Matematika/Tiesė su vektoriais

Bendrosios lygtys tiesės erdvėje

Tegu duotos lygtys dviejų susikertančių plokštumų:

$(\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{r})+D_1=0$ ir $(\overrightarrow{N_2},\overrightarrow{r})+D_2=0$

kur

$\overrightarrow{N_1}(A_1,B_1,C_1);\overrightarrow{N_2}(A_2,B_2,C_2);\overrightarrow{r}(x,y,z).$

Tada sistemą šių lygčių:

$\{\begin{array}{cc}(\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{r})+D_1=0,& \\ (\overrightarrow{N_2},\overrightarrow{r})+D_2=0.& \end{array}(1)$

galima nagrinėti kaip lygtį tiesės - susikirtimo linijos šių plokštumų. Lygtys (1) vadinasi bendrosiomis lygtimis tiesės erdvėje vektorinėje formoje.

Išreiškę lygtis (1) koordinatinėje formoje, gausime:

$\{\begin{array}{cc}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,& \\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0.& \end{array}(2)$

Lygtys (2) vadinasi bendrosiomis lygtimis tiesės koordinatinėje formoje.

Vaizdas:93ris.jpg

93 pav.

Užrašymas bendrųjų lygčių tiesės kanoninėje išraiškoje. Tegu duodamos lygtys tiesės benrojoje išraiškoje:

$\{\begin{array}{cc}(\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{r})+D_1=0,& \\ (\overrightarrow{N_2},\overrightarrow{r})+D_2=0.& \end{array}$

Lygtis $(\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{r})+D_1=0$ yra lygtis plokštumos $P_1$, statmenos vektoriui $\overrightarrow{N_1}(A_1,B_1,C_1);(\overrightarrow{N_2},\overrightarrow{r})+D_2=0$ - lygtis plokštumos $P_2$, statmenos vektoriui $\overrightarrow{N_2}(A_2,B_2,C_2)$ (93 pav.). Lygtį linijos jų susikirtimo galima užrašyti vektorinėje formoje: $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_0}+\overrightarrow{s}t,$ kur $\overrightarrow{s}(m,n,p)$ - krypties vektorius šitos tiesės (gauname, kad $\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_0}=\overrightarrow{s}t$, todėl t tik nustato krypties vektoriaus $\overrightarrow{s}$ ilgį, jei būtų žinomos tikslios vektoriaus $\overrightarrow{r}$ koordinatės; $\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_0}=\overrightarrow{s}t$ yra $(x-x_0;y-y_0;z-z_0)=(tm;tn;tp)$).

Rasime vektorinę sandaugą $[\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{N_2}]:$

$[\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{N_2}]=\overrightarrow{N_1}\times \overrightarrow{N_2}=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ A_1& B_1& C_1\\ A_2& B_2& C_2\end{array}\right|=𝐢\left|\begin{array}{cc}{B}_1& C_1\\ B_2& C_2\end{array}\right|-𝐣\left|\begin{array}{cc}{A}_1& C_1\\ A_2& C_2\end{array}\right|+𝐤\left|\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ A_2& B_2\end{array}\right|=$

$=𝐢\left|\begin{array}{cc}{B}_1& C_1\\ B_2& C_2\end{array}\right|+𝐣\left|\begin{array}{cc}{C}_1& A_1\\ C_2& A_2\end{array}\right|+𝐤\left|\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ A_2& B_2\end{array}\right|.(3)$

Iš apibrėžimo vektorinės sandaugos seka, kad vektorius $[\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{N_2}]=\overrightarrow{N_1}\times \overrightarrow{N_2}$ kolinearus vektoriui $\overrightarrow{s}.$ Pasekoje, koordinatės šitų dviejų vektorių proporcingos:

$m:n:p=\left|\begin{array}{cc}{B}_1& C_1\\ B_2& C_2\end{array}\right|:\left|\begin{array}{cc}{C}_1& A_1\\ C_2& A_2\end{array}\right|:\left|\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ A_2& B_2\end{array}\right|.(4)$

Tokiu budu, į kanonines lygtys tiesės

$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$

vietoje koeficientų m, n, p galima įstatyti, jiems propocingus, ir gausime lygtis

$\frac{x-x_0}{\left|\begin{array}{cc}{B}_1& C_1\\ B_2& C_2\end{array}\right|}=\frac{y-y_0}{\left|\begin{array}{cc}{C}_1& A_1\\ C_2& A_2\end{array}\right|}=\frac{z-z_0}{\left|\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ A_2& B_2\end{array}\right|}.(5)$

Taigi, kad iš bendrųjų tiesės lygčių

$\{\begin{array}{cc}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,& \\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0& \end{array}$

pereiti prie kanoninių lygčių $\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$ tos pačios tiesės, reikia rasti kokį nors tašką $M_0(x_0;y_0;z_0),$ gulintį ant tiesės, ir vietoje koeficientų m, n, p įstatyti proporcingus jiems skaičius (žiūrėti (4)).

Verta pastebėti, kad ieškant taško, gulinčio ant tiesės, vieną vieną iš koordinačių galima parinkti visiškai savavališkai; sumanu tašką $M_0$ susikirtimo tiesės su viena iš koordinatinių plokštumu, kadangi tada nors viena iš koordinačių šito taško bus lygi nuliui.

Pavyzdžiai

• Lygtį tiesės

$\{\begin{array}{cc}2x-3y+5z+7=0,& \\ x+3y-4z-1=0& \end{array}$

užrašyti kanoniniame pavidale.

Tašką $M_0(x_0;y_0;z_0)$ paimsime susikirtimo tiesės su plokštuma xOy, tada $z_0=0$. Nustatymui $x_0$, $y_0$ turėsime sekančią sistemą:

$\{\begin{array}{cc}2x_0-3y_0+7=0,& \\ x_0+3y_0-1=0.& \end{array}$

Spresdami šitą sistemą,

$+\{\begin{array}{cc}2x_0-3y_0+7=0,& \\ x_0+3y_0-1=0;& \end{array}$

$2x_0+x_0-3y_0+3y_0+7-1=0,$

$3x_0+6=0,$

$3x_0=-6,$

$x_0=-2;$

$x_0+3y_0-1=0,$

$-2+3y_0-1=0,$

$3y_0=3,$

$y_0=1;$

randame, kad $x_0=-2$; $y_0=1$.

Panaudodami lygybę (4) radimui santykio koeficientų m, n, p, gausime:

$m:n:p=\left|\begin{array}{cc}-3& 5\\ 3& -4\end{array}\right|:\left|\begin{array}{cc}5& 2\\ -4& 1\end{array}\right|:\left|\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& 3\end{array}\right|=(12-15):(5-(-8)):(6-(-3))=-3:13:9.$

Pasekoje, ieškomos lygtys turi pavidalą:

$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p},$

$\frac{x-(-2)}{-3}=\frac{y-1}{13}=\frac{z-0}{9},$

$\frac{x+2}{-3}=\frac{y-1}{13}=\frac{z}{9}.$

Kampas tarp dviejų tiesių

Kampu tarp dviejų tiesių erdvėje vadina bet kokį iš kampų, sukurtų dviejų tiesių, pravestų iš vieno taško lygiagrečiai duotoms tiesėms (priedo, jeigu tiesės lygiagrečios, kampas tarp jų laikomas lygus nuliui arba $\pi$).

Tegu duotos lygtys dviejų tiesių:

$(l_1)...\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_1}+\overrightarrow{s_1}t,$

kur $\overrightarrow{r}\{x,y,z\},\overrightarrow{r_1}\{x_1,y_1,z_1\},\overrightarrow{s_1}\{m_1,n_1,p_1\},$ ir

$(l_2)...\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_2}+\overrightarrow{s_2}t,$

kur $\overrightarrow{r_2}\{x_2,y_2,z_2\},\overrightarrow{s_2}\{m_2,n_2,p_2\}.$

Pažymėsime kampą tarp tiesių $l_1$ ir $l_2$ per $\varphi$, o kampą tarp jų krypties vektorių $\overrightarrow{s_1}\{m_1,n_1,p_1\}$ ir $\overrightarrow{s_2}\{m_2,n_2,p_2\}$ - per kampą $\theta$. Be to

$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{s_1}\cdot \overrightarrow{s_2}}{\Vert \overrightarrow{s_1}\Vert \cdot \Vert \overrightarrow{s_2}\Vert }=\frac{m_1{m}_2+n_1{n}_2+p_1{p}_2}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\cdot \sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}.(1)$

Kadangi $\varphi =\theta$ arba $\varphi =\pi -\theta ,$ tai $\cos \varphi =\pm \cos \theta .$ Pasekkoje,

$\cos \theta =\pm \frac{\overrightarrow{s_1}\cdot \overrightarrow{s_2}}{\Vert \overrightarrow{s_1}\Vert \cdot \Vert \overrightarrow{s_2}\Vert }.(2)$

Jeigu lygtys dviejų tiesių duotos kanoninėje formoje:

$\frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{p_1}...(l_1);$

$\frac{x-x_2}{m_2}=\frac{y-y_2}{n_2}=\frac{z-z_2}{p_2}...(l_2),$

tai formulę (2) galima užrašyti koordinatinėje formoje:

$\cos \varphi =\pm \frac{m_1{m}_2+n_1{n}_2+p_1{p}_2}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}.(3)$

Formulės (2) ir (3) yra formulės nustatymui kampo tarp diejų tiesių erdvėje.

Sąlygos lygiagretumo ir stamenumo dviejų tiesių erdvėje. Tam, kad dvi tiesės

$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_1}+\overrightarrow{s_1}t...(l_1)$

ir

$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r_2}+\overrightarrow{s_2}t...(l_2),$

kur $s_1\{m_1,n_1,p_1\}$ ir $s_2\{m_2,n_2,p_2\},$ būtų lygiagrečios, būtina ir užtenkama, kad jų krypties vektoriai būtų kolinearūs, t. y. atitinkančios koordinatės vektorių $\overrightarrow{s_1}$ ir $\overrightarrow{s_2}$ būtų propocingos:

$\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2}.(4)$

Sąlyga (4) yra sąlyga lygiagretumo dviejų tiesių $l_1$ ir $l_2$ erdvėje.

Tam, kad tiesės $l_1$ ir $l_2$ būtų statmenos tarpusavyje, būtina ir pakankama, kad lygiagretūs joms vektoriai $\overrightarrow{s_1}$ ir $\overrightarrow{s_2}$ būtų ortogonalūs.

Sąlyga ortogonalumo (statmenumo) dviejų vektorių $\overrightarrow{s_1}$ ir $\overrightarrow{s_2}$:

$m_1{m}_2+n_1{n}_2+p_1{p}_2=0$

yra sąlyga statmenumo dviejų tiesių $l_1$ ir $l_2$ erdvėje.

Pavyzdžiai

• Rasti lygtį tiesės, praeinančios per tašką M(9; -13; 15) statmenai dviems tiesiems $l_1$ ir $l_2$:

$\frac{x-3}{2}=\frac{y+4}{-3}=\frac{z}{5}...(l_1);\frac{x+2}{4}=\frac{y-7}{1}=\frac{z}{-2}...(l_2).$

Sudarysime lygtį betkokios tiesės, pereinančios per tašką M:

$\frac{x-9}{m}=\frac{y+13}{n}=\frac{z-15}{p}.(6)$

Panaudodami sąlyga statmenumo ieškomos tiesės iš pradžių tiesei $l_1$, o paskui ir tiesei $l_2$, gausime

$2m-3n+5p=0,$

$4m+n-2p=0.$

Iš šitos vienarūšės sistemos linijinių lygčių su nežinomaisiais m, n, p rasime santykį nežinomųjų:

$m:n:p=\left|\begin{array}{cc}-3& 5\\ 1& -2\end{array}\right|:\left|\begin{array}{cc}5& 2\\ -2& 4\end{array}\right|:\left|\begin{array}{cc}2& -3\\ 4& 1\end{array}\right|=(6-5):(20-(-4)):(2-(-12))=1:24:14.$

Kadangi dviejų vektorių vektorinė sandauga yra naujas vektorius status tiems dviems vektoriams, tai, kad gauti tą naują vektorių statmeną tiesėms $l_1$ ir $l_2$ reikia rasti šių dviejų tiesių krypties vektorių $\overrightarrow{s_1}\{2;-3;5\}$ ir $\overrightarrow{s_2}\{4;1;-2\}$ vektorinę sandaugą:

$\overrightarrow{s_3}=\overrightarrow{s_1}\times \overrightarrow{s_2}=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ 2& -3& 5\\ 4& 1& -2\end{array}\right|=(-1{)}^{1+1}\cdot 𝐢\left|\begin{array}{cc}-3& 5\\ 1& 2\end{array}\right|+(-1{)}^{1+2}\cdot 𝐣\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 4& -2\end{array}\right|+(-1{)}^{1+3}\cdot 𝐤\left|\begin{array}{cc}2& -3\\ 4& 1\end{array}\right|=$

$=𝐢\left|\begin{array}{cc}-3& 5\\ 1& 2\end{array}\right|+𝐣\left|\begin{array}{cc}5& 2\\ -2& 4\end{array}\right|+𝐤\left|\begin{array}{cc}2& -3\\ 4& 1\end{array}\right|=𝐢+24𝐣+14𝐤=(1;24;14).$

Įstatydami į lygtį tiesės (6) vietoje m, n ir p proporcingus jiems dydžius, gausime ieškomą lygtį:

$\frac{x-9}{1}=\frac{y+13}{24}=\frac{z-15}{14}...(l_3).$

• Sudaryti lygtį tiesės $l_1,$ praeinančios per tašką (8; -5; 0) lygiagrečiai tiesei

$l...\{\begin{array}{cc}2x-3y+5z-17=0,& \\ x+4y-2z+8=0.& \end{array}$

Sudarysime lygtį betkokios tiesės, praeinančios per tašką M(8; -5; 0):

$\frac{x-8}{m_1}=\frac{y+5}{n_1}=\frac{z}{p_1}.(7)$

Pažymėsime kampinius koeficientus tiesės $l$ per m, n, p ir rasime jų santykius, panaudodami lygybes (4) iš aukštesnio skyriaus:

$m:n:p=\left|\begin{array}{cc}-3& 5\\ 4& -2\end{array}\right|:\left|\begin{array}{cc}5& 2\\ -2& 1\end{array}\right|:\left|\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& 4\end{array}\right|=(6-20):(5-(-4)):(8-(-3))=-14:9:11.$

Kadangi lygiagrečių tiesių koeficientai proporcingi, tai į lygtis (7) vietoje $m_1$, $n_1$, $p_1$ galima įstatyti dydžius, jiems proporcingus.

Gausime lygtis

$\frac{x-8}{-14}=\frac{y+5}{9}=\frac{z}{11},$

kurios ir bus lygtys ieškomos tiesės.

Uždavinys buvo išspręstas pasinauduojant tuo, kad tiesė $l$ yra dvi susikertančios plokštumos. Tų plokštumų normalės vektoriai yra $\overrightarrow{n_1}=\{2;-3;5\}$ ir $\overrightarrow{n_2}=\{1;4;-2\}.$ Sudauginus vektorine sandauga plokštumų normalės vektorius, gaunamas vektorius $\overrightarrow{s}=\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}=\{-14;9;11\}$ statmenas tų dviejų plokštumų normalės vektoriams $\overrightarrow{n_1}$ ir $\overrightarrow{n_2}$ bei lygiagretus toms dviems plokštumoms $2x-3y+5z-17=0$ ir $x+4y-2z+8=0$. Vadinasi, vektorius $\overrightarrow{s}$ yra lygiagretus ir tiesei $l_1.$ Kadangi vektorius $\overrightarrow{s}$ yra krypties vektorius tiesės $l$ ir yra krypties vektorius betkokios tiesės lygiagrečios tiesei $l.$

Tiesės plokštumoje normalė

Jeigu taškai $M_1(x_1;y_1)$ ir $M_2(x_2;y_2)$ yra du tiesės taškai, tada vektorius $\overrightarrow{M_2{M}_1}=\overrightarrow{s}=\{x_2-x_1;y_2-y_1\}$ yra tiesės krypties vektorius. Tuomet tiesės lygtis yra:

$\frac{x-x_1}{y_2-y_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

arba

$\frac{x-x_2}{x_2-x_1}=\frac{y-y_2}{y_2-y_1}.$

Kadangi tiesės $Ax+By+C=0$ normalės vektorius yra $\overrightarrow{n}=\{A;B\},$ tai galime rasti tiesės plokštumoje normalės vektorių, žinant du tiesės taškus $M_1(x_1;y_1)$ ir $M_2(x_2;y_2),$ tokiu budu:

$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1},$

$(y_2-y_1)(x-x_1)=(x_2-x_1)(y-y_1),$

$(y_2-y_1)x-(y_2-y_1)x_1=(x_2-x_1)y-(x_2-x_1)y_1,$

$(y_2-y_1)x-(x_2-x_1)y-(y_2-y_1)x_1+(x_2-x_1)y_1=0,$

$(y_2-y_1)x-(x_2-x_1)y-y_2{x}_1+y_1{x}_1+x_2{y}_1-x_1{y}_1=0,$

$(y_2-y_1)x-(x_2-x_1)y-y_2{x}_1+x_2{y}_1=0.$

Randome tiesės koeficientus $A=y_2-y_1$, $B=x_2-x_1$ ir konstantą $C=-y_2{x}_1+x_2{y}_1.$ Taigi, tiesės normalė yra $\overrightarrow{n}=\{y_2-y_1;x_2-x_1\}.$

Vadinasi vektoriaus $\overrightarrow{M_2{M}_1}=\{x_2-x_1;y_2-y_1\}$ normalės vektorius yra $\overrightarrow{n}=\{y_2-y_1;x_2-x_1\}.$

Nuorodos

• http://www.it.vpu.lt/geometrija/Tieses%20ir%20plokstumos1.html