Matematika/Tiesė ir plokštuma

Susikirtimo taškas tiesės ir plokštumos

Tegu duota plokštuma

$Ax+By+Cz+D=0$

ir tiesė

$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p},$ čia $M(x_0;y_0;z_0)$ yra betkoks tiesės taškas, o vektorius $\overrightarrow{s}=(m;n;p)$ yra tiesės krypties vektorius.

Tada:

$t_1=-\frac{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D}{Am+Bn+Cp}.$

Po to, kad rasti tiesės ir plokštumos susikirtimo taško $M_1(x_1;y_1;z_1)$ koordinates įstatysime rastą reikšmę $t_1$ į parametrinę lygtį tiesės:

$\{\begin{array}{cc}{x}_1=x_0+m{t}_1,& \\ y_1=y_0+n{t}_1,& \\ z_1=z_0+p{t}_1.& \end{array}$

Įrodymas vektorinėje formoje

Duotos lygtis $(\overrightarrow{N},\overrightarrow{r})+D=0$ plokštumos P, kur $\overrightarrow{N}=(A;B;C),\overrightarrow{r}=(x;y;z),$ ir lygtis $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_0}+\overrightarrow{s}t$ tiesės l, kur $\overrightarrow{s}=(m;n;p)$ ir $\overrightarrow{r_0}=(x_0;y_0;z_0).$

Tegu $M_1$ - taškas susikirtimo tiesės l su plokštuma P. Pažymėsime per $t_1$ reikšmę parametro t taškui $M_1$.

Kadangi prie šito reikšmė parametro vektorius $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_0}+\overrightarrow{s}{t}_1$ yra spindulys-vektorius taško, gulinčio ant plokštumos, tai, įstačius jį į lygtį plokštumos $(\overrightarrow{N}\overrightarrow{r})+D=0,$ mes gausime: $(\overrightarrow{N},(\overrightarrow{r_0}+\overrightarrow{s}{t}_1))+D=0,$ t. y.

$t_1(\overrightarrow{N},\overrightarrow{s})+(\overrightarrow{N},\overrightarrow{r_0})+D=0,$

iš kur, jeigu $(\overrightarrow{N},\overrightarrow{s})\ne 0,$ nustatysime

$t_1=-\frac{(\overrightarrow{N},\overrightarrow{r_0})+D}{(\overrightarrow{N},\overrightarrow{s})}.$

Įstatę reikšmę $t_1$ į lygtį tiesės l, rasime spindulį-vektorių $\overrightarrow{r_1}$ taško susikirtimo tiesės l ir plokštumos P:

$\overrightarrow{r_1}=\overrightarrow{r_0}+\overrightarrow{s}{t}_1.$

Tegu dabar lygtys plokštumos ir tiesės parašytos koordinatinėje formoje:

$(P)\mathrm{...}Ax+By+Cz+D=0,$

$(l)\mathrm{...}\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}.$

Tada panaudoję lygybę $t_1=-\frac{(\overrightarrow{N},\overrightarrow{r_0})+D}{(\overrightarrow{N},\overrightarrow{s})},$ gausime:

$t_1=-\frac{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D}{Am+Bn+Cp}.$

Po to, kad rasti tiesės ir plokštumos susikirtimo taško $M_1(x_1;y_1;z_1)$ koordinates įstatysime rastą reikšmę $t_1$ į parametrinę lygtį tiesės:

$\{\begin{array}{cc}{x}_1=x_0+m{t}_1,& \\ y_1=y_0+n{t}_1,& \\ z_1=z_0+p{t}_1.& \end{array}$

Įrodymas nevektorinėje formoje

Duota lygtis $Ax+By+Cz+D=0$ plokštumos P, kur plokštumos normalė stati plokštumai yra $\overrightarrow{N}=(A;B;C)$ ir trijų kintamųjų vektorius yra $\overrightarrow{r}=(x;y;z),$ ir duota lygčių sistema

tiesės $l,$ kur tiesės krypties vektorius yra $\overrightarrow{s}=(m;n;p)$ ir tiesės betkuris pasirinktas žinomas taškas $M_0(x_0;y_0;z_0).$

Tegu $M_1(x_1;y_1;z_1)$ - taškas susikirtimo tiesės l su plokštuma P. Pažymėsime per $t_1$ reikšmę parametro t taškui $M_1$.

Kadangi prie šito reikšmė parametro vektorius $\overrightarrow{r}=$ $\{\begin{array}{cc}x=x_0+m{t}_1,& \\ y=y_0+n{t}_1,& \\ z=z_0+p{t}_1& \end{array}$

yra spindulys-vektorius taško, gulinčio ant plokštumos, tai, įstačius jį į lygtį plokštumos $(\overrightarrow{N}\overrightarrow{r})+D=Ax+By+Cz+D=0,$ mes gausime: $(\overrightarrow{N},(\overrightarrow{r_0}+\overrightarrow{s}{t}_1))+D=A(x_0+m{t}_1)+B(y_0+n{t}_1)+C(z_0+p{t}_1)+D=0,$ t. y.

$t_1(\overrightarrow{N},\overrightarrow{s})+(\overrightarrow{N},\overrightarrow{r_0})+D=t_1(Am+Bn+Cp)+A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D=0,$

iš kur, jeigu $(\overrightarrow{N},\overrightarrow{s})=A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0\ne 0,$ nustatysime

$t_1=-\frac{(\overrightarrow{N},\overrightarrow{r_0})+D}{(\overrightarrow{N},\overrightarrow{s})}=-\frac{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D}{Am+Bn+Cp}.$

Įstatę reikšmę $t_1$ į lygtį tiesės $l$, rasime spindulį-vektorių $\overrightarrow{r_1}$ taško susikirtimo tiesės $l$ ir plokštumos P:

$\overrightarrow{r_1}=\overrightarrow{r_0}+\overrightarrow{s}{t}_1=$ $\{\begin{array}{cc}{x}_1=x_0+m{t}_1,& \\ y_1=y_0+n{t}_1,& \\ z_1=z_0+p{t}_1.& \end{array}$

Tegu dabar lygtys plokštumos ir tiesės parašytos koordinatinėje formoje:

$(P)\mathrm{...}Ax+By+Cz+D=0,$

$(l)\mathrm{...}\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}.$

Tada panaudoję lygybę $t_1=-\frac{(\overrightarrow{N},\overrightarrow{r_0})+D}{(\overrightarrow{N},s)},$ gausime:

$t_1=-\frac{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D}{Am+Bn+Cp}.$

Po to, kad rasti tiesės ir plokštumos susikirtimo taško $M_1(x_1;y_1;z_1)$ koordinates įstatysime rastą reikšmę $t_1$ į parametrinę lygtį tiesės:

$\{\begin{array}{cc}{x}_1=x_0+m{t}_1,& \\ y_1=y_0+n{t}_1,& \\ z_1=z_0+p{t}_1.& \end{array}$

Trumpai tariant, esmė buvo surasti tiesės l nusakytos parametrinėmis lygtimis $\{\begin{array}{cc}x=x_0+m{t}_1,& \\ y=y_0+n{t}_1,& \\ z=z_0+p{t}_1,& \end{array}$, parametrą $t_1,$ įstačius tiesės $x_0+m{t}_1$, $y_0+n{t}_1$ ir $z_0+p{t}_1$ reikšmes į bendrąją plokštumos lygtį $Ax+By+Cz+D=0$ vietoje x, y ir z. Tokiu budu randamas tiesės ir plokštumos susikirtimo taškas $M_1(x_1;y_1;z_1),$ įstačius $t_1$ į lygtis $\{\begin{array}{cc}{x}_1=x_0+m{t}_1,& \\ y_1=y_0+n{t}_1,& \\ z_1=z_0+p{t}_1.& \end{array}$

Kažkas panašaus kaip sprendžiama dviejų tiesių plokštumoje lygčių sistema (kad surasti tų tiesių susikirtimo tašką) keitimo budu.

Pavyzdžiai

• Rasti projekciją taško M(9; -13; -18) į plokštumą P

$9x-17y-15z+23=0.$

Užduoties išsprendimui sudarysime lygtį tiesės, praeinančios per tašką M statmenai plokštumai P.

Lygtys betkurios tiesės, praeinančios per tašką M, turės pavidalą:

$\frac{x-9}{m}=\frac{y+13}{n}=\frac{z+18}{p}.$

Pagal statmenumo sąlygą tiesės ir plokštumos $(\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p})$ galima į lygtį tiesės vietoje koeficientų m, n, p įstatyti proporcingus jiems dydžius A, B, C:

$\frac{x-9}{9}=\frac{y+13}{-17}=\frac{z+18}{-15}.$

Kad surasti projekciją N taško M(9; -13; -18) į plokštumą reikia rasti susikirtimo tašką plokštumos $9x-17y-15z+23=0$ ir tiesės $\frac{x-9}{m}=\frac{y+13}{n}=\frac{z+18}{p}.$ Pagal formulę nustatome susikirtimo tašką

$t_1=-\frac{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D}{Am+Bn+Cp}=-\frac{9\cdot 9+(-17)\cdot (-13)+(-15)\cdot (-18)+23}{9\cdot 9-17\cdot (-17)-15\cdot (-15)}=$

$=-\frac{81+221+270+23}{81+289+225}=-1.$

Iš čia koordinatės taško $N(x_N;y_N;z_N)$ nustatomos pagal formules $\{\begin{array}{cc}{x}_1=x_0+m{t}_1,& \\ y_1=y_0+n{t}_1,& \\ z_1=z_0+p{t}_1.& \end{array}$ :

$\{\begin{array}{cc}{x}_N=x_0+m{t}_1=9+9\cdot (-1)=0,& \\ y_N=y_0+n{t}_1=-13-17\cdot (-1)=-13+17=4,& \\ z_N=z_0+p{t}_1=-18-15\cdot (-1)=-18+15=-3,& \end{array}$

t. y. N(0; 4; -3).

• Duoti du tiesės taškai $M_0(3;5;2),$ $M_1(7;4;9)$ ir duota bendroji plokšumos lygtis $6x+7y+8z+12=0$. Rasime pratestos atkarpos $M_1{M}_2$ ir plokštumos $6x+7y+8z+12=0$ susikirtimo tašką.

Sprendimas. Žinodami du tiesės T taškus $M_1$ ir $M_2$ parašykime tiesės T kanoninę lygtį pasinaudodami formule:

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1};$

$\frac{x-3}{7-3}=\frac{y-5}{4-5}=\frac{z-2}{9-2};$

$\frac{x-3}{4}=\frac{y-5}{-1}=\frac{z-2}{7}.$

Tiesės T krypties vektorius yra $\overrightarrow{s}=(4;-1;7).$

Tiesės ir plokštumos susikirtimo tašką pažymėkime $N(x_2;y_2;z_2)$. Pagal formulę randame:

$t_1=-\frac{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D}{Am+Bn+Cp}=-\frac{6\cdot 3+7\cdot 5+8\cdot 2+12}{6\cdot 4+7\cdot (-1)+8\cdot 7}=$

$=-\frac{18+35+16+12}{24-7+56}=\frac{81}{73}=-\mathrm{1.109589041.}$

Paverskime tiesės T kanonines lygtys $\frac{x-3}{4}=\frac{y-5}{-1}=\frac{z-2}{7}=t_1$ parametrinėmis lygtimis:

$\{\begin{array}{cc}\frac{x-3}{4}=t_1,& \\ \frac{y-5}{-1}=t_1,& \\ \frac{z-2}{7}=t_1;& \end{array}$

$\{\begin{array}{cc}x-3=4t_1,& \\ y-5=-t_1,& \\ z-2=7t_1;& \end{array}$

$\{\begin{array}{cc}x=3+4t_1,& \\ y=5-t_1,& \\ z=2+7t_1.& \end{array}$

Toliau vietoje šios $6x+7y+8z+12=0$ plokštumos x, y, z reikšmių įstatome tiesės reikšmes $3+4t_1$, $5-t_1$, $2+7t_1$ ir gauname:

$6(3+4t_1)+7(5-t_1)+8(2+7t_1)+12=0,$

$18+24t_1+35-7t_1+16+56t_1+12=0,$

$24t_1-7t_1+56t_1=-18-35-16-12,$

$73t_1=-81,$

$t_1=-\frac{81}{73}=-\mathrm{1.109589041.}$

Dabar galime surasti tiesės T ir plokštumos $6x+7y+8z+12=0$ susikirtimo tašką $N(x_2;y_2;z_2)$. Taigi, susikirtimo taško N koordinatės yra:

$\{\begin{array}{cc}{x}_2=x_0+m{t}_1=3+4\cdot (-\frac{81}{73})=3-\frac{324}{73}=-1.438356164,& \\ y_2=y_0+n{t}_1=5-(-\frac{81}{73})=5+\frac{81}{73}=6.109589041,& \\ z_2=z_0+p{t}_1=2+7\cdot (-\frac{81}{73})=2-\frac{567}{73}=-5.767123288,& \end{array}$

vadinasi, N(-1,438356164; 6,109589041; -5,767123288).

• Rasti atstumą nuo taško M(4; 1; 2) iki taško K(9; 11; 7). Abu šitie taškai guli ant tiesės l:

$(l)\mathrm{...}\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{1}.$

Pavyzdžio sprendimo planas sekantis:

1. Sudarysime lygtį plokštumos P, praeinančios per tašką K(9; 11; 7).

2. Rasime tašką K susikirtimo tiesės l su plokštuma P.

3. Nustatysime atstumą nuo taško M iki taško K pasinaudodami dviem formulėm.

Sprendimas. Sudarysime lygtį plokštumos, kuriai priklauso taškas K (plokštuma kuri eina per tašką K):

$A(x-9)+B(y-11)+C(z-7)=0.$

Plokštumos P normalės vektorius (statmenas plokštumai P) yra $\overrightarrow{n}=(A;B;C).$ Tiesės l krypties vektorius yra $\overrightarrow{s}=(m;n;p)=(1;2;1).$ Kad tiesė būtų statmena plokštumai mums reikia, kad tiesės krypties vektorius sutaptų su plokštumos noramlės vektoriumi. Tuomet plokštumos normalės vektorius yra $\overrightarrow{n}=(A;B;C)=(1;2;1).$ Esant stačiam kampui tarp plokštumos P ir tiesės l galima užrašyti lygtį plokštumos P:

$1(x-9)+2(y-11)+1(z-7)=0,$

$x-9+2y-22+z-7=0,$

$x+2y+z-38=0.$

Taškui K

$t_1=-\frac{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D}{Am+Bn+Cp}=-\frac{1\cdot 9+2\cdot 11+1\cdot 7-38}{1\cdot 1+2\cdot 2+1\cdot 1}=$

$=-\frac{9+22+7-38}{1+4+1}=-\frac{0}{6}=0,$

iš kur

$\{\begin{array}{cc}{x}_K=x_0+m{t}_1=9+1\cdot 0=9,& \\ y_K=y_0+n{t}_1=11+2\cdot 0=11,& \\ z_K=z_0+p{t}_1=7+1\cdot 0=7.& \end{array}$

Gavome tiesės l ir plokštumos P susikirtimo tašką K(9; 11; 7).

Atstumas nuo taško M(4; 1; 2) iki taško K(9; 11; 7) yra:

$MK=\sqrt{(4-9{)}^2+(1-11{)}^2+(2-7{)}^2}=\sqrt{25+100+25}=\sqrt{150}=$ 12.247448713915890490986420373529.

Dabar rasime taško M(4; 1; 2) atstumą iki plokštumos $1(x-9)+2(y-11)+1(z-7)=0,$ naudojantis taško atstumo iki plokštumos skaičiavimo formule:

$d=\frac{|\overrightarrow{MK}\cdot \overrightarrow{n}|}{\Vert \overrightarrow{n}\Vert }=\frac{|(x_1-x_0)A+(y_1-y_0)B+(z_1-z_0)C|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{|A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=$

$=\frac{|(4-9)1+(1-11)2+(2-7)1|}{\sqrt{1^2+2^2+1^2}}=\frac{|1\cdot 4+2\cdot 1+1\cdot 2-38|}{\sqrt{1^2+2^2+1^2}}=$

$=\frac{|-5-20-5|}{\sqrt{1+4+1}}=\frac{|4+2+2-38|}{\sqrt{1+4+1}}=$

$=\frac{|-30|}{\sqrt{6}}=\frac{30}{\sqrt{6}}=$

= 30/2.4494897427831780981972840747059 = 12.247448713915890490986420373529.

Gautas tas pats atstumas.

Kampas tarp tiesės ir plokštumos

Tarkime, tiesė T nusakoma kanoninėmis lygtimis

$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n},$

o plokštuma $\pi$ nusakoma lygtimi $Ax+By+Cz+D=0.$ Kampu $\varphi$ tarp tiesės T ir plokštumos $\pi$ vadiname kampą tarp tos tiesės ir jos projekcijos plokštumoje $\pi$. Kadangi $\varphi +\alpha =\frac{\pi }{2},$ tai $\cos \alpha =\cos (\frac{\pi }{2}-\varphi )=\sin \varphi ;$

čia $\alpha$ yra kampas tarp tiesės T krypties vektoriaus $\overrightarrow{s}=(l;m;n)$ ir plokštumos $\pi$ normalės vektoriaus $\overrightarrow{n}=(A;B;C).$ Kitaip sakant, kampas $\alpha$ yra kampas tarp tiesės T ir plokštumos normalės $\overrightarrow{n}=(A;B;C).$ Iš vektorių $\overrightarrow{n}$ ir $\overrightarrow{s}$ skaliarinės sandaugos išplaukia, kad

$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{s}}{\Vert \overrightarrow{n}\Vert \cdot \Vert \overrightarrow{s}\Vert }=\frac{Al+Bm+Cn}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{l^2+m^2+n^2}}.$

Tada

$\sin \varphi =\frac{Al+Bm+Cn}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{l^2+m^2+n^2}},$

čia $\varphi$ yra kampas tarp tiesės T ir plokštumos $Ax+By+Cz+D=0.$

Kai tiesė T lygiagreti plokštumai $\pi$, tai tiesės krypties vektorius $\overrightarrow{s}=(l;m;n)$ yra statmenas plokštumos normalės vektoriui $\overrightarrow{n}=(A;B;C),$ todėl $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{s}=0.$ Iš čia gauname tiesės ir plokštumos lygiagretumo sąlygą:

$A\cdot l+B\cdot m+C\cdot n=0.$

Kai tiesė T statmena plokštumai $\pi$, tai tiesės krypties vektorius $\overrightarrow{s}=(l;m;n)$ yra lygiagretus plokštumos normalės vektoriui $\overrightarrow{n}=(A;B;C),$ todėl jų koordinatės yra proporcingos. Iš čia išplaukia tiesės ir plokštumos statmenumo sąlyga:

$\frac{A}{l}=\frac{B}{m}=\frac{C}{n}.$

• Pavyzdis. Su kuria B reikšme tiesė T, nusakoma lygtimis

$\{\begin{array}{cc}4x-5y+z-3=0,& \\ x+2y-3z+9=0,& \end{array}$

bus lygiagreti su plokštuma $\pi$, kurios lygtis $2x-By-2z-3=0$?

Sprendimas. Kai tiesė T lygiagreti su plokštuma $\pi$, tai tiesės krypties vektorius $\overrightarrow{s}=(l;m;n)$ yra statmenas plokštumos normalės vektoriui $\overrightarrow{n}=(2;-B;-2)$ ir skaliarinė jų sandauga $\overrightarrow{s}\cdot \overrightarrow{n}=0.$

Pažymėkime: $\overrightarrow{n_1}=(1;-2;3),\overrightarrow{n_2}=(4;-3;4).$ Kadangi $\overrightarrow{s}=\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2},$ tai iš sąlygos $\overrightarrow{s}\cdot \overrightarrow{n}=0$ išplaukia, kad $(\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2})\cdot \overrightarrow{n}=0.$ Vadinasi,

$\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 4& -3& 4\\ 2& -B& -2\end{array}\right|=0;$

$\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 4& -3& 4\\ 2& -B& -2\end{array}\right|=1(-3\cdot (-2)-4\cdot (-B))-(-2)(4\cdot (-2)-4\cdot 2)+3(4\cdot (-B)-(-3)\cdot 2)=0;$

$\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 4& -3& 4\\ 2& -B& -2\end{array}\right|=(6+4B)+2(-8-8)+3(-4B+6)=6+4B-32-12B+18=-8B-8=0;$

$-8B-8=0;$

$-8B=8;$

$B=-1.$

• Pavyzdis. Sudaryti lygtį plokštumos P, praeinančios pro tašką M(2; -1; 3) lygiagrečiai dviems tiesiems:

$T_1\mathrm{...}\frac{x-2}{3}=\frac{y+17}{4}=\frac{z-8}{-5}$

ir

$T_2\mathrm{...}\frac{x+8}{2}=\frac{y-14}{-3}=\frac{z}{1}.$

Parašysime lygtį visų plokštumų su centru taške M:

$A(x-2)+B(y+1)+C(z-3)=0.$

Panaudojame lygiagretumo sąlyga ($A\cdot l+B\cdot m+C\cdot n=0$) plokštumos P tiesei $T_1$, o paskui ir tiesei $T_2$:

$3A+4B-5C=0,$

$2A-3B+C=0.$

Iš šitos sistemos giminingų lygčių nustatysime santykį koeficientų A, B, C ir paskui į lygtį $A(x-2)+B(y+1)+C(z-3)=0$ vietoje koeficientų A, B, C įstatysime proporcionalius jiems dydžius:

$A:B:C=\left|\begin{array}{cc}4& -5\\ -3& 1\end{array}\right|:\left|\begin{array}{cc}-5& 3\\ 1& 2\end{array}\right|:\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 2& -3\end{array}\right|=-11:-13:-17,$

$11(x-2)+13(y+1)+17(z-3)=0,$

$11x+13y+17z-60=0.$