Matematika/Trigonometrinės formulės

Pagrindinių trigonometrinių formulių įrodymai

Įrodysime pagrindines trigonometrines formules, iš kurių išplaukia daug kitų trigonometrinių formulių.

1 pav. Vienetinis apskritimas, kuriame yra pažymėti 2 kampai ir tų kampų skirtumo kampas.

Vienetiniame apskritime pažymėkime taškus $P_{\alpha },P_{\beta },P_{\alpha -\beta }$ ir $P_0$ (1 pav.). Remdamiesi sinuso ir kosinuso apibrėžimais, tų taškų koordinates galime užrašyti šitaip:

$P_{\alpha }(\cos \alpha ;\sin \alpha );P_{\beta }(\cos \beta ;\sin \beta );$

$P_{\alpha -\beta }(\cos (\alpha -\beta );\sin (\alpha -\beta ));P_0(1;0).(0)$

Kadangi lankai $P_{\alpha }{P}_{\beta }$ ir $P_{\alpha -\beta }{P}_0$ yra lygūs, tai atkarpos $P_{\alpha }{P}_{\beta }$ ilgis lygus atkarpos $P_{\alpha -\beta }{P}_0$ ilgiui. Šį teiginį galime užrašyti atstumo tarp dviejų taškų, nurodytų jų koordinatėmis (žr. (0)), formule:

$\sqrt{(\cos \alpha -\cos \beta {)}^2+(\sin \alpha -\sin \beta {)}^2}=\sqrt{(\cos (\alpha -\beta )-\cos 0{)}^2+(\sin (\alpha -\beta )-\sin 0{)}^2}$

arba

$\sqrt{(\cos \alpha -\cos \beta {)}^2+(\sin \alpha -\sin \beta {)}^2}=\sqrt{(\cos (\alpha -\beta )-1{)}^2+{\sin }^2(\alpha -\beta )}.$

Abi šios lygybės puses pakelkime kvadratu ir po to pertvarkykime jas, remdamiesi tapatybe ${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1:$

${\cos }^2\alpha -2\cos \alpha \cos \beta +{\cos }^2\beta +{\sin }^2\alpha -2\sin \alpha \sin \beta +{\sin }^2\beta =$

$={\cos }^2(\alpha -\beta )-2\cos (\alpha -\beta )+1+{\sin }^2(\alpha -\beta );$

$({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha )+({\cos }^2\beta +{\sin }^2\beta )-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )=$

$=[{\cos }^2(\alpha -\beta )+{\sin }^2(\alpha -\beta )]-2\cos (\alpha -\beta )+1;$

$2-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )=2-2\cos (\alpha -\beta ).$

Iš čia gauname skirtumo kosinuso formulę:

$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta .(1)$

Iš lygybių $\cos (-\beta )=\cos \beta$ ir $\sin (-\beta )=-\sin \beta$ bei (1) formulės išplaukia:

$\cos (\alpha +\beta )=\cos (\alpha -(-\beta ))=\cos \alpha \cos (-\beta )+\sin \alpha \sin (-\beta )=$

$=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta .$

Taigi sumos kosinuso formulė yra tokia:

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta .(1.2)$

Į formulę (1) įstačius $\frac{\pi }{2}$ vietoje $\alpha$ ir įstačius $\alpha$ vietoje $\beta$ gausime

$\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \frac{\pi }{2}\cos \alpha +\sin \frac{\pi }{2}\sin \alpha =\sin \alpha .$

Gautoje formulėje

$\sin \alpha =\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )(2)$

įstačius $\alpha +\beta$ vietoje $\alpha ,$ gausime

$\sin (\alpha +\beta )=\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha -\beta )=\cos ((\frac{\pi }{2}-\alpha )-\beta ).$

Toliau į (1) formulę įstačius $\frac{\pi }{2}-\alpha$ vietoje $\alpha ,$ gausime

$\sin (\alpha +\beta )=\cos ((\frac{\pi }{2}-\alpha )-\beta )=$

$=\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )\cos \beta +\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )\sin \beta =$

$=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta .$

Pasinaudojome formule

$\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha ,(3)$

kuri išplaukia iš formulės (2) įstačius į ją $\frac{\pi }{2}-\alpha$ vietoje $\alpha ;$ tada

[$\sin \alpha =\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )(2)$]

$\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos (\frac{\pi }{2}-(\frac{\pi }{2}-\alpha ))=\cos \alpha .$

Taigi, gavome formulę (3) ir formulę

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta .(4)$

Iš (4) formulės gauname:

$\sin (\alpha -\beta )=\sin (\alpha +(-\beta ))=\sin \alpha \cos (-\beta )+\cos \alpha \sin (-\beta )=$

$=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta .$

Todėl

$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta .(5)$

Iš (1.2) ir (4) formulės išplaukia

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha +\beta )}=\frac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }.$

Padaliję šios lygybės dešiniosios pusės skaitiklį ir vardiklį iš $\cos \alpha \cos \beta ,$ gauname:

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }.(6)$

Pagaliau (iš to, kad $\text{tg}(-\alpha )=-\text{tg}\alpha$)

$\tan (\alpha -\beta )=\tan (\alpha +(-\beta ))=\frac{\tan \alpha +\tan (-\beta )}{1-\tan \alpha \tan (-\beta )}=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }.$

Todėl

$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }.(7)$

Redukcijos formulės

$u$	$\frac{\pi }{2}+\alpha$	$\pi +\alpha$	$\frac{3\pi }{2}+\alpha$	$-\alpha$	$\frac{\pi }{2}-\alpha$	$\pi -\alpha$	$\frac{3\pi }{2}-\alpha$
$\sin u$	$\cos \alpha$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\sin \alpha$	$-\cos \alpha$
$\cos u$	$-\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\sin \alpha$	$-\cos \alpha$	$-\sin \alpha$
$\mathrm{tg}u$	$-\mathrm{ctg}\alpha$	$\mathrm{tg}\alpha$	$-\mathrm{ctg}\alpha$	$-\mathrm{tg}\alpha$	$\mathrm{ctg}\alpha$	$-\mathrm{tg}\alpha$	$\mathrm{ctg}\alpha$
$\mathrm{ctg}u$	$-\mathrm{tg}\alpha$	$\mathrm{ctg}\alpha$	$-\mathrm{tg}\alpha$	$-\mathrm{ctg}\alpha$	$\mathrm{tg}\alpha$	$-\mathrm{ctg}\alpha$	$\mathrm{tg}\alpha$

Tangentas ir kotangentas ant vienetinio apskritimo

1 pav. Tangentas ant vienetinio apskritimo.

2 pav. Kotangentas ant vienetinio apskritimo.

Trigonometrines funkcijas $\mathrm{tg}x$ ir $\mathrm{ctg}x$ negalima vaizdžiai parodyti kaip atkarpas ant ašių Ox ir Oy, esančias vienetiniame apskritime. Kad juos parodyti pasielgsime štai kaip.

Nagrinėkime vienetinį apskritimą ir jo liestinę pereinančią per tašką $M_0$ (1 pav.). Tegu apskritimo taškas $P_{\alpha }$ atitinka realiajam skaičiui $\alpha$ (arba kampui $\alpha$ radianų). Pagal apibrėžimą $\mathrm{tg}\alpha =\frac{P_{\alpha }B}{OB}.$ Iš trikampių $O{P}_{\alpha }B$ ir $OT{M}_0$ panašumo seka, kad $\frac{P_{\alpha }B}{OB}=\frac{T{M}_0}{O{M}_0}=\frac{T{M}_0}{1}=T{M}_0,$ t. y. $\mathrm{tg}\alpha =T{M}_0,$ arba $T(1;\mathrm{tg}\alpha ).$ Skaičių ašis $M_{0}T$ vadinama tangentų linija (arba tangentų ašimi). Analogiškai, atkarpa $Q{M}_0$ yra tangentas skaičiaus $\beta .$

Panašiai sudaroma linija (arba ašis) kotangentų (2 pav.). Kadangi $\mathrm{\Delta }O{P}_{\alpha }B$ ~ $\mathrm{\Delta }QOD$ (trikampiai $O{P}_{\alpha }B$ ir $QOD$ panašūs), tai $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{OB}{P_{\alpha }B}=\frac{QD}{OD}=\frac{QD}{1}=QD,$ t. y. $\mathrm{ctg}\alpha =QD,$ arba $Q(\mathrm{ctg}\alpha ;1).$

Nuorodos

• Visų trigonometrinių formulių įrodymai