdot 27}\pm \frac{\sqrt{27^2{P}^2+4\cdot 27V^3}}{2\cdot 27},$

$s^3=\frac{-P}{2}\pm \frac{\sqrt{P^2+\frac{4V^3}{27}}}{2},$

$s^3=\frac{-P}{2}\pm \sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}.$

$s=\sqrt[3]{\frac{-P}{2}\pm \sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}.$

Prisimename, kad:

$P=-t^3-s^3,$

$P=-t^3-(\frac{-P}{2}\pm \sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}),$

$P=-t^3+\frac{P}{2}\mp \sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}},$

$t^3=-P+\frac{P}{2}\mp \sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}},$

$t^3=-\frac{P}{2}\mp \sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}.$

$t=\sqrt[3]{-\frac{P}{2}\mp \sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}.$

Prisimename, kad $y=s+t$, todėl gauname:

$y=s+t=\sqrt[3]{\frac{-P}{2}\pm \sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{P}{2}\mp \sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}.$

Tai $y_1=\sqrt[3]{-\frac{P}{2}+\sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{P}{2}-\sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}$ ir tai $y_2=\sqrt[3]{-\frac{P}{2}-\sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{P}{2}+\sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}$ yra tas pats, taigi $y_1=y_2.$

Randame lygties $a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ sprendinį:

$x_1=y-\frac{b}{3a}=\sqrt[3]{-\frac{P}{2}+\sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{P}{2}-\sqrt{\frac{P^2}{4}+\frac{V^3}{27}}}-\frac{b}{3a},$

čia

$V=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2},$

$P=\frac{d}{a}+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}.$

Lygties sprendimo tikslas yra rasti išreikštą $P$ per s ir t (ar V). Nes jau turime išreikštą V per s ir t ($V=-3st;y=s+t$). Tuomet, gerai žinant Binomo formulę (Niutono Binomo formulę) kubiniam laipsniui, nesunku nuspėti, kad gausime išreikštą P, kai pakelsime $(s+t)$ trečiuoju laipsniu ir atimsime $3st(s+t)=3s^{2}t+3s{t}^2.$ Tuomet ir gausime $P=-s^3-t^3.$ Va taip:

$(s+t{)}^3-3st(s+t)+P=0,$

$s^3+3s^{2}t+3s{t}^2+t^3-3st(s+t)+P=0,$

$s^3+t^3+P=0.$

Tada toliau gana nesunku rasti s ir t iš sistemos

$\{\begin{array}{cc}V+3st=0,& \\ s^3+t^3+P=0,& \end{array}$

o tada ir y, žinant, kad $y=s+t.$

Kitoks kubinės lygties sprendimo būdas (3)

• Kubinės lygties sprendimas be kompleksinių skaičių

Nuorodos

• Kardano metodo pavyzdžiai
• http://www.math.ucdavis.edu/~kkreith/tutorials/sample.lesson/cardano.html
• http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function
• http://www.sosmath.com/algebra/factor/fac11/fac11.html
• Kubinės lygties kalkuliatorius