Matematika/Plokštuma

Geriausiai plokštuma įsivaizduojama, kaip funkcija $z=ax+by+c.$

Bendroji plokštumos lygtis yra:

$Ax+By+Cz+D=0.$

Parinkime bet kokį tašką $M_0(x_0;y_0;z_0)$ ant plokštumos. Tuomet vektorinė plokšumos lygtis yra $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.$ Tuomet turime, kad $D=-A{x}_0-B{y}_0-C{z}_0.$

Tarkime, kad plokštuma koordinačių ašyse Ox, Oy ir Oz atkerta atitinkamai atkarpas a, b ir c. Tai reiškia, kad plokštuma eina per taškus (a; 0; 0), (0; b; 0) ir (0; 0; c). Šių taškų koordinatės tinka lygčiai $Ax+By+Cz+D=0$, todėl teisingos lygybės

$A\cdot a+B\cdot 0+C\cdot 0+D=0,$

$A\cdot 0+B\cdot b+C\cdot 0+D=0,$

$A\cdot 0+B\cdot 0+C\cdot c+D=0.$

Iš čia

$A=-\frac{D}{a},B=-\frac{D}{b}C=-\frac{D}{c}.$

Įrašę šias A, B ir C išraiškas į lygtį $Ax+By+Cz+D=0$, gauname

$-\frac{D}{a}x-\frac{D}{b}y-\frac{D}{c}z+D=0,$

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.$

Ši lygtis vadinama ašine plokštumos lygtimi.

• Pavyzdžiui, lygties $3x-4y+2z=12$ ašinė lygtis yra:

$(3x-4y+2z)/12=12/12,$

$\frac{x}{4}+\frac{y}{-3}+\frac{z}{6}=1.$

• Pavyzdys. Kokią plokštumos ir erdvės taškų aibę apibūdina lygtis $3x+5z=15$?

Sprendimas. Erdvėje lygtis $3x+5z=15$ apibūdina plokštumą, lygiagrečią su ašimi Oy. Šios plokštumos normalės vektorius $\overrightarrow{n}=(3;0;5).$ Plokštumoje xOz ši lygtis nusako tiesę, kuri kerta koordinačių ašis taškuose $M_1(5;0;0)$ ir $M_2(0;0;3)$.

Plokštumos normalė

Plokštumos $Ax+By+Cz+D=0$ normalė yra vektorius $\overrightarrow{n}=(A;B;C).$ Plokštumos normalė yra tiesė praeinanti pro tą plokštumą ir susikirtimo taške sudaranti 90 laipsnių kampą. Plokštumos normalė visada išeina iš taško O(0; 0; 0). Todėl plokštumos normalė yra paprasčiausia tiesė jungianti du taškus O(0; 0; 0) ir N(A; B; C) ir ta tiesė yra statmena plokštumai $Ax+By+Cz+D=0$.

Kampas tarp dviejų plokštumų

Tarkime, duotos dvi plokštumos ${\pi }_1$ ir ${\pi }_2$, kurių lygtys $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$ ir $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0.$ Kampas tarp plokštumų ${\pi }_1$ ir ${\pi }_2$ lygus kampui tarp jų normalės vektorių $\overrightarrow{n_1}$ ir $\overrightarrow{n_2}.$

Kadangi $\overrightarrow{n_1}=(A_1;B_1;C_1),\overrightarrow{n_2}=(A_2;B_2;C_2),$ tai, remdamiesi vektorių formule, gauname sąryšį

$\cos \varphi =\frac{\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}}{\Vert \overrightarrow{n_1}\Vert \cdot \Vert \overrightarrow{n_2}\Vert }=\frac{A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\cdot \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}},$

kuris apibūdina kampą $\varphi$ tarp plokštumų ${\pi }_1$ ir ${\pi }_2$.

Jei Plokštumų ${\pi }_1$ ir ${\pi }_2$ normalės $\overrightarrow{n_1}$ ir $\overrightarrow{n_2}$ yra statmenos, tada $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0,$ ir tada plokštumos ${\pi }_1$ ir ${\pi }_2$ yra statmenos.

Plokštumų ${\pi }_1$ ir ${\pi }_2$ lygiagretumo sąlyga išplaukia iš jų normalės vektorių $\overrightarrow{n_1}$ ir $\overrightarrow{n_2}$ kolinerumo ir yra tokia:

$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}.$

Taško atstumas iki plokštumos

Tarkime, kad šalia plokštumos $\pi$, kurios lygtis $Ax+By+Cz+D=0$, duotas taškas $M_1(x_1;y_1;z_1)$. Rasime jo atstumą d iki plokštumos $\pi$. Iš taško $M_1$ nuleiskime statmenį $M_1{M}_0$ į plokštumą $\pi$ ir to statmens pagrindą pažymėkime $M_0(x_0;y_0;z_0).$ Tada $d=|\overrightarrow{M_0{M}_1}|.$ Kadangi vektorius $\overrightarrow{M_0{M}_1}$ ir plokštumos $\pi$ normalės vektorius $\overrightarrow{n}$ yra kolinearūs, tai jų sudaromas kampas $\varphi$ lygus nuliui arba 180 laipsnių. Todėl $\cos \varphi =\pm 1.$

$d=\frac{|\overrightarrow{M_0{M}_1}\cdot \overrightarrow{n}|}{\Vert \overrightarrow{n}\Vert }=\frac{|(x_1-x_0)A+(y_1-y_0)B+(z_1-z_0)C|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{|A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$

Čia $\overrightarrow{M_0{M}_1}=(x_1-x_0;y_1-y_0;z_1-z_0)$ ir $\overrightarrow{n}=(A;B;C).$ Ir $-A{x}_0-B{y}_0-C{z}_0=D$, nes $M_0$ priklauso plokštumai $\pi$.

• Pavyzdys. Duota plokštuma $x+2y+2z-8=0$ ir taškas $M_1(1;1;1)$.

Rasti atstumą d nuo taško $M_1$ iki duotos plokštumos.

Sprendimas.

$\Vert \overrightarrow{n}\Vert =\sqrt{A^2+B^2+C^2}=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.$

Toliau padaliname plokštumos lygtį iš $\Vert \overrightarrow{n}\Vert =3$ ir gauname:

$\frac{x+2y+2z-8}{3}=0,$

$\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}z-\frac{8}{3}=0.$

Į lygtį $\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}z-\frac{8}{3}=0$ įstatome taško $M_1(1;1;1)$ koordinates ir gauname taško $M_1(1;1;1)$ atstumą iki plokštumos $x+2y+2z-8=0$, taigi:

$d=|\frac{1}{3}\cdot 1+\frac{2}{3}\cdot 1+\frac{2}{3}\cdot 1-\frac{8}{3}|=|-\frac{3}{3}|=1.$

Plokštumos $x+2y+2z-8=0$ normalė yra tiesė ON, kuri statmena plokštumai $x+2y+2z-8=0$. Taškų koordinatės yra O(0; 0; 0) ir N(1; 2; 2). Tokiu budu, tiesė ON kerta plokštumą (arba pratesta kerta), sudarydama statų kampą su plokštuma $x+2y+2z-8=0$.

• Pavyzdys. Dvi kubo sienos yra plokštumose $3x-4y+z+15=0$ ir $6x-8y+2z-7=0$. Apskaičiuokime to kubo tūrį.

Sprendimas. Kadangi nurodytų plokštumų normalės vektorių $\overrightarrow{n_1}=(3;-4;1)$ ir $\overrightarrow{n_1}=(6;-8;2)$ koordinatės yra proporcingos, tai tos plokštumos yra lygiagrečios. Todėl kubo briaunos ilgis lygus atstumui tarp šių plokštumų. Antra vertus, šis atstumas lygus atstumui d nuo bet kurio plokštumos $6x-8y+2z-7=0$ taško iki plokštumos $3x-4y+z+15=0$.

Parainkime kurį nors plokštumos $6x-8y+2z-7=0$ tašką, pavyzdžiui, tašką, kurio $y=-1,$ $z=1.$ Tada $6x-8\cdot (-1)+2\cdot 1-7=0,$ $6x+8+2-7=0,$ $6x+3=0,$ $6x=-3,$ $x=-\frac{1}{2}.$ Apskaičiuokime atstumą d nuo taško $M_1(-0,5;-1;1)$ iki plokštumos $3x-4y+z+15=0$, taigi:

$d=\frac{|A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{|3\cdot (-0,5)+(-4)\cdot (-1)+1\cdot 1+15|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2+1^2}}=\frac{|-\frac{3}{2}+4+1+15|}{\sqrt{9+16+1}}=\frac{|18,5|}{\sqrt{9+16+1}}=$

$=\frac{18,5}{\sqrt{26}}=\frac{37}{2\sqrt{26}}=3.6281485.$

Vadinasi kubo tūris

$V=d^3={\left(\frac{37}{2\sqrt{26}}\right)}^3=3.6281485^3=47,75899324.$

Liečiamoji plokštuma paviršiaus

Liečiamoji plokštuma ir normalė tos plokštumos, kuri liečia paviršių, kurio lygtis $F(x,y,z)=0.$ Tegu paviršius nusakomas lygtimi

$F(x,y,z)=0.$

Tokia lygtis gali būti, pavyzdžiui, paraboloido lygtis $z=x^2+y^2,$

$x^2+y^2-z=0.$

Paimkime ant to paviršiaus tašką $M_0(x_0;y_0;z_0).$

Jei apibrėžime šito taško funkcija $F(x,y,z)$ netruki ir jos dalinės išvestinės netrukios, priedo $F{\text{'}}_z(x_0;y_0;z_0)\ne 0,$ tai šalia taško $M_0(x_0;y_0;z_0)$ paviršių galima įsivaizduoti kaip lygtį $z=f(x;y),$ kur funkcija vienareikšmė, netrūki ir turi netrūkias dalines išvestines. Iš čia, iš dalies, seka, kad taške $M_0(x_0;y_0)$ funkcija $z=f(x;y)$ diferencijuojama, t. y. duotas paviršius turi nevertikalią liečiančią plokštumą.

Lygtis šios plokštumos, kaip mes žinome, turi pavidalą:

$z-z_0=(x-x_0)\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{M_0}+(y-y_0)\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{M_0}=(x-x_0)\frac{\partial z(x_0;y_0)}{\partial x}+(y-y_0)\frac{\partial z(x_0;y_0)}{\partial x}.$

Įstatę į jį reikšmes $\frac{\partial z}{\partial x}$ ir $\frac{\partial z}{\partial y}:$

$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{M_0}=-\frac{F{\text{'}}_x(x_0;y_0;z_0)}{F{\text{'}}_z(x_0;y_0;z_0)},\frac{\partial z}{\partial y}{|}_{M_0}=-\frac{F{\text{'}}_y(x_0;y_0;z_0)}{F{\text{'}}_z(x_0;y_0;z_0)},$

po elementarių pertvarkymų gausime lygtį liečiamosios plokštumos paviršiaus $F(x,y,z)=0$ taške $M_0(x_0;y_0;z_0)$ pavidale:

$F{\text{'}}_x(x_0;y_0;z_0)(x-x_0)+F{\text{'}}_y(x_0;y_0;z_0)(y-y_0)+F{\text{'}}_z(x_0;y_0;z_0)(z-z_0)=0.$

Lygtys normalės tam pačiam paviršiui taške $M_0(x_0;y_0;z_0)$ turės pavidalą:

$\frac{x-x_0}{F{\text{'}}_x(x_0;y_0;z_0)}=\frac{y-y_0}{F{\text{'}}_y(x_0;y_0;z_0)}=\frac{z-z_0}{F{\text{'}}_z(x_0;y_0;z_0)}.$

Taškas $M_0(x_0;y_0;z_0),$ kuriame $F{\text{'}}_x=F{\text{'}}_y=F{\text{'}}_z=0,$ vadinamas ypatingu tašku paviršiaus. Šiame taške paviršius gali neturėti liečiamosios plokštumos.

Pavyzdžiai

• Rasti lygtį liečiamosios plokštumos ir normalę paviršiui $z=x^2+y^2,$ taške $M_0(3;4;25).$

Čia $F(x;y;z)=x^2+y^2-z,$

$F{\text{'}}_x(x;y;z)=2x,$

$F{\text{'}}_y(x;y;z)=2y,$

$F{\text{'}}_z(x;y;z)=-1.$

Randame dalinių išvestinių reikšmes taške $M_0(3;4;5):$

$F{\text{'}}_x(3;4;25)=2\cdot 3=6,$

$F{\text{'}}_y(3;4;25)=2\cdot 4=8,$

$F{\text{'}}_z(3;4;25)=-1.$

Gauname liečiamosios plokštumos lygtį:

$z-25=6(x-3)+8(y-4),$

arba,

$z=6(x-3)+8(y-4)+25=6x-18+8y-32+25=6x+8y-25.$

Liečiamosios plokštumos normalinis vektorius yra $\overrightarrow{n}=(\frac{\partial z(3;4)}{\partial x};\frac{\partial z(3;4)}{\partial y};-1)=(6;8;-1),$ kuris dar vadinamas normale taške $M_0.$

Gauname normalės taške $M_0(3;4;25)$ lygtis:

$\frac{x-3}{6}=\frac{y-4}{8}=\frac{z-25}{-1}.$