Matematika/Trupmeninis skaičiavimas

Trupmeninis skaičiavimas yra matematinės analizės (mathematical analysis) sritis, kuri tyrinėja galimus diferencialinio operatoriaus (differential operator)

$D=\frac{d}{dx}$

ir integralinio operatoriaus J realius (real number) arba kompleksinius (complex number) laipsnius (paprastai J yra naudojamas vietoj I, siekiant išvengti painiavos su kitais I, pvz. identiškumo ženklu (identities)).
Šiame kontekste terminas laipsniai nurodo pasikartojančius taikymus ar sudėtines dalis, ta pačia prasme kaip $f(x{)}^2=f(f(x))$.
Pvz.:

$\sqrt{D}=D^{1/2}$

kaip kvadratinė šaknis (square root) iš diferencialinio operatoriaus (operator), t.y. išraiška tam tikro operatoriaus kai taikoma du kartus funkcijai, turi tokį pat poveikį, kaip diferencijavimas (differentiation). Apskritai, galima pažvelgti į apibrėžimą

$D^s$

s yra realūs dydžiai, tokie, kad kai s įgyja sveikąjį (integer) skaičių n įprastas laipsnis n- kartų diferencijavimo yra generuojamas, kai $n>0$ ir n-tasis laipsnis operatoriaus J, kai $n<0$.

Trupmeninė išvestinė

Šios teorijos pagrindą 1832 metais sukūrė Liuvilis (Liouville). Trupmeninė funkcijos išvestinė eilės $\alpha$ yra apibrėžiamos Furje (Fourier) arba Melino (Mellin) integralinėmis transformacijomis. Svarbus aspektas yra trupmeninės išvestinės nelokalumas: funkcijos $f(x)$ išvestinė taške $x$ priklauso tik nuo taško $x$ ir pačios funkcijos, kai $\alpha$ yra sveikas skaičius; trupmeninio skaičiaus $\alpha$ atveju funkcijos $f(x)$ trupmeninė išvestinė taške $x$ priklauso ne tik nuo funkcijos $f(x)$ ir taško $x$, bet ir nuo funkcijos reikšmių tam tikroje taško $x$ aplinkoje.

Euristika

Kyla natūralus klausimas, ar egzistuoja toks operatorius $H$, pavadinsime jį „pusinė išvestinė“ (half – derivative), su tokiomis savybėmis:
$H^{2}f(x)=Df(x)=\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$
Apibendrinant, šį klausimą galima suformuluoti taip: ar egzistuoja toks operatorius $P$ su tokiomis sąvybėmis:
$(P^{\alpha }f)(x)=f^{\prime }(x)$
bet kuriam $\alpha >0$?
Ar gali operatorius $\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$ būti apibendrintas visom realiom $n$ reikšmėm?
Pradžioje pastebėsime, kad L. Eulerio (Euler) gama-funkcija $\mathrm{\Gamma }(x)$ (Gamma function), apibendrina faktorialo apibrėžimą ne tik sveikom, bet ir trupmeninėm $n$ reikšmėm:
$n!=\mathrm{\Gamma }(n+1)$.
Dabar tarkim, kad funkcija $f(x)$ yra apibrėžta kai $x>0$, tada galima apibrėžti integralą nuo 0 iki $x$
$(Jf)(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$.
Kartojimas šio proceso duoda šią išraišką:
$(J^{2}f)(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(Jf)(t)dt=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(s)dsdt$.
Jei šią procedūrą pakartoti $n$ kartų, - gausime Koši formule:
$(J^{n}f)(x)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{n-1}f(t)dt$.
Pasitelkus Gama-funkciją $n!=\mathrm{\Gamma }(n+1)$, t.y. kad $\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$ galima suteikti Koši formulei prasmę, kai $n$ ne tik sveikas, bet ir trupmeninis skaičius $(n\to \alpha )$:
$(J^{\alpha }f)(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{\alpha -1}f(t)dt$.
Kaip seka iš apibrėžimo $(J^{\alpha }f)(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{\alpha -1}f(t)dt$, integralinis operatorius $J$ yra ir komutatyvus ir adatyvus:
$(J^{\alpha })(J^{\beta })f(x)=(J^{\beta })(J^{\alpha })f(x)=(J^{\alpha +\beta })f(x)$,
$J^{\alpha }(f+g)(x)=J^{\alpha }f(x)+J^{\alpha }g(x)$.
Ši savybė yra vadinama pusgrupinė (Semi-Group) trupmeninio diferencialinio operatoriaus savybė.

Paprastos funkcijos pusinė išvestinė

Tarkime, kad $f(x)$ yra laipsninė funkcija
$f(x)=x^k$.
Pirmoji išvestinė yra
$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}f(x)=k{x}^{k-1}$.
Kartojimas išraiškos $f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}f(x)=k{x}^{k-1}$ duoda
$\frac{d^{\alpha }}{d{x}^{\alpha }}{x}^k=\frac{k!}{(k-\alpha )!}{x}^{k-\alpha }$,
kur po faktorialų (factorials) pakeitimo Gama-funkcijomis (Gamma function), leidžia suteikti išraiškai $\frac{d^{\alpha }}{d{x}^{\alpha }}{x}^k=\frac{k!}{(k-\alpha )!}{x}^{k-\alpha }$ prasmę ne tik sveikom, bet ir trupmeninėm $\alpha$ reikšmėm:
$\frac{d^{\alpha }}{d{x}^{\alpha }}{x}^k=\frac{\mathrm{\Gamma }(k+1)}{\mathrm{\Gamma }(k-\alpha +a)!}{x}^{k-\alpha }$,
Taigi, pavyzdys pusinės išvestinės $x$ yra
$\frac{d^{1/2}}{d{x}^{1/2}}x=\frac{\mathrm{\Gamma }(1+1)}{\mathrm{\Gamma }(1-1/2+1)}{x}^{1-1/2}=\frac{\mathrm{\Gamma }(2)}{\mathrm{\Gamma }(3/2)}{x}^{1/2}=2{\pi }^{-1/2}{x}^{1/2}=\frac{2\sqrt{\pi x}}{\pi }=\sqrt{\frac{4x}{\pi }}=2x^{1/2}{\pi }^{-1/2}$.
Kartojimo procesas duoda:
$\frac{d^{1/2}}{d{x}^{1/2}}2x^{1/2}{\pi }^{-1/2}=2{\pi }^{-1/2}\frac{\mathrm{\Gamma }(1+1/2)}{\mathrm{\Gamma }(1/2-1/2+1)}{x}^{1/2-1/2}=2{\pi }^{-1/2}\frac{\mathrm{\Gamma }(3/2)}{\mathrm{\Gamma }(1)}{x}^0=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1)}=1$.
Taip ir turėtu būti: du kartus panaudojus pusinę išvestinę turime gauti paprasta išvestinę, kurios veikimas į funkciją $x$ yra trivialus
$(\frac{d^{1/2}}{d{x}^{1/2}}\frac{d^{1/2}}{d{x}^{1/2}})x=\frac{d}{dx}x=1$.
Šis diferencialinio operatoriaus apibendrinimas nebūtinai turi būti atliekamas realiais skaičiais, pvz.: $(1+i)$-ojo laipsnio išvestinė ir $(1-i)$-ojo laipsnio išvestinės panaudotos pakartotinai duoda atrojo laipsnio išvestinę.

Laplaso transformacija

Trupmeninę išvestinę taip pat galime apibrėžti per Laplaso transformaciją (Laplace transform).
Pasinaudojant, tuo kad
$L\{Jf\}(s)=L\{\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau \}(s)=\frac{1}{s}(L\{f\})(s)$
ir
$L\{J^{2}f\}=\frac{1}{s}(L\{Jf\})(s)=\frac{1}{s^2}(L\{f\})(s)$
ir t.t., mes teigiame jog
$J^{\alpha }f=L^{-1}\{s^{-\alpha }(L\{f\})(s)\}$.
Pavyzdys
$J^{\alpha }(t^k)=L^{-1}\{\frac{\mathrm{\Gamma }(k+1)}{s^{\alpha +k+1}}\}=\frac{\mathrm{\Gamma }(k+1)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +k+1)}{t}^{\alpha +k}$
kaip tikėtasi. Iš tiesų, atsižvelgiant į konvoliucijos (convolution) taisyklę: $L\{f*g\}=(L\{f\})(L\{g\})$ (ir sutrumpinimą $p(x)=x^{\alpha -1}$ aiškumui) matome, kad
$(J^{\alpha }f)(t)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{L}^{-1}\{(L\{p\})(L\{f\})\}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}(p*f)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{t}{\int }}p(t-\tau )f(\tau )d\tau =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{t}{\int }}(t-\tau {)}^{\alpha -1}f(\tau )d\tau$
tai yra ta pati Koši (Cauchy) formulė $(J^{\alpha }f)(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{\alpha -1}f(t)dt$.
Laplaso transformacija taikoma palyginti mažai funkcijų klasei, tačiau sprendžiant trupmenines diferencialines lygtis ji naudojama pakankamai dažnai.

Rymano – Liovelio integralas

Klasikinės formos trupmeninis skaičiavimas yra paremtas Rymano – Liuvilio integralu (Riemann–Liouville integral), kas iš esmės yra tai, kas buvo aprašyta aukščiau. Periodinių funkcijų (periodic functions) teorijoje, atsižvelgiant į periodines sąlygas, yra naudojamas Veilio tipo diferencialinis operatorius (Weyl differintegral). Jis yra apibrėžtas Furjė eilute (Fourier series) ir reikalauja pastovaus Furjė koeficiento artėjimo prie nulio (pritaikyta integruoti funkcijoms vienetiniame apskritime). Dažniausiai, pradžioje apibrėžiamas trupmeninis integralas, o trupmeninė išvestinė apibūdinama, kaip jai atvirkštinis operatorius.
Priešingai, skirtuminės Griunvald – Letnikov išvestinės (Grünwald–Letnikov derivative) prasideda išvestine vietoj integralo.

Kompleksinė analizė

Kitas svarbus ir akivaizdus būdas įvesti trupmeninius operatorius yra kompleksinio kintamojo teorija. Žinome, kad bet kokiai holomorfinei funkcijai $f(z)$, apibrėžtai uždarame diske $D\subset U$, kur $U$ yra atvira aibė kompleksinėje plokštumoje $C$, galioja taisyklė: funkcijos $f(z)$ $n$-osios išvestinės reikšmė $f^{(n)}(a)$ vidiniame disko $D$ taške $a$ gali būti pavaizduota integraline forma
$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(z)}{(z-a{)}^{n+1}}dz$,
čia $\gamma$ yra vieną kartą apsivyniojantis (winding number), ištiesinamas kontūras (rectifiable curve) aplink tašką $a$. Šioje integralinėje Koši formulėje (Cauchy's integral formula) skaičius n yra sveikas. Pasinaudoja formule $n!=\mathrm{\Gamma }(n+1)$ ir Eulerio gama-funkcija $\mathrm{\Gamma }(x)$ (Gamma function), o taip pat nekeičiant kontūro $\gamma$ savybių, formulė $f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(z)}{(z-a{)}^{n+1}}dz$ gali būti apibendrinta taip ne tik sveikam, bet ir trupmeniniam $n$ skaičiui.

Funkcinis skaičiavimas

Funkcinės analizės (functional calculus) kontekste, funkcijos $f(D)$ yra bendresnės nei laipsniai studijuojami spektrinės analizės funkciniame skaičiavime (spectral theory). Pseudo – diferencialinių operatorių (pseudo-differential operators) teorija taip pat leidžia nagrinėti operatoriaus $D$ trupmeninius laipsnius. Kylantys operatoriai yra pavyzdžiai singuliarių integralinių operatorių; ir klasikinės teorijos apibendrinimas didesniu aspektu yra vadinamas Ryso (Riesz) potencialo teorija (Riesz potentials). Taip pat pažiūrėkite Erdeli – Kober operatorių (Erdélyi-Kober operator), kuris yra svarbus specialių funkcijų (special function) teorijai.
Taigi, yra keletas šiuolaikinių teorijų, kuriuose trupmeninis skaičiavimas gali būti apibrėžtas.