Matematika/Trapecijos

Trapecija yra plokščia figūra, kuri turi keturias kraštines ir keturis kampus. Trapecijos dvi kraštinės (du pagrindai) yra lygiagrečios.

Trapecijos plotas

Trapecijos ABCD, kurios du kampai prie pagrindo d=AD yra statūs, a=AB>CD=c, plotas yra:

S = \frac{1}{2} \cdot (A B - C D) \cdot A D + C D \cdot A D = \frac{1}{2} \cdot (a - c) \cdot d + c \cdot d = \frac{a \cdot d}{2} - \frac{c \cdot d}{2} + c \cdot d = \frac{a \cdot d}{2} + \frac{c \cdot d}{2} = \frac{d}{2} (a + c) .

Tuo atveju, jei $a$ ir $b$ — pagrindai ir $h$ yra aukštis, trapecijos ploto formulė yra:

S = \frac{(a + b) h}{2} .

Tuo atveju, jei m yra vidurinė linija ir $h$ yra aukštinė, tuomet:

S = m h .

Formulė, kur $a$ , $b$ - pagrindai, $c$ ir d yra trapecijos šonai:

S = \frac{a + b}{2} \sqrt{c^{2} - {(\frac{(b - a)^{2} + c^{2} - d^{2}}{2 (b - a)})}^{2}} = \frac{a + b}{2} \sqrt{d^{2} - {(\frac{(b - a)^{2} - c^{2} + d^{2}}{2 (b - a)})}^{2}} .

Ir b>a, c>d.

Tarkime, duota trapecija ABCD su pagrindais BC=a ir AD=b bei su kraštinėmis AB=c ir CD=d, kai AD>BC ir AB>CD. Tada iš taško B nuleista aukštinė h=BE į trapecijos ABCD pagrindą AD atkerta atkarpą AE, kurios ilgis yra:

A E = \frac{(A D - B C)^{2} + A B^{2} - C D^{2}}{2 (A D - B C)} = \frac{(b - a)^{2} + c^{2} - d^{2}}{2 (b - a)} .

Iš trapecijos ABCD taško C nuleista aukštinė h=CF, susikerta su pagrindu AD taške F. Atkarpos DF ilgis yra:

D F = A D - B C - \frac{(A D - B C)^{2} + A B^{2} - C D^{2}}{2 (A D - B C)} = b - a - \frac{(b - a)^{2} + c^{2} - d^{2}}{2 (b - a)} = \frac{2 (b - a)^{2} - (b - a)^{2} - c^{2} + d^{2}}{2 (b - a)} =

= \frac{(b - a)^{2} - c^{2} + d^{2}}{2 (b - a)} .

Pavyzdis. Lygiašonės trapecijos pagrindai yra a=7, b=13, c=d=5, trapecijos aukštinė h=4. Atkarpos, kurią nukerta aukšinė ilgis yra x=3. Tada trapecijos plotas yra

S = a \cdot h + x \cdot h = h (a + x) = 4 (7 + 3) = 40

arba

S = \frac{(a + b) h}{2} = \frac{4 (7 + 13)}{2} = 40.

Tą patį plotą gausime ir pagal formulę:

S = \frac{a + b}{2} \sqrt{c^{2} - {(\frac{(b - a)^{2} + c^{2} - d^{2}}{2 (b - a)})}^{2}} = \frac{7 + 13}{2} \sqrt{5^{2} - {(\frac{(13 - 7)^{2} + 5^{2} - 5^{2}}{2 (13 - 7)})}^{2}} =

= 10 \sqrt{25 - {(\frac{6^{2}}{2 \cdot 6})}^{2}} = 10 \sqrt{25 - {(\frac{36}{12})}^{2}} = 10 \sqrt{25 - 3^{2}} = 10 \sqrt{(25 - 9)^{2}} = 10 \cdot \sqrt{16} = 40.

Pavyzdis. Trapecijos pagrindai yra a=7, b=16.92820323, c=8, d=5, trapecijos aukštinė h=4. Atkarpų, kurias nukerta aukšinė ilgiai yra

x = \sqrt{c^{2} - h^{2}} = \sqrt{8^{2} - 4^{2}} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 6.92820323;

y=3. Tada trapecijos plotas yra

S = \frac{(a + b) h}{2} = \frac{4 (7 + 16.92820323)}{2} = 47.85640646.

Tą patį plotą gausime ir pagal formulę:

S = \frac{a + b}{2} \sqrt{c^{2} - {(\frac{(b - a)^{2} + c^{2} - d^{2}}{2 (b - a)})}^{2}} = \frac{7 + 16.92820323}{2} \sqrt{8^{2} - {(\frac{(16.92820323 - 7)^{2} + 8^{2} - 5^{2}}{2 (16.92820323 - 7)})}^{2}} =

= 11.96410162 \sqrt{64 - {(\frac{98.56921938 + 39}{19.85640646})}^{2}} = 11.96410162 \sqrt{64 - 6.9282032 3^{2}} = 11.96410162 \sqrt{64 - 48} =

= 11.96410162 \sqrt{16} = 47.85640646.

Plotas lygiabriaunės trapecijos su spinduliu įbrėžto apskritimo lygiu $r$ ir kampu prie pagrindo $α$ yra:

S = \frac{4 r^{2}}{\sin α} = c \cdot h = c \cdot 2 r,

čia, a ir b yra lygiabriaunės trapecijos pagrindai;

h = 2 r

yra aukštis tarp pagrindų a ir b; c ir d yra trapecijos kraštinės ir

c = d = \frac{2 r}{\sin α} .

Jei aukštinė nežinoma, tačiau žinomi visų kraštinių ilgiai, trapecijos plotą galima rasti pagal formulę

S = \frac{1}{4} \cdot \frac{a + b}{b - a} \sqrt{- a + b + c + d} \sqrt{- a + b - c + d} \sqrt{- a + b + c - d} \sqrt{a - b + c + d},

čia a, b – lygiagrečių kraštinių ilgiai, c, d – kitų dviejų kraštinių ilgiai, b>a.

S = \frac{(a + b)}{b - a} \sqrt{(p - b) (p - a) (p - a - c) (p - a - d)},

kur

p = \frac{a + b + c + d}{2},

b>a.

h = \frac{\sqrt{(- a + b + c + d) (a - b + c + d) (- a + b + c - d) (- a + b - c + d)}}{2 (b - a)},

b>a.

Trapecijos plotas lygus jos įstrižainių ir sinuso kampo, esančio priešais nelygiagrečią kraštinę, tarp jų pusei:

S = \frac{1}{2}

d_{1} d_{2}

\sin ϕ .

Trapecijos ploto įrodymas

Bet kokios trapecijos, kurios pagrindai yra a ir b ir a>b, o aukštinė yra h plotas apskaičiuojamas šitaip.

Pirmiausia nuleidžiame iš trapecijos dviejų bukų kampų dvi aukštines h (į pagrindą a). Šios dvi aukštinės trapeciją padalina į du stačiuosius trikampius ir vieną stačiakampį. Tų dviejų trikampių plotų suma lygi

S_{Δ} = \frac{1}{2} (a - b) h .

To stačiakampio esančio trapecijoje plotas yra

S_{1} = b h .

Taigi, visos trapecijos plotas lygus

S = S_{Δ} + S_{1} = \frac{1}{2} (a - b) h + b h = \frac{1}{2} a h - \frac{1}{2} b h + b h = \frac{1}{2} a h + \frac{1}{2} b h = \frac{(a + b) h}{2} .

Papildomas paaiškinimas apie dviejų trikampių plotų sumos radimą.

Du trikampiai, kurie gaunami nuleidus dvi aukštines iš trapecijos bukų kampų į trapecijos pagrindą a, yra statūs ir turi vienodą vieną statinį, kurio ilgis yra h (trapecijos aukštinė). Kiti šių trikampių statiniai yra

p_{1}

ir

p_{2}

ir

p_{1} + p_{2} = p = a - b .

Vieno iš šių trikampių plotas yra:

S_{2} = \frac{1}{2} p_{1} h;

kito gi trikampio plotas yra:

S_{3} = \frac{1}{2} p_{2} h .

Šių dviejų trikampių plotų suma yra

S_{2} + S_{3} = \frac{1}{2} p_{1} h + \frac{1}{2} p_{2} h = \frac{1}{2} h (p_{1} + p_{2}) = \frac{1}{2} h p = \frac{1}{2} h (a - b) = S_{Δ} .

Nuorodos

Matematika/Trapecijos

Trapecijos plotas

Trapecijos ploto įrodymas

Nuorodos

Naršymo meniu

Paieška